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复习专题十四 机械能守恒定律及四类应用
——精剖细解细复习讲义
知识点1：机械能
1、重力势能
物体因为重力作用而拥有的能量。
物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。
物体在空间某点处的重力势能等于使物体从该点运动到参考点时重力所作的功。
2、重力势能表达式
E＝mgh
p
3、重力势能的性质
矢标性 标量，有正负，物体在参考平面上方时，重力势能为正值，在参考平面下方时，
重力势能为负值。
相对性 重力势能的大小与参考平面的选取有关。
系统性 重力势能是地球与物体这个系统共同拥有的。
任意性（参考 一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。
平面的选取）
4、重力做功特点
重力所做的功只跟初、末位置高度差有关，跟物体运动的路径无关。
5、重力势能的变化与重力做功的关系
定性关系：重力对物体做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做功；重力对物体
做负功（或者说物体克服重力做功），重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力所做的功。
定量关系式为：W=−ΔE=E−E，即重力对物体所做功等于物体重力势能的增量的负值。
G P Pl P2
注意：重力做功是重力势能变化的原因，重力做功与重力势能的变化量为等值关系，两者均与
参考面的选择无关。
重力势能的变化只取决于物体的重力所做功的情况，与物体是否还受其他力作用以及其它力是
否做功等因素均无关。
6、弹性势能定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
7、弹簧的弹性势能的表达式
E＝kl2。式中的k为弹簧的劲度系数，l为弹簧的形变量。
p
弹力做功与弹性势能变化的关系为W ＝－ΔEp。当弹簧弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小；
弹
当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大。
8、机械能定义物体由于做机械运动而具有的能叫机械能。机械能包括动能和势能（重力势能和弹性势能）。
9、机械能表达式
E=E+E，E为动能，E为势能（重力势能和弹性势能）。
K P K P
10、机械能性质
机械能为标量，有正负，正负表示大小。机械能是状态量。
11、机械能相对性
重力势能和动能与选取的参考平面和参考系有关，因此机械能具有相对性。一般选地面为参考
系和零势能面。
机械能的组成
1．如图，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号
如图。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A
点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．六个球落地时（未触地）重力的功率均相同
B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最大
D．六个球中共有4个落地点
2．从地面竖直向上抛出一物体，其机械能 等于动能 与重力势能 之和。取地面为重力势能
零点，该物体的 和 随它离开地面的高度 的变化如图所示。重力加速度取 。由图中数
据可得（ ）A．物体的质量为
B． 时，物体的速率为
C． 时，物体的动能
D．从地面至 ，物体的动能减少
计算物体的机械能
3．假设一架战斗机正在空中某一高度做匀速飞行，另一架空中加油机给其加油．如图所示，加油
后战斗机仍以原来的高度和速度做匀速飞行，则与加油前相比，战斗机的（ ）
A．动能增加，势能减少，机械能不变
B．动能增加，势能增加，机械能增加
C．动能减少，势能不变，机械能减少
D．动能不变，势能不变，机械能不变
4．如图所示，一可视为质点的小滑块以某一初速度沿斜面向下滑动，最后停在水平面上。滑块与
斜面及水平面间的动摩擦因数相等，以O为原点，建立水平向左的坐标，斜面与水平面连接处的坐
标为x，则该过程中滑块的重力势能E、机械能E与水平位移x关系的图线正确的是（取水平面为
0 p
零势能面，忽略斜面与水平面连接处的机械能损失）（ ）A． B．
C． D．
动能和机械能的相互转化
5．一质量为m的物块仅在重力作用下运动，物块位于高度 和 时的重力势能分别为 和 （
）。若物块位于 时速度为0，则位于 时其速度大小为（ ）
A． B． C． D．
6．质量均为m的a、b两球同时从地面抛出，a球抛出时的初速度大小为v，方向竖直向上，b球
0
斜向上抛出。此后两球在空中运动的过程中，始终处在同一高度。以地面为零势能面，b球的机械
能是a球机械能的2倍，空气阻力忽略不计。则b球在空中运动过程中的最小动能为（ ）A．0 B． C． D．
知识点2：机械能守恒定律
1、内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2、物理意义
表示一个系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
3、守恒条件
只有重力做功或系统内弹力做功。
存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
其他力虽然做功，但是做功的代数和为零。
进一步理解：①只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。②
除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。③除重力外，只有系统内的弹力
做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒．注意：并非物体的机械能守
恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
4、三种观点
观点 表达式 物理意义 注意事项
系统初状态的机械能等于末状 要选取零势能面，在整个分析过
守恒 E ＋E ＝E ＋E
k1 p1 k2 p2
态的机械能。 程中必须选取同一个零势能面。
系统减少（或增加）的重力势
不需要选取零势能面，要明确势
转化 ΔE＝－ΔE 能等于系统增加（或减少）的
k p
能的增加量或减少量。
动能。
若系统由A、B两部分组成， 不需要选取零势能面，A部分机
当系统的机械能守恒时，则A 械能的增加量等于A部分末状态
转移 ΔE A减 ＝ΔE B增 部分机械能的增加量等于B部 的机械能减初状态的机械能，而
分机械能的减少量。 B部分机械能的减少量等于B部
分初状态的机械能减末状态的机械能。
5、机械能守恒判断方法
利用定义进行判断 分析动能和势能的和是否发生变化。
利用做功进行判断 系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，或有其他力做功，
但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
利用能量转化进行判断 若系统内物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，没有其他
形式的能（如没有内能增加）的转化，则系统的机械能守恒。
6、机械能守恒定律解题方法
明确研究对象；
分析研究对象的受力情况和运动情况，分析清楚各力做功的情况；
选取适当的势能平面，明确研究对象的初末状态的机械能；
选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式；
对结果进行讨论和说明。
机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，应用时首先要判断所研究的物理情景中机械能
是否守恒。
如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒的观点求解比较方便；对于由两个或两个以上物
体组成的系统，用转化或转移的观点求解比较方便。
7机械能守恒定律的应用
应用类型 分析方法
单个物体的机械能守恒问题 明确研究对象；分析研究对象的受力情况和运动情况，分析清楚各
力做功的情况；选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式；对结
果进行讨论和说明。
多个物体的机械能守恒问题 分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内
力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是
否守恒。对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”
来判断其机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速
度关系和位移关系。
含弹簧的机械能守恒问题 弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所
受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。弹簧
两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有
相同的速度，弹性势能最大。
非质点的机械能守恒问题 像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重
心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处
理，虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械
能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规
则并确定物体各部分的重心位置，然后根据初末状态物体重力势能
的变化列式进行求解。机械能守恒定律的表述
7．下列关于机械能守恒的说法正确的是（ ）
A．做自由落体运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
C．做匀速圆周运动的物体的机械能一定不守恒
D．受摩擦力的物体的机械能一定不守恒
8．以下实例中运动物体的机械能可认为守恒的是（ ）
A．沿斜面匀速下滑的物体
B．匀速上升的电梯
C．体育竞赛中投掷出的铅球
D．被竖直弹簧悬挂而上下运动的小球
判断系统机械能是否守恒
9．在忽略空气阻力的情况下，下列物体运动过程中机械能守恒的是（ ）
A．物体随电梯匀速下降 B．物体随电梯加速下降
C．物体沿着固定斜面减速下滑 D．物体沿光滑固定斜面由底端减速上滑
10．在空中悬停的无人机因突然失去动力而下坠，在此过程中，其所受空气阻力与下坠速度成正比，
则无人机下坠过程中（ ）
A．机械能守恒 B．机械能一直减小
C．机械能一直增加 D．所受合外力先做正功后做负功
利用机械能守恒定律解决简单问题
11．如图，小球以初动能E 从地面竖直向上抛出，上升的最大高度为H，取最高点为重力势能零点，
0不计空气阻力与球的大小。小球的动能为E，重力势能为E，机械能为E分布用图中柱形图的高度
k p
表示，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．有一个高 的曲面定不动，一个质量为 的物体，由静止开始从曲面的顶点滑下，滑到
底端时的速度大小为 ， 取 。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体的动能减少了 B．物体的重力势能减少了
C．物体的机械能保持不变 D．物体的机械能减少了
机械能与曲线运动结合问题
13．如图甲所示，“魔力陀螺”可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，
其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为 的磁性圆轨道竖直固定，质量为 的小铁球（可
视为质点）在轨道外侧转动， 、 两点分别为轨道的最高点、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为 ，下列说法正确的是（ ）
A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能守恒
C．铁球在A点的速度必须满足
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为
14．不可伸长的轻绳长L，一端系在O点，另一端系一质量为m的小球（视为质点）。小球从A点
静止释放（阻力不计），此时绳子和竖直方向夹 角，已知 ， ，B点在O
点正下方。则下列说法正确的是（ ）
A．在A点释放时，轻绳拉力大小等于 B．小球由A到B的过程中绳子拉力大小可能不
变
C．小球不能到达左侧等高的C点 D．在B处绳子拉力大小是
铁链下滑问题
15．如图所示，总长为 ，质量分布均匀的铁链放在高度为 的光滑桌面上，有长度为 的一段下
垂， ，重力加速度为 ，则铁链刚接触地面时速度为（ ）A． B．
C． D．
16．如图（a）所示，一根质量为 、长度为 的均匀柔软细绳置于光滑水平桌面上，绳子右端恰
好处于桌子边缘，桌面离地面足够高。由于扰动，绳从静止开始沿桌边下滑。当绳下落的长度为
时，加速度大小为 ，绳转折处 点的张力大小为 ，桌面剩余绳的动能为 、动量为 ，如图
（b）所示。则从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，张力 有最大值
B．当 时，动量 有最大值
C．当 时，加速度 有最大值
D．当 时，动能 有最值
用杆连接的系统机械能守恒问题
17．如图所示，在竖直平面内有一半径为 的四分之一圆弧轨道BC，与竖直轨道AB和水平轨道
CD相切，轨道均光滑。现有长也为 的轻杆，两端固定质量为 的小球 、质量为 的小球
（均可视为质点），用某装置控制住小球 ，使轻杆竖直且小球 与 点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑。设小球始终与轨道接触，重力加速度为 。则（ ）
A．下滑过程中a球机械能增大
B．下滑过程中b球机械能守恒
C．小球a滑过C点后，a球速度大于
D．从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做正功为
18．如图所示，小滑块A、B的质量分别为2m、m，其中A套在固定的竖直杆上，B静置于水平地
面上，A、B间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接。一轻弹簧左端与B相连，右端固定在竖直杆上，
弹簧水平。当α=30°时，弹簧处于原长状态，此时将A由静止释放，下降到最低点时α变为45°，
整个运动过程中，A、B始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦,重力加速度为
g。则A下降过程中 （ ）
A．A、B组成的系统机械能守恒
B．弹簧弹性势能的最大值为( - )mgL
C．竖直杆对A的弹力一定大于弹簧弹力
D．A的速度达到最大值前，地面对B的支持力大于3mg
用细绳连接的系统机械能守恒问题
19．如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的
光滑圆柱，当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。已知A、B的质量分别为3m、m。将A由静止释放，B上升的最大高度是（ ）
A．3R B．2R C． D．
20．如图所示，带孔物块A穿在竖直固定的细杆上，不可伸长的轻质柔软细绳一端连接物块A，另
一端跨过轻质定滑轮连接物块B，用手将物块A向上移动到与定滑轮等高处由静止释放后，两物块
开始在竖直方向上做往复运动。已知物块A的质量为m，物块B的质量为2m，定滑轮到细杆的距
离为L，细绳的长度为2L，重力加速度大小为g，不计一切摩擦阻力，定滑轮大小不计，两物块均
可视为质点，以下说法正确的是：（ ）
A．物块A的机械能守恒
B．物块B的机械能减小
C．物块B与定滑轮间的最小距离为
D．物块A、B处于同一高度时系统的总动能为
弹簧类问题机械能转化的问题
21．如图所示，可视为质点的物块与劲度系数为k的竖直轻质弹簧上端相连，弹簧下端固定在水
平地面上，将物块拉至A点由静止下落，当下落的高度为2h时正好运动到B点，当物块运动到O
点时弹簧正好处于原长，且O点是AB的中点，已知弹簧处在B点时，物块的加速度刚好为0，重
力加速度为g，下列说法正确的是（ ）A．物块从A到O的过程中，机械能减小
B．物块从A到B的过程中，物块的动能先增大后减小
C．物块的质量为
D．物块下落过程的最大速度为
22．质量为m的小球从某高度的O点由静止下落，落在自由放置的轻弹簧上，弹簧自由放置时最
高点为A点，如图所示。已知小球到达B点时小球的重力与弹簧的弹力大小相等，图中C点是小球
到达的最低点（不计空气阻力）。下对说法正确的是（ ）
A．从O点到C点，小球的重力势能减小，动能增大，小球的机械能守恒
B．从A点到C点，小球的重力势能一直减小，动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的
系统的机械能不守恒
C．到达B点时，小球的动能最大，弹簧的弹性势能最小
D．从O点到A点，小球的重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统的机械能守恒
解答题
23．如图所示的装置由轻质弹射器、小球（可视为质点）、平直轨道 、圆心为 的竖直半圆轨道 、圆心为 的竖直半圆管道 和平直轨道 组成， 在同一竖直线上，轨道各部
分平滑连接。现使小球压缩弹射器并锁定，二者接触但不栓接，弹射器锁定位置可以改变。某时刻
解除锁定，小球由静止释放，自 点以一定初速度弹出，已知小球质量 ，轨道 的半
径 ，管道 的半径 ，管道直径远小于 ，小球与轨道 间的动摩擦因数
，其余各部分轨道均光滑，轨道 的长度 ，重力加速度大小取 。
（1）若小球恰能通过 点，求弹射器锁定时的弹性势能；
（2）求小球能经过管道 最高点 时的最小速度和此时对轨道的压力；
（3）若小球在运动过程中不脱离轨道，求弹射器锁定时弹性势能的取值范围。
24．如图甲所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为θ的足够长的固定光滑斜面，AB、BC间用一
小段光滑的圆弧管道（图中未画出）相连。一根长为L的均匀柔软链条开始时静止放在ABC上，
其一端D到B的距离为L-a，现自由释放链条（结果可以用根式表示，重力加速度为g）。
（1）链条的D端滑到B点时，链条的速度是多大？
（2）若将此链条放在桌腿足够长的光滑水平桌面上，桌边固定一弧形光滑管道（图中未画出），
如图乙所示，且使长度为 的部分链条悬在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，求链条滑
至刚刚离开桌边时的速度大小（已知链条未着地，且运动过程中无能量损失）。
25．如图，一类似“过山车”的光滑轨道由直轨道AB段、弯轨道BC段、水平直轨道CD段、竖直
圆轨道DEFG段、水平直轨道DH段顺接而成，两小球a、b用长为L的轻杆连接，从轨道AB段由静止开始滑下，恰好能够一直沿轨道滑到DH段，已知AB段与水平方向夹角为 ，
轨道CD段的长度大于L，圆轨道DEFG段的直径为L，a、b两球的质量分别为2m和m，重力加速
度为 ，试求：
（1）刚开始b球距轨道水平段的高度；
（2）若小球b通过圆轨道最高点F时对轨道无压力，则此时圆轨道对小球a的压力大小。
26．如图所示，物体A和圆环B通过足够长的绳子连结在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时
连接圆环的绳子处于水平，长度l =2m，现从静止释放圆环。圆环下降距离h=1. 5m时，物体A速
度为 。不计定滑轮质量与摩擦，空气的阻力不计，重力加速度g取 ，求：
（1）圆环下降距离h=l. 5m时圆环的速度 ；
（2）物体A的质量 与圆环B的质量 的比值；
（3）若 ，则圆环B能下落的最大高度 。
27．如图所示，一倾角为α=30°的光滑斜面固定在水平面上，斜面的底端固定一垂直斜面的挡板，
上端固定一定滑轮O。劲度系数为 的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与质量为2m的物块
Q连接。一跨过定滑轮O的轻绳一端与物块Q连接，另一端与套在水平固定的光滑直杆上质量为m
的物块P连接。初始时物块P在水平外力F作用下静止在直杆的A点，且恰好与直杆没有相互作用，轻绳与水平直杆的夹角也为α。去掉水平外力F，物块P由静止运动到B点时轻绳与直杆间的夹角
β=53°。已知滑轮到水平直杆的垂直距离为d，重力加速度大小为g，弹簧轴线、物块Q与定滑轮之
间的轻绳均与斜面平行，不计滑轮大小及摩擦，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求
（1）物块P在A点静止时，弹簧的形变量为多少？
（2）物块P从A点运动到B点的过程中，轻绳拉力对物块P做的功为多少？
28．如图所示，光滑水平轨道AB的左侧有一轻弹簧，弹簧的左端固定在A点，右侧放一个质量为
m的物块（视为质点）物块与弹簧不连接，B点与水平传送带的左端刚好平齐接触，CD为光滑的
水平轨道，C点与传送带的右端刚好平齐接触，竖直固定的光滑半圆形轨道DE与水平轨道CD相
切于D点，E点是半圆形轨道的最高点。B、C两点间的距离为4L，传送带以大小为 （g为重
力加速度的大小）的恒定速度沿顺时针方向匀速转动，半圆形轨道的半径为L，物块与传送带间的
动摩擦因数 。现用外力向左缓慢推动物块压缩弹簧，当弹簧的弹性势能为5mgL时撤去外力，
物块由静止开始沿轨道运动。
（1）请通过计算判断物块是否能到达E点；
（2）若其他情况不变，传送带不转动，改变物块的质量，使物块能滑上半圆形轨道，且仍能沿半
圆形轨道滑下，求物块质量m＇的取值范围。
29．如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧
轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点
由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。
（1）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。已知滑块质量 ，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道
BC间的动摩擦因数为μ，求滑块运动过程中，小车的最大速度大小v ；
m
（2）求滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小x。
