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回顾 4 数 列
1.牢记概念与公式
等差数列、等比数列(其中n∈N*)
等差数列 等比数列
通项公式 a =a +( n -1) d a =a q n -1 ( q ≠0)
n 1 n 1
①q≠1，
n(a +a ) a (1-qn )
S = 1 n =na + S = 1
n 1 n
2 1-q
前n项和公式
n(n-1) a -a q
d = 1 n ；
2 1-q
②q=1，S =na
n 1
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{a }的常用性质
n
等差数列 等比数列
①若m，n，p，q∈N*，
①若m，n，s，t∈N*，且
且m+n=p+q，
m+n=s+t，则a · a = a · a ；
m n s t
则a + a = a + a ；
m n p q
性质 ②a =a · q n - m ；
n m
②a =a + ( n - m ) d；
n m
③S ，S -S ，S -S ，…仍
m 2m m 3m 2m
③S ，S -S ，
m 2m m
成等比数列(S ≠0)
m
S -S ，…仍成等差数列
3m 2m
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a -a =d(常数)(n∈N*) {a }是等差数列；
n+1 n n
②通项公式法
⇔
a =pn+q(p，q为常数，n∈N*) {a }是等差数列；
n n
③中项公式法
⇔
2a =a +a (n∈N*) {a }是等差数列；
n+1 n n+2 n
④前n项和公式法
⇔
S =An2+Bn(A，B为常数，n∈N*) {a }是等差数列.
n n
(3)判断等比数列的常用方法
⇔①定义法
a
n+1
=q(q是不为0的常数，n∈N*) {a }是等比数列；
a n
n
⇔
②通项公式法
a =cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*) {a }是等比数列；
n n
③中项公式法
⇔
a2 =a ·a (a ≠0，n∈N*) {a }是等比数列.
n+1 n n+2 n n
3.数列求和的常用方法 ⇔
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c =a +b 形式的数列求和问题的方法，其中{a }与{b }
n n n n n
是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
c
(3)通项公式形如a = (其中a，b ，b ，c为常数)用裂项相消法求和.
n (an+b )(an+b ) 1 2
1 2
裂项相消法常见形式：
1 1 1
= - ，
n(n+1) n n+1
1 1(1 1 )
= - ，
n(n+2) 2 n n+2
1 1( 1 1 )
= - ，
(2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
2n 1 1
= - .
(2n+1-1)(2n-1) 2n-1 2n+1-1
(4)形如{a ·b }的数列(其中{a }为等差数列，{b }为等比数列)，利用错位相减法求和.
n n n n
(5)通项公式形如a =(-1)n·n，a =a·(-1)n或a =(-1)n(2n+1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一
n n n
般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
1.已知数列的前n项和求a ，易忽视n=1的情形，直接用S -S 表示.作答时，应验证a 是否满足a =S -
n n n-1 1 n n
{ S ,n=1,
S ，若是，则a =S -S ；否则，a = 1
n-1 n n n-1 n S -S ,n≥2.
n n-1
2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±√ab.
3.易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.
4.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
5.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.
