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回顾 6 概率与统计
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那
么完成这件事共有N= m + n 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共
有N= m × n 种不同的方法.
3.排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，用符号Am表示.
n
(3)排列数公式：Am = n ( n -1)( n -2) … ·( n - m +1) .
n
(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，An = n ( n -1)·( n -2)× …
n
n！
×3×2×1= n ！ .排列数公式写成阶乘的形式为Am = ，这里规定0！=1.
n (n-m)！
4.组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数，用符号Cm表示.
n
Am n！ n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
(3)组合数的计算公式：Cm
=
n
= =
，由于0！=1，所以C0
=1.
n Am m！(n-m)！ m！ n
m
(4)组合数的性质：①Cm =Cn-m；②Cm =Cm +Cm-1
.
n n n+1 n n
5.二项式定理
(a+b)n=C0 a n + C1 a n -1 b 1 + … + Ck a n - k b k + … + Cn b n (n∈N*).
n n n n
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中各项的系数Ck (k=0，1，2，…，
n
n)叫做二项式系数.式中的Ck a n - k b k 叫做二项展开式的通项，用T 表示，即展开式的第k+1项：T =Ck a n - k b k.
n k+1 k+1 n
6.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cm =Cn-m
.
n n(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大.二项式系数为Ck，当k<
n
n+1
时，Ck随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，Ck随k的增加而减小.
2 n n
n
当n是偶数时，中间的一项 C2取得最大值；
n
n-1 n+1
当n是奇数时，中间的两项 C 2 和 C 2 相等，且同时取得最大值.
n n
(3)各二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即C0 +C1 +C2 +…+Ck +…+Cn = 2 n .
n n n n n
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1 +C3 +C5 +…=C0 +C2 +C4 +…
n n n n n n
= 2 n -1 .
7.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
事件A包含的样本点个数
P(A)= .
样本空间包含的样本点个数
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)= P ( A ) + P ( B ) .
(3)对立事件的概率计算公式
P(A)=1- P ( A ) .
(4)条件概率公式
P(AB)
P(B|A)= .
P(A)
(5)概率的乘法公式
P(AB)= P ( A ) P ( B | A ) .
(6)全概率公式
n
P(B)= Σ P ( A ) P ( B | A ).
i i
i=1
(A ，A …，A 是一组两两互斥的事件，A ∪A ∪…∪A =Ω)
1 2 n 1 2 n
*(7)贝叶斯公式
P(A )P(B|A )
P(A|B)= i i
i
P(B)
P(A )P(B|A )
i i
n
= .(i=1，2，…，n)
Σ P(A )P(B|A )
k k
k=1
8.统计中四个数据特征
(1)众数：①在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据.如果数据的
个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
1
即x= ( x + x + … + x ).
n 1 2 n
(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度.
1
方差：s2= [(x -x)2+(x -x)2+…+(x -x)2].
n 1 2 n
标准差：
√1
s= [(x -x) 2+(x -x) 2+…+(x -x) 2 ].
n 1 2 n
9.离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①p≥0(i=1，2，…，n)；②p +p +…+p =1.
i 1 2 n
(2)均值公式
n
E(X)=x p + x p + … + x p = Σ xp.
1 1 2 2 n n i i
i=1
(3)均值的性质
①E(aX+b)= aE ( X )+ b ；
②若X~B(n，p)，则E(X)=np；
③若X服从两点分布，则E(X)=p.
(4)方差公式
D(X)=(x -E(X))2·p +(x -E(X))2·p +…+(x -E(X))2·p ，标准差为√D(X).
1 1 2 2 n n
(5)方差的性质
①D(aX+b)= a 2 D ( X ) ；
②若X~B(n，p)，则D(X)= np (1- p ) ；
③若X服从两点分布，则D(X)= p (1- p ) .
(6)相互独立事件的概率计算公式
P(AB)= P ( A ) P ( B ) .
(7)n重伯努利试验的概率计算公式
P(X=k)=Ck p k (1- p ) n - k ， k =0 ， 1 ， 2 ， … ， n .
n
10.一元线性回归模型
^ ^ ^
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)y=bx+a 一定过点(x，y)，n n
{
Σ (x -x)(y - y) Σ x y -nx y
i i i i
^ i=1 i=1
b= = ,
n n
其中
Σ (x -x) 2 Σ x2-nx2
i i
i=1 i=1
^ ^
a= y-bx.
(2)样本相关系数r具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱.
11.独立性检验
n(ad-bc) 2
利用随机变量χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(n=a+b+c+d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
12.正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N(μ，σ2).
满足正态分布的三个基本概率的值是
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
1.关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题的计算方法，区别在
于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件
事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆
绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)正难则反，等价条件.
3.二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
4.应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，
再求和.5.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定
是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
6.易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数
据的频率求错.
7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生.
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|
B)≥P(AB).
8.(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.
(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布.
