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§4.8 正弦定理、余弦定理
课标要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利
用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝___________；
＝_____________________＝
内容 b2＝___________；
_________________________＝2R
c2＝___________
(1)a＝2Rsin A，b＝
________________，
cos A＝______________；
c＝___________________________；
变形 cos B＝______________；
(2)sin A＝，sin B＝____________，
cos C＝________________
sin C＝______________________；
(3)a∶b∶c＝_____________________
2.三角形解的判断
A为钝角
A为锐角
或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的
一解 两解 一解 一解
个数
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝__________＝__________＝__________；
(3)S＝____________(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos Asin B，则a>b.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此
三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b
＝________________________________________________________________________.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)(2023·榆林模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋(b＋
λa)sin B＝csin C，则λ的取值范围为( )
A．(－2,2) B．(0,2)
C．[－2,2] D．[0,2]
(2)(2024·兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接，不允许折断)，
则其中某个三角形外接圆的直径可以是__________(写出一个答案即可)．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则
C等于( )A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则
等于( )
A．2 B．3 C. D.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (2023·临沂模拟)在△ABC中，已知＝且满足条件①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin
B)；②bcos A＋acos B＝csin C 中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
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思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积
例3 (10分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；[切入点：由A，B，C关系求角C及代换sin B]
(2)设AB＝5，求AB边上的高．[关键点：由A，B，C关系求sin B]
[思路分析]
(1)由A，B，C关系求角C→B＝π－(A＋C)代入化简→tan A→sin A
(2)由角C，sin A→sin B→AC→等面积法求高
解 (1)(1分)
①处由A，B，C关系求角C
又2sin(A－C)＝(2分)
②处由B与A，C关系代换sin B
∴2sin Acos C－2cos Asin C
＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin Acos C ＝ 3cos Asin
C，∴sin A＝3cos A，
③处两角和差公式化简
即tan A＝3，(4分)
∴0
