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必刷大题 9 解三角形
1．(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2ccos C
＝acos B－bcos(B＋C)．
(1)求角C；
(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsin B，求S.
解 (1)因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cos A，
所以2ccos C＝acos B＋bcos A，
由正弦定理得2sin Ccos C＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)．
因为sin(A＋B)＝sin C，所以2sin Ccos C＝sin C.
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，则C＝.
(2)由S＝6bsin B，根据面积公式得6bsin B＝acsin B＝3asin B，所以a＝2b.
由余弦定理得cos C＝＝，
整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36，
所以b＝2，a＝4.
所以△ABC的面积S＝absin C＝×4×2sin ＝6.
2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝bsin
2C＋2c(sin A－sin Bcos C)．
(1)求sin C的值；
(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD.
解 (1)在锐角△ABC中，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)，
由正弦定理得sin A＝2sin Bsin Ccos C＋2sin C(sin A－sin Bcos C)＝2sin Asin C，而sin
A>0，
所以sin C＝.
(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，
sin∠ADC＝sin＝(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，
在△ACD中，由正弦定理得＝＝，
即＝＝＝5，解得CD＝，AC＝，
所以CD＝，AC＝.
3．(2023·德州模拟)在①asin B＝bsin；②(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C；③bsin ＝asin B三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．
(1)求角A；
(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sin Bsin C的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选①：由asin B＝bsin得，
sin Asin B＝sin Bsin.
即sin A＝sin，
则A＝A－(舍)或A＋A－＝π，
所以A＝.
选②：由(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C得，
(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得cos A＝＝－，
又A∈(0，π)，所以A＝.
选③：由bsin ＝asin B得，sin ＝sin A，
即cos ＝2sin cos ，
因为cos ≠0，所以sin ＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由S ＋S ＝S 得，(b＋c)＝bc，
△ABD △ADC △ABC
即bc＝b＋c＝6，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，
解得a＝，
由正弦定理得＝＝＝2R＝2，即R＝，
所以sin Bsin C＝＝＝.
所以sin Bsin C的值为.
4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcos C＋bsin C－a
－c＝0.
(1)求B；
(2)若b＝2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．
解 (1)由bcos C＋bsin C－a－c＝0，
可得sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0
⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0
⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin Bcos C－cos Bsin C－sin C＝0⇒sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0
⇒sin B－cos B＝1
⇒sin＝，
因为B∈，所以B＝.
(2)因为B＝，b＝2，
利用正弦定理得＝＝＝＝，
所以a＝sin A，c＝sin C，
所以l＝a＋b＋c＝2＋(sin A＋sin C)，
所以l＝2＋
＝2＋4sin，
因为△ABC是锐角三角形，所以0，
所以，所以0<<，
则2<＋2<8，即2，即0<2λ－1<3，
所以正数λ的取值范围为.
