文档内容
§4.9 解三角形及其应用举例
考试要求 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关
的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.3.通过解决实际问
题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂
平面内)所成的角中，目标视线在水平视
仰角与俯角
线上方的叫做仰角，目标视线在水平视
线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方
位角θ的范围是0°≤θ<360°
正北或正南方向线与目标方向线所成的
例：(1)北偏东α：
方向角
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
坡角与坡比 为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之
比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．( √ )
(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是.( × )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ×
)(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.( × )
教材改编题
1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观
察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
答案 B
解析 由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置关系如图，
则灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
2.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰
角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．(30＋30)m B．(15＋30)m
C．(30＋15)m D．(15＋15)m
答案 A
解析 在△ABP中，∠APB＝45°－30°，
所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝×－×＝，
由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)，
所以该树的高度为30(＋)sin 45°＝30＋30(m)．
3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东 15°方向且与航母的距离为12海里，
乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与
乙护卫舰的距离为________海里．
答案 6
解析 如图，设点A代表甲驱逐舰，点B代表乙护卫舰，点C代表航母，则A＝75°，B＝
45°，设甲乙距离x海里，即AB＝x，在△ABC中由正弦定理得＝，即＝，解得x＝6.
题型一 解三角形的应用举例
命题点1 测量距离问题
例1 (1)(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再
由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则
A地到D地的直线距离是( )
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
答案 B
解析 如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°，
在△ABC中，由余弦定理得
AC＝
＝＝2，
由正弦定理得sin∠ACB＝＝，
在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)
＝－sin∠ACB＝－，
由余弦定理得AD＝＝＝3，
所以A地到D地的直线距离是3 km.
(2)(2022·东北师大附中模拟)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面
有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B
在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B
的距离为( )
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
答案 D
解析 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°∠ACD＝120°，
所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝10，
在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理得BC＝＝5＋5，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5
＋5)cos 75°＝500，
所以AB＝10，即基站A，B之间的距离为10 km.
命题点2 测量高度问题
例2 (1)(2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直
接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图
乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点 A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在
赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛
道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，
D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为( )
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
A．11米 B．20.8米 C．25.4米 D．31.8米
答案 C
解析 由题意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，
则∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°，
在Rt△ABE中，AE＝＝，
在△ACE中，由正弦定理得＝，
所以CE＝，
所以CD＝CE＝，
又sin 75°＝sin(45°＋30°)＝，
所以CD＝＝60－20≈60－20×1.73＝25.4(米)．
(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚
重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆
期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度
(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7米后到达D
处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为
71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan 71.565°≈3)( )A．19米 B．20米 C．21米 D．22米
答案 C
解析 在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝7，
由正弦定理得＝，所以AD＝＝7(米)，
在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，
所以AB＝AD×tan 71.565°≈7×3＝21(米)．
命题点3 测量角度问题
例3 (1)(2023·南通模拟)图1是南北方向水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由
“圭”和“表”两个部件组成)的示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示
意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬
度为南纬23°26′)，在某地利用一表高为 2 dm的圭表按图1方式放置后，测得日影长为
2.98 dm，则该地的纬度约为北纬(参考数据：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)( )
A．23°26′ B．32°34′ C．34° D．56°
答案 B
解析 如图所示，由图3可得tan α＝≈0.67，又tan 34°≈0.67，
所以α≈34°，所以由图4知∠MAN≈90°－34°＝56°，
所以β≈56°－23°26′＝32°34′，
该地的纬度约为北纬32°34′.
(2)(2023·无锡模拟)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外
有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有
地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首
不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现
要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地地动仪
正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________km.
答案 100(＋1)
解析 如图，设震源在C处，则AB＝200 km，
由题意可得A＝60°，B＝75°，C＝45°，根据正弦定理可得＝，又sin 75°＝sin(45°＋30°)＝
sin45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝，所以AC＝＝＝100(＋1)，
所以震源在A地正东100(＋1)km处．
思维升华 解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素．
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
跟踪训练1 (1)(多选)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°，距离为12 n mile，测得灯塔
C在北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东
60°，则下列说法正确的是( )
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D在灯塔B的北偏西30°
答案 AC
解析 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝
45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24(n mile)，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得
CD＝，
即CD＝＝8(n mile)，故B错误；
由B项解析知CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C
正确；
由∠ADB＝60°，得D在灯塔B的北偏西60°，故D错误．
(2)落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作
《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点 A，B，C处测
得其顶点 P 的仰角分别为 30°，60°，45°，且 AB＝BC＝75 米，则滕王阁的高度 OP＝
________米．
答案 15
解析 设OP＝h，则OA＝＝h，OB＝＝h，OC＝＝h.
方法一 (两角互补，余弦值互为相反数)由∠OBC＋∠OBA＝π得cos∠OBC＝－cos∠OBA，
由余弦定理得＝－，
化简得h2＝3 375，易知h>0，
所以h＝15，即OP为15米．
方法二 (同角的余弦值相等)在△OCB中，cos∠OCB＝，
在△OCA中，cos∠OCB＝，
所以＝，
化简得h2＝3 375，易知h>0，所以h＝15，
即OP为15米．
(3)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的 A，
B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测
得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________.答案 －
解析 如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，则DF＝＝＝，
DE＝＝＝100，
EF＝＝＝130，
在△DEF中，由余弦定理得cos∠DEF＝＝＝－.
题型二 解三角形中的最值和范围问题
例4 (2023·九江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a2＋c2－
b2)＝－2absin C.
(1)求角B；
(2)若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)∵(a2＋c2－b2)＝－2absin C，
∴(a2＋c2－b2)＝－2acsin B，
即＝－sin B，
由余弦定理，得cos B＝－sin B，
∵cos B≠0，∴tan B＝－，
∵01，∴x＝2.方法二 由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
由tan∠BPC＝，可得cos∠BPC＝，
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2··，解得x2＝3，进而PD＝＝2.
4．(2022·洛阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝
2sin A，则A的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为sin B＋sin C＝2sin A，则由正弦定理得b＋c＝2a.
因为b2＋c2≥＝2a2，bc≤2＝a2，
所以cos A＝≥≥，
当且仅当b＝c时，等号成立，
所以A的最大值为.
5．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B,
则cos B＋sin C的取值范围为( )
A．(0，] B．(1，]
C. D.
答案 C
解析 依题意b＝2asin B，
由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以sin A＝，
由于△ABC是锐角三角形，
所以A＝，cos A＝，
由⇒0，
在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D，
由于DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cos D，
∴四边形ABCD的面积S＝S ＋S ＝x·xsin ＋×1×3sin D＝x2＋sin D＝(10－6cos D)
△ABC △ACD
＋sin D＝3sin＋，
∴当D＝时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为＋3，故D正确．
7．(2022·南宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功
着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱 D垂直下落于
点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为
10千米(其中向量CA与CB同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米
(结果保留整数，参考数据：≈1.732)．
答案 14
解析 在△ABD中，A＝45°，∠ABD＝180°－75°＝105°，∠ADB＝30°，
由正弦定理得＝，
AD＝20×sin 105°＝20×sin(60°＋45°)＝20×(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝5(＋)，
所以CD＝AD×＝5(＋)×＝5＋5≈14(千米)．
8．(2022·六安模拟)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，ccos B＋(2a＋
b)cos C＝0，若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．
答案 2＋解析 ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，
由正弦定理得sin Ccos B＋(2sin A＋sin B)cos C＝0，
即sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，
所以sin(B＋C)＋2sin Acos C＝0，即sin A(1＋2cos C)＝0，
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以cos C＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝，
因为△ABC的外接圆面积为π，所以△ABC的外接圆半径为1，
所以由正弦定理得＝＝2，解得c＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝(a＋b)2－ab＝3，则ab＝(a＋b)2－3，
由基本不等式得ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，
所以(a＋b)2－3≤，解得a＋b≤2，所以△ABC周长的最大值是2＋.
9．(2022·益阳模拟)在①＋＋1＝；②(a＋2b)cos C＋ccos A＝0；③asin ＝csin A，这三个条
件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC中，角A，B，C所对的
边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选择条件①：由＋＋1＝及正弦定理，得＋＋1＝，
即a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝＝－，
因为0AC，故∠CDA为锐角，
所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．
12．(2023·咸阳模拟)数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家
秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名
的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜
幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为
从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内
角A，B，C的对边．若＝，b＝2，则△ABC面积S的最大值为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 因为＝，
所以tan C＝，
又tan C＝，
所以＝，
所以sin Bcos C＝sin C(1－cos B)，
所以sin Bcos C＝sin C－sin Ccos B，
所以sin C＝(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝sin(B＋C)＝sin A，
由正弦定理得c＝a，
因为b＝2，所以△ABC的面积S＝＝＝，
将a2看成整体并利用二次函数性质得，当a2＝4即a＝2时，△ABC的面积S有最大值，最大
值为.
13．(2022·烟台模拟)我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在
寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光
射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高
度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为 α，夏至正午时太阳
光线与地面的夹角为β，窗户高度AB＝h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正
午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC＝________.
答案
解析 依题意可得∠ADC＝β，∠BDC＝α，AB＝h，在Rt△ADC中，＝tan β，在Rt△BDC
中，＝tan α，又AC－BC＝h，所以＝，解得BC＝.
14．(2023·遵义模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin ＝asin B，
a＝，则△ABC周长的最大值为________．
答案 3
解析 因为bsin ＝asin B，
所以由正弦定理得sin Bsin＝sin Asin B，
又sin B≠0，
故sin＝sin A，
即cos ＝sin A.
由二倍角公式有cos ＝2sin cos ，
因为∈，
故cos ≠0，
所以sin ＝，
所以＝，即A＝.
由余弦定理得()2＝b2＋c2－2bccos ，
结合基本不等式有2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×2，
化简得(b＋c)2≤2，即(b＋c)2≤8，
故b＋c≤2，
当且仅当b＝c＝时取等号．
故△ABC周长的最大值为＋2＝3.
15．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，则四
边形ABCD面积的最大值等于( )
A. B.＋1 C.＋1 D．2
答案 B
解析 因为∠ABC与∠ADC互补，则sin∠ABC＝sin∠ADC，且A，B，C，D四点共圆．
所以∠CBD＝∠DAC＝30°，
在△ADC中，由正弦定理得＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，
得sin∠BAC＝，所以∠BAC＝60°或∠BAC＝120°.
设四边形ABCD的外接圆半径为R，则＝2R，解得R＝1.
设AB＝a，AD＝b.
(1)如图1，当∠BAC＝60°时，则∠BAD＝90°，故∠BCD＝90°，此时S ＝×1×＝，且BD
△BCD
＝2，在Rt△ABD中，4＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，即S ＝×ab≤1.
△ABD
所以四边形ABCD的面积S＝S ＋S ≤＋1，当且仅当a＝b时，等号成立，故四边形
△BCD △ABD
ABCD面积的最大值为＋1.
(2)如图2，当∠BAC＝120°时，则∠BAD＝150°，故∠BCD＝30°，所以S ＝×1××sin 30°
△BCD
＝.
因为＝2R，所以BD＝1，
则在△ABD中，由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos 150°，
所以ab＝1－(a2＋b2)<1，即ab<.所以S ＝×absin 150°＝ab<，
△ABD
此时四边形ABCD的面积S＝S ＋S <<＋1.
△BCD △ABD
综上，四边形ABCD面积的最大值等于＋1.
16.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明
了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三
角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，
BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝2，则＝________，
AB＋AC的最大值为________．
答案 4
解析 设BC＝a，AC＝b，AB＝c.如图，连接AF，BD.
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD＝∠BAD＝30°，∠ADB＝120°，设AD
＝BD＝x，
由余弦定理得c2＝x2＋x2－2x2cos 120°，即c2＝3x2，
解得＝，即＝，所以AD＝，同理AF＝，
又∠BAC＝60°，∠CAF＝30°，所以∠DAF＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAF＝120°，
在△ADF中，由余弦定理可得DF2＝AD2＋AF2－2AD·AF·cos 120°，
即12＝＋－2··，化简得(b＋c)2＝bc＋36，
由基本不等式得(b＋c)2≤2＋36，
解得b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号)，
所以(AB＋AC) ＝4.
max
