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第 31 讲 正弦定理、余弦定理的应用
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
1、（2023年高考真题新高考Ⅱ卷）记 的内角 的对边分别为a，b，c，已知 面积为
，若D为BC中点，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求b，c．
【解析】（1）（方法一）由 面积为 ，可知 ，
又在 中，有由 ，可得 ，
故 ，代入 可得
在 中，由余弦定理可得
即 ，解得
在 中，
故 ，有
（方法二）D为BC中点， ，则
过A作 ，垂足为E，
在 中， ，
（2）在 中，由中线定理可得
即 ，所以 ，由 和
，所以
又 ，
又 ，
因 ，可得 .
1、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测
量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距
离为____________．
A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m
【答案】：D
【解析】：由正弦定理得，则AB＝50(m)．
2、 已知△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的大小为( )
A. 135° B. 45° C. 60° D. 120°
【答案】 B
【解析】 因为S＝(a2＋b2－c2)＝ab sin C，所以a2＋b2－c2＝2ab sin C，所以c2＝a2＋b2－2ab sin C.由余
弦定理，得sin C＝cos C，所以C＝45°.
3、 一块形状近似为三角形的草坪，若其中两角的正切值分别为与，且最长的边为 m，则最短的边为(
)
A. m B. 2 m
C. m D. 5 m
【答案】 C
【解析】 记草坪为△ABC，tan A＝，tan B＝.因为C＝π－(A＋B)，所以tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－1.又
因为0＜C＜π，所以C＝，所以边AB最长，即AB＝ m．又因为tan A＜tan B，A，B∈，所以角A最小，BC边为最短边．由 且A∈，得sin A＝.又由正弦定理＝，得BC＝AB·＝(m).
4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐
角，若 ＝ ，sin B＝ ，S ＝ ，则b的值为________．
ABC
△
【答案】
【解析】
由 ＝ ，可得 ＝ ，故a＝ c，①
由S ＝ acsin B＝ 且sin B＝ 得 ac＝5，②
ABC
△
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝ 且B为锐角知cos B＝ ，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2× ＝14，b＝ .
故答案为： .
考向一 利用正弦、余弦定理解决实际问题
例1、（2022年江苏省镇江市高三模拟试卷）云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑
形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，
高为12 ，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和
60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）
（ ， ，精确到1 ）A. 42 B. 45 C. 51 D. 57
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，
所以在 中， ，故 ，
在 中， ，则 ，
所以由正弦定理得 ，故 ，
所以在 中， ，故 .
故选：D.
变式1、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷） 如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离
地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角 最大，则离墙的距离为（ ）A. B. 3m C. 4m D.
【答案】D
【解析】
【分析】设离墙的距离为为 ，求得 关于 的表达式，结合基本不等式求得 取得最大值时 的值.
【详解】设离墙的距离为为 ，
过 作 ，交 的延长线于 ，则 ，
，
所以
，
当且仅当 时等号成立.
由于 ，所以当 最大时， 最大，此时 .
故选：D
变式2、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段
笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的
交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．
(1) 求烟囱AB的高度；
(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
【解析】：(1) 设AB的高度为h．在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h．
在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，
所以OB＝h，EB＝h．
由题意得h－＝10，解得h＝15．
故烟囱AB的高度为15 m．
(2) 在△OBC中，cos∠COB＝＝＝．
所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×＝100．
故CE的长为10 m．
方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若
有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
考向二 利用正弦、余弦定理解决范围问题
例2、（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷） 在① ，②
，③ ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知锐角三角形 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且 ．
（1）求角C的值；
（2）求a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）【解析】
【小问1详解】选择条件①．
∵ ，
∴由正弦定理，得 ．
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
选择条件②．
由 ，得 ，
∴ ．
则由余弦定理，得 ．
∵ ，∴ ．
选择条件③．
∵ ，∴ ，
结合 ，得 ．
由正弦定理，得 ，即 ．
则由余弦定理，得 ．∵ ，∴ ．
【小问2详解】∵ ，∴ ．
∵ 为锐角三角形，且 ，
∴ ，∴ ．
又 ，∴ ，∴ ．
由正弦定理 ，得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即a的取值范围为 ．
变式1、（2022年福建省福州四校联盟高三模拟试卷）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公
路， ，M，N为公路上的两个景点，测得 ， ，为了拓展旅游业务，
拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角 .现需要从观景
台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.（1）求M，N两地间的直线距离；
（2）求观光线路 长的取值范围.
【解析】
【小问1详解】由余弦定理得 .
【小问2详解】
设 ，
由正弦定理得 ，
，
所以 ，
所以
，
由于 ，所以 .
即 长的取值范围是 （单位： ）.
变式2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷） 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且满足 ．（1）求 ；
（2）若 ， 为边 的中点，求 的最小值．
【 解 析 】 ： （ 1 ） 中 ， 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 且
．
利用正弦定理得： ，
整理得： ，即 ，
由于 ，
所以： ．
（2）因为 的面积为 ，解得 ；
在 中， ,两边同平方得：
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为 ．
变式3、（2022·江苏宿迁·高三期末）在① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在
中，内角 的对边分别为 ，且__________.（1）求角 ；
（2）若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】：（1）
选择①：条件即 ，由正弦定理可知， ，
在 中， ，所以 ，
所以 ，且 ，即 ，所以 ；
选择②：条件即 ，即 ，
在 中， ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 .
选择③：条件即 ，
所以 ，
在 中， ，所以 .
（2）由（1）知， ，所以 ，
由正弦定理可知， ，
由 是锐角三角形得， 所以 .
所以 ，所以 ，故 的取值范围为 .
方法总结：一边一对角问题求最值或范围问题，有两种处理方法：
(1) 利用正弦定理转化成角的函数．(2) 利用余弦定理转化成边的函数．
考向三 利用正弦、余弦定理解决多边形的问题
例3、（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形 中， ， ， ，且 ，
．
（1）求 ；
（2）求 ．
【解析】
（1）在 中，
则
，
又在 中， ，故
（2）
设 ， ， ， ，则 ，
由 即 可知，
即
在 中， ，又 ，则有
故
在 中，
即 ，
解之得 ，即 的长为7
变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷） 重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩
溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的 ， 两点间的距离，现在旁边取两
点 ， 测得 米， ， ， （假设 ， ，
四点在同一平面上，则 两点的距离为______米.
【解析】
如图所示：在 中， ， ，
， ，由正弦定理得： ，解得 ，在 中， ， ，
，
，所以 ，在 中，由余弦定理得，
，
所以
所以 两点的距离为 .
故答案为：
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝
－ ，CD＝ ．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解析】
（1）由题意，设 ，则 ， ，
在 中，由正弦定理有 ，即 ，解得 .
所以 ，
因为 ，所以 .（2）
由（1），可知 ，由正弦定理有 ，即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理有 ，
即 ，解得 ，
四边形ABCD的面积
.
变式3、（2022·湖北·高三期末）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
．
（1）求角A；
（2）如图，若 ，点D是 外一点， ，设 ，求平面四边形 面积
的最大值及相应的 值．【解析】
（1）∵ ，
由正弦定理知， ，
由余弦定理知， .
（2）
由（1）以及 ，得 是等边三角形．
设 ，则 ．
余弦定理可得： ，
则 ．
故四边形 面积 ．
∵ ，∴ ，
∴当 时，S取得最大值为 ，
故平面四边形 面积的最大值为 ，此时
1、（2022·湖北襄阳·高三期末）在 中， ， ，则角 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，则 ，由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，因为 ，则 .
故选：A.2、（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的
正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得
杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A．20m B．10m C． m D． m
【答案】B
【解析】
如图示，AB表示旗杆，
由题意可知： ，
所以设 ，则 ，
在 中， ,
即 ，解得 ，（ 舍去），
故选：B.
3、（2022年福建省龙岩市高三模拟试卷）如图， 中，角 的平分线 交边 于点 ，
， ， ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在 中，根据正弦定理得 ，
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
故选：D．
4、（2022年湖北省黄冈市高三模拟试卷）在锐角三角形 中，已知 ， ， 分别是角 ， ， 的
对边，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】 ，又 为锐角三角形， ，
，
且 ，即 ， ，
即 ， ， ．
故选:C．
5、（2022年福建省福州延安中学高三模拟试卷）给出以下三个条件：①
且 ；② ， ；
③ ；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
在锐角 ABC中， ，____．
△
（1）求角B；
（2）求 ABC的周长l的取值范围．
【解析】△
【小问1详解】
选①，∵ 且 ，
∴ ，即 ，∵ ，∴
（没有注明角的范围的扣1分）选②，
，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．
（没有注明角的范围的扣1分）
选③，∵ ，
∴由正弦定理可得， ，
∴ ，
，即 ，∵ ，∴ ．
（没有注明角的范围的扣1分）
【小问2详解】
由正弦定理可得，
则△ABC的周长，解得 ，
∴ ∴ ，
∴ ．
故△ABC的周长l的取值范围为
6、（2022年河北省荆州市高三模拟试卷） 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
．
（1）求角A；
（2）如图，若 ，点D是 外一点， ，设 ，求平面四边形
面积的最大值及相应的 值．
【解析】
【小问1详解】
∵ ，
由正弦定理知， ，
由余弦定理知， .【小问2详解】
由（1）以及 ，得 是等边三角形．
设 ，则 ．
余弦定理可得： ，
则 ．
故四边形 面积 ．
∵ ，∴ ，
∴当 时，S取得最大值为 ，
故平面四边形 面积的最大值为 ，此时 ．
