文档内容
专题 9-1 概率与统计及分布列归类（理）
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................3
【题型一】摸球与放球型...............................................................................................................................3
【题型二】超几何分布................................................................................................................................................3
【题型三】两点分布....................................................................................................................................................5
【题型四】二项分布....................................................................................................................................................6
【题型五】正态分布....................................................................................................................................................7
【题型六】多线程分类讨论型..................................................................................................................................9
【题型七】数列计算型分布列...............................................................................................................................11
【题型八】机器人跳棋型.........................................................................................................................................12
【题型九】求导计算最值型....................................................................................................................................13
【题型十】多人比赛（传球）型...........................................................................................................................15
【题型十一】实验方案型.........................................................................................................................................15
专题训练.........................................................................................................................................................................17
讲高考
1.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个
项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的
学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛
结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．（2022年新高考北京数学高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅
球比赛，比赛成绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的
人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E
（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证
明）
3．（2022年新高考全国I卷数学真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居
民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机
调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照
组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风
险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估
计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，
设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，
该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖
下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
5．（2021年北京市高考数学试题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个
人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，
得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果
为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是
检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
6．（2021年全国新高考I卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类
问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回
答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论
回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B
类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率
为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
题型全归纳【题型一】摸球与放球型
【讲题型】
例题1.在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多
种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回．
(1)若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为 ．
①求红球的个数;
②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望．
(2)已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”的概率不大于
,求盒子中球的总个数的最小值．
例题2.为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费
满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”
“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取
1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则
如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有
“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”
“有”三个字的球为三等奖．
(1)求分别获得一、二、三等奖的概率；
(2)设摸球次数为 ，求 的分布列和数学期望
【讲技巧】
摸球与放球模型。要注意几点：
1.是否放回。还是有条件的替换摸球
2.一次一个摸球，还是一次摸多个球
【练题型】
袋中有 个白球和 个黑球，从中任取一球，若取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，
则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复 次这样的操作后，记袋中白球的个数
为 .
(1)求 的数学期望 ；
(2)设 ，求 ， .
【题型二】超几何分布
【讲题型】
例题1.某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘察了部分
几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．
由于勘探一口井的费用很高，如果新设计井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质
资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：
井号Ⅰ
坐标钻探深度
出油量
(1) 号旧井位置线性分布，借助前 组数据求得回归直线方程为 ，求 的值，
并估计 的预报值；
(2)现准备勘探新井 ，若通过 ， ， ， 号井计算出 ， 的值（ ， 精确到
）相比与（ ）中的 ， 值之差不超过 ，则使用位置最接近的已有旧井 ，否则
在新位置打井，请判断可否使用旧井？
(3)设出油量与勘探深度的比值 不低于 的勘探井为优质井，那么在原有 口井中任意勘
探 口井，求勘探优质井数 的分布列与数学期望．
（参考公式和计算结果 ， ， ， ）
例题2.2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．
北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜
地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10
米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度 近似满
足 ，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在 的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗
卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为 ，求 的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号
分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为 ，求 的数学期望．
附：若 ，则 ， ，
．
【讲技巧】
超几何分布：
若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在 次独立重复实验中，在第
次首次发生的概率为 ， ， 。
（4）超几何分布：总数为 的两类物品，其中一类为 件，从 中取 件恰含
中的 件， ，其中 为 与 的较小者， ，
称 服从参数为 的超几何分布，记作 ，此时有公式
。【练题型】
某省 年开始将全面实施新高考方案．在 门选择性考试科目中，物理、历史这两门科
目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科
考生的原始分从高到低划分为 ， ， ， ， 共 个等级，各等级人数所占比例分别
为 、 、 、 和 ，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年
级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
8
原始分 91 90 89 88 85 83 82
7
9
转换分 100 99 97 95 91 88 86
4
人数 1 1 2 1 2 1 1 1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于 分的人数为 ，求
的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分 服从正态分布 ．若 ，
令 ，则 ，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该
划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省 名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互
独立，记 为被抽到的原始分不低于 分的学生人数，求 取得最大值时 的值．
附：若 ，则 ， ．
【题型三】两点分布
【讲题型】
例题1.武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员
检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现
有 份血液样本，有以下两种检验方式：
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.
方案②：按 个人一组进行随机分组，把从每组 个人抽来的血混合在一起进行检验，如
果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 个人的血就只需检验一次(这时认为每
个人的血化验 次)；否则，若呈阳性，则需对这 个人的血样再分别进行一次化验这样，
该组 个人的血总共需要化验 次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为
，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组 个人中每个人的血化验次数为 ，求 的分布列；
（2）设 . 试比较方案②中， 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在
这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留
整数)
例题2（1）抛掷一颗骰子两次定义随机变量。试写出随机变量 的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面
点数也是偶数的概率．
【讲技巧】
两点分布，又称0,1分布：
0 1
1-
= ， = .
注意两点分布的变形分布
【练题型】
某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为 ，现工厂为提高产品声誉，要求
在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验 件该产
品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该
工厂提出以下检 验方案：将产品每 个 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合
格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内
每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验 次或 次．设该工厂生产
件该产品，记每件产品的平均检验次 数为 ．
（1）求 的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当 时，求使该方案最合理时 的值及 件该产品的平均检验次数．
【题型四】二项分布
【讲题型】
例题1.现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发
炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号
炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（ ），且击中一弹目标飞行物坠毁
的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的
概率均为q（ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物
坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中
目标飞行物的概率不低于 ；
(2)若 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁
的概率更大？并说明理由．
例题2.某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接
触传染，现有 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 ，被感染的白鼠数用随
机变量 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．（1）若 ，求数学期望 ；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概
率 与参数 的取值有关．团队 提出函数模型为 ，团队 提出
函数模型为 ．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量
表示第 组被感染的白鼠数，现将随机变量 的实验结果
绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．
①试写出事件“ ”发生的概率表达式（用 表示，组合数不必
计算）；
②在统计学中，若参数 时使得概率 最大，称 是 的最
大似然估计．根据这一原理和团队 ， 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以
求出 的最大似然估计，并求出估计值．
参考数据： ．
【讲技巧】
二项分布
若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在 次独立重复实验中恰好发生
次概率 ，称 服从参数为 的二项
分布，记作 ， = ， .
【练题型】
某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入
流量 （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其
中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5
年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系：
年入流量
发电机最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发
电机年维护费与年入流量 有如下关系：年入流量
一台未运行发电机年维护
500 800
费
欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？
【题型五】正态分布
【讲题型】
例题1.某网络 在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜
活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机
会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加
了该项活动．
(1)若甲第一关通过的概率为 ，第二关通过的概率为 ，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 分，现要根据得分给共 名参
加者中得分前 名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为 分， 分以上共有 人，已知甲的得分为 分，问甲
能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为 分， 分以上
共有 人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量 ，则 ；
； ．
例题2.近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目
扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人
数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照
表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
该校最低提档分数线 510 511 520 512 526
数学专业录取平均分 522 527 540 536 554
提档线与数学专业录取
12 16 20 24 28
平均分之差
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回
归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布 ，其中 为
当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取
学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分
数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用 表示其中高考
成绩在584分以上的人数，求随机变量 的分布列与数学期望.
参考公式： ， .参考数据： ， ，
【讲技巧】
正态分布
（1）若 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为
， （其中 是参数，且 ， ）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
** 错误的表达式 **曲线在 轴上方，并且关于直线 对称；
** 错误的表达式 **曲线在 处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降
低，呈现“中间高，两边低”的形状；
** 错误的表达式 **曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越
“高瘦”；
** 错误的表达式 ** 图像与 轴之间的面积为1.
（2） = ， = ，记作 .
当 时， 服从标准正态分布，记作 .
（ 3 ） ， 则 在 ， ，
上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的 原
则。
【练题型】
某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的
某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩 近似地服从正态分布 ，
经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数 作为 的近似值，用样本
标准差s作为 的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的
概率；（若随机变量 ，则 ，
， )
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学
习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优
秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积
分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔
子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，
概率均为 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格
（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第 格的概率
为 ，试证明 是等比数列，并求 （获胜的概率）的值.
【题型六】多线程分类讨论型
【讲题型】
例题1.若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个
一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜
三档队伍的概率为 ，二档队伍胜三档队伍的概率为 ，一档队伍胜二档队伍的概率为 ，
同档队伍之间比赛胜对方的概率为 ．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入
决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．
(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1进决赛的概率约为 ，B1进决赛的概率约为 ，求一档球队夺冠的概率．
例题2.甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为 的方
框表示第 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第 场比赛的胜者称为“胜者 ”，
负者称为“负者 ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【讲技巧】
多线程，多图分类，多重条件分流型，采用分类讨论。注意讨论时要按照统一的标准，
不多讨论，也不遗漏讨论
【练题型】
北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全
球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电
子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后
半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败
队伍落入败者组．
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入
败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获
得殿军），获胜队伍留在败者组．
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败
者组第一名．
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方
获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：
(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B
获得亚军的概率．
【题型七】数列计算型分布列
【讲题型】
例题1.学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1
号传出，训练规则要求：第 号同学得到球后传给 号同学的概率为，传给 号同学的概率为 ，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）
时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为 ，30号同学投篮命中的概率为
，设传球传到第 号的概率为 ．
(1)求 的值；
(2)证明： 是等比数列；
(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．
．
例题2.小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次
中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.
(1)求小明射击3次恰有2次中靶的概率；
(2)①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.
②求小明第n次中靶的概率.
【讲技巧】
数列型分布列，是关于自然数n的概率论题型属于较难的题型，涉及比较多的是等比数
列模型，等差相对较少。按照数列递推公式归类求通项公式
【练题型】
足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛
定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，
得到2 2列联表如下：
喜爱足球运
不喜爱足球运动 合计
动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传
球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定
每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，
即 ．
（i）求 （直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列 为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
【题型八】机器人跳棋型
【讲题型】
例题1.某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位
学生的某次数学成绩，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100位学生的数学成绩的平均值 .（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）；
（2）根据整个年级的数学成绩，可以认为学生的数学成绩 近似地服从正态分布
经计算，（1）问中样本标准差 的近似值为10．用样本平均数 作为 的近似
值，用样本标准差 作为 的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94
分之间的概率.
参考数据:若随机变量 ，则 ，
，
（3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及
学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得
优秀时，就有机会参与一次小程序中“玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得
积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔
子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，
概率均为 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格
（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第 格的概
率为 ，试证明 是等比数列，并求 的值.（获胜的概率）
例题2．某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学
生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩 近似地服从正态分布 ，
经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数 作为 的近似值，用样本
标准差s作为 的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的
概率；（若随机变量 ，则 ，
， )
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学
习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优
秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子
在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，
概率均为 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格
（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第 格的概率
为 ，试证明 是等比数列，并求 （获胜的概率）的值.
【讲技巧】
机器人（跳棋）分布列，又称为游走型，分左右游走或者上下游走，也有左右上下都游
走。依然是属于数列型的归纳型
【练题型】
．设数轴上有一只兔子，从坐标 开始，每秒以 的概率向正方向跳一个单位，
以 的概率向反方向跳一个单位，记兔子第n秒时的位置为 ．
(1)证明： ；
(2)记 是表达式 的最大值，证明： ．
【题型九】求导计算最值型
【讲题型】
例题1.汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持
续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业
对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码
1 2 3 4 5
销量 万辆 10 12 17 20 26
(1)统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并
预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业
心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽
车的有 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
①若 ，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）
中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只
购买一辆汽车，结果精确到千人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为 ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有
男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为 ，求当 为何值时，
最大．
附： 为回归方程， ， ．
例题2.公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁
先赢满4局，谁便赢得全部赌注 元，已知每局甲赢的概率为 ，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎
么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时
欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意
外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比 分
配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若 ，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若 ，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率 ，并判断“赌博继续进行
下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于 的随机事件称为小概率事
件）．
【讲技巧】
在分布列求最值或者范围时，一般情况下，用函数的最值方法求，比较复杂的形式，则
可以用导数求解
【练题型】
学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则
如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；
一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2
分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为 ；参加
“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p， ．李明周
一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不
影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概
率为 ．求p为何值时， 取得最大值．
【题型十】多人比赛（传球）型
【讲题型】
例题1.甲､乙､丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，败
者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去，三人经过抽签决定由
甲､乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验每局比赛中：甲乙比赛甲胜概率为 ，乙
丙比赛乙胜概率为 ，丙甲比赛丙胜概率为 ，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲､乙､丙各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量X，求的X分布列和期望.
例题2.三人玩传球游戏，每人等概率传给另外两人．第一次球从甲手中传出．
（1）第四次传球结束，球恰好传回甲手中的概率；
（2）若第 次传球结束后，球在甲手中的概率为 ．
（i）用 表示 （ ）；
（ii）求{ }的通项公式．
【讲技巧】
多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直
接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算
【练题型】
甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选
手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本
场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．
(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为 ，求甲获得本场比赛胜利的概率；
(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为 ， ， ，试确定甲第二场比赛的对手，
使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．
【题型十一】实验方案型
【讲题型】
例题1.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重
急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前
从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发
热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰
竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 份血液
样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n次.
方式二：混合检验，将其中 且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验
结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检
验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时
这k份血液的检验次数总共为k+1.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份
样本是阳性结果的概率为p(0
