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考向 43 二项分布、正态分布
及其应用
1.（2021·新高考2卷T6）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是
A. 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【解析】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概
率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次
测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.2．（2022·新高考 2 卷 T13）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
．
【答案】0．14
【解析】由题意可知， ，故 ．
3．（2019·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布
的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
1.二项分布的均值与方差
(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合
应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b).
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ4）=（ ）
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585
【答案】B
【解析】正态分布曲线关于 对称，因为 ,故选B．
二、解答题
6．（2008·四川·高考真题（理））设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 ，购买乙种商品
的概率为 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)记 表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望．
【答案】(1)0.5；(2)0.8；(3)分布列见解析． ．
【解析】（1）令 表示进入商场的1位顾客购买甲种商品的事件， 表示进入商场的1位顾客购买乙种商
品的事件，令 表示进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的事件，则 ，，
所以 .
（2）令 表示进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的事件，由（1）知，其对立事件
，
，所以 .
（3） 的所有可能值为0，1，2，3，由（2）知， ，
， ， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
的期望 .
7．（2010·湖南·高考真题）如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直
方图.
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居
民数X的分布列和数学期望．【答案】(1) ；(2)分布列见解析， .
【解析】(1)依题意及频率分布直方图知， ，解得 .
(2)由题意知， .
因此 ， ，
， .
故随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为 .
8．（2011·天津·高考真题（理））学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 个白球、 个黑球；
乙箱子里装有 个白球、 个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 个球，
若摸出的白球不少于 个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（I）求在一次游戏中，
（i）摸出 个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（II）求在两次游戏中获奖次数 的分布列及数学期望
【答案】（I）（i） ；（ii） ；（II）见解析【解析】（I）记“在一次游戏中摸出 个白球”为事件 ，
（i） ，即摸出 个白球的概率为：
（ii）
即获奖的概率为：
（II）由题意可知， 所有可能的取值为： ，且
则 ； ；
的分布列如下：
9．（2017·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上
随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.1 10.0 10.0
9.95 9.96 9.96 9.92 9.98
2 1 4
10.2 10.1 10.0 10.0 10.0
9.91 9.22 9.95
6 3 2 4 5
经计算得 ， ，其中xi为抽取的第i个零件
的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，
.
【答案】（1） ， （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在 之外的概率为0.0026，
故 .
因此 .
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 ，
得 的估计值为 ， 的估计值为 ，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的平均数为 ，
因此 的估计值为 .
，
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的样本方差为 ，
因此 的估计值为 .
10．（2014·全国·高考真题（理））从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，
近似为样本方差 .
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用（i）的结果，求 .
附：
若 则 ， ．
【答案】（I） ；（II）（i） ；（ii） ．
【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值 和样本方差 分别为
，
．
（II）（i）由（I）知， 服从正态分布 ，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知
，所以 ．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的 原则；3、二项分布的期望．
11．（2013·湖北·高考真题（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）
的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p．
0
（1）求p 的值；
0
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣
3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B
两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟
组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p 的概率运完
0
从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
【答案】（1）0.9772 （2）A型车5辆，B型车12辆
【解析】(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700
