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考向 43 二项分布、正态分布
及其应用
1.（2021·新高考2卷T6）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是
A. 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【解析】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概
率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次
测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.2．（2022·新高考 2 卷 T13）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
．
【答案】0．14
【解析】由题意可知， ，故 ．
3．（2019·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、
乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布
的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
1.二项分布的均值与方差
(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合
应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b).
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝
μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．
1．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面
积为1.一、单选题
1．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023
【答案】B
【解析】随机变量 服从正态分布 ，
若 ，则依据正态曲线的性质有
故选：B
2．已知随机变量 ，若 ，则 （ ）
A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
故选:C．
3．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为 ，
因为是有放回的取球，所以 ，
所以
故选：D4．若随机变量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，解得 ，则 ，所以
.
故选：A.
5．高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标
准正态分布，即若 ，令 ，则 ，且 ．已知选考物
理考生总分 的全省平均分为460分，该次考试的标准差 为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名
考生成绩作进一步调研，记 为这30名考生分数超过520分的人数，则 （ ）
参考数据：若 ，则 ， ．
A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668
【答案】A
【解析】根据题意
则考生分数超过520分的概率
根据题意可得 ，则
故选：A．
6．2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行
数量，发现该站近几天车辆通行数量 ，若 ，则当
时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因 ，且 ，则有 ，即 ，
不等式 为： ，则 ， ，
所以 ， ，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
7．某批零件的尺寸X服从正态分布 ，且满足 ，零件的尺寸与10的误差不超过1即
合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于 ，则n的最小值为
（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】 服从正态分布 ，且 ，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为 ，
由 ，得 ，
令 ，
， 单调递减，又 ， ，
不等式 的解集为 的最小值为
故选：C.
8．设随机变量 ， 满足： ， ，若 ，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】由于随机变量 满足： ， ，，解得： ，即
，
又 随机变量 ， 满足： ， ，
故选：C.
二、多选题
9．下列说法其中正确的是（ ）
A．对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好；
B．以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程
，则c，k的值分别是 和0.3；
C．已知随机变量 ，若 ，则 的值为 ；
D．通过回归直线 及回归系数 ，可以精确反映变量的取值和变化趋势．
【答案】BC
【解析】对于A，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误，
对于B，由 两边取对数得 ，设 ，则 ，因为 ，所以
，得 ，所以B正确，
对于C，因为随机变量 ， ，所以由正态分布的性质可知，
，所以 ，所以C正确，
对于D，通过回归直线 及回归系数 ，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误，
故选：BC
10．下列命题中，正确的命题有（ ）A．已知随机变量X服从正态分布 且 ，则
B．设随机变量 ，则
C．在抛骰子试验中，事件 ，事件 ，则
D．在线性回归模型中， 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率， 越接近于1，表示回归的效果越
好
【答案】BD
【解析】A：因为 且 ，所以 ，
所以 ，A错误；
B：因为 ，所以 ，B正确；
C：由题知，事件 ，所以 ，C错误；
D：由 的意义可知D正确.
故选：BD
11．给出下列命题，其中错误命题是（ ）
A．若样本数据 （数据各不相同）的平均数为3，则样本数据 ， ，…， 的平
均数为2
B．随机变量 的方差为 ，则
C．随机变量 服从正态分布 ， ，则
D．随机变量 ，若 ， ，则
【答案】ABD
【解析】对于选项A，根据 得： ，故选项A错误；
对于选项B，根据 得： ，故选项B错误；对于选项C，因为 ，所以 ，又因为 ，则
，由正态分布的对称性可得： ，故选项C
正确；
对于选项D，随机变量 ，根据二项分布的期望和方差公式： ，解得
，故选项D错误.
故选：ABD
12．已知随机变量 ， 随机变量 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为随机变量 ，所以 ，
因为随机变量 ，所以 ，
所以利用正态密度曲线的对称性可得 ， ，故选项A、B正确；
因为 ，
，
所以 ，故选项C正确；
因为 ，，
所以 ，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知某种袋装食品每袋质量 ，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间
的约___________袋（质量单位： ）.（附： ，则 ，
， ）.
【答案】8186
【解析】由题意得： ，
，
则 ，
故 ，
则袋装质量在区间 的约有 袋.
故答案为：8186
14．已知随机变量 ， ， ， ______.
【答案】
【解析】已知随机变量 ， 知 ，
因为 ,所以 .
故答案为： .
15．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件
按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 （1000， ）.且各个元件能否正常工
作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），
那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.
【答案】375
【解析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为 ，
则部件正常工作超过10000小时的概率为 ，
又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为 台.
故答案为：375.
16．已知随机变量 ，若 最大，则 ______．
【答案】24
【解析】由题意知： ，要使 最大，有
，
化简得 ，解得 ，故 ，又 ，
故 .
故答案为：24.
四、解答题
17．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：
、 、 、…、 ，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取
3人，记其得分在 的人数为 ，试求 的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布
，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 .所有参加知识竞赛的2000
名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据： ， ，
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
.
（2）解：参加座谈的11人中，得分在 的有 人，
所以 的可能取值为 ， ， ，
所以 ， ， .所以 的分布列为
0 1 2
∴ .
（3）解：由（1）知， ，
所以 .
得分高于77分的人数最有可能是 .
18．某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交
通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费
乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如
下统计表：
骑
出行方式 步行 自驾 公共交通
行
比例 5% 25% 30% 40%
同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所
示：(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的
人数，求X的分布列和数学期望 ．
【答案】(1) ，中位数为 ；
(2)分布列见解析，
【解析】（1）解：依题意可得 ，解得 ，
因为 ，所以中位数为于 ，
设中位数为 ，则 ，解得 ，故这1200名乘客年龄的中
位数为 ；
（2）解：选择公共交通出行方式的频率为 ，
所以 ，则 的可能取值为 、 、 、 、 ，
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为：所以 ；
19．教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续
规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影
响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的
消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
消费金额（千元）
人数 30 50 60 20 30 10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入
了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为 和 的学员中抽取了5
人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为 的人数的分布列和数学
期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布 ，
， 分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差 （同一区间的花费用区间的中点值替代）.
①试估计该机构学员2021年消费金额为 的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为 的人数为 ，求 的方差.
参考数据： ；若随机变量 ，则 ，
， .
【答案】(1)X的分布列为：
X 1 2 3
P；(2)① ．② ．
【解析】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为 的人数为 ，
消费金额为 的人数为 ，设消费金额为 的人数为X，则 ，
所以 ， ， ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
；
（2）①由题意得 ，
所以 ，
所以 ．
②由题意及①得 ， ， ，所以 ．
20．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份
x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：
月份x 1 2 3 4 5
订单y
(1)求y关于x的线性回归方程，并估计该厂6月份的订单金额．
(2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为 ，不合格的产
品需要更换，用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据： ．
参考公式：回归直线的方程是 ，其中
【答案】(1) ，59.9万元
(2)分布列见解析，
【解析】(1)由数据可得 ，
,
所以 ，
故y关于x的线性回归方程为 ．
当 时， ，估计该厂6月份的订单金额为59.9万元．
(2)依题意，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，4， ．
； ；
； ；
．
随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4
P
故 ．
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（理））读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0
NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达 以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（
）服从正态分布 ．若 ，则可估计该企业生产的1000个该种固态
硬盘中读取速度低于 的个数为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】B
【解析】由正态分布的对称性可知： ，
所以 ，
所以该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于 的个数为 .
故选：B
2．（2022·江苏·南京市第一中学三模）柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率
分布．记随机变量 服从柯西分布为 ，其中当 ， 时的特例称为标准柯西分布，其
概率密度函数为 ．已知 ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
3．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））2021年冬某地民兵预备役训练，民兵射击成绩（单位：
环） ， .如果8940名民兵的射击成绩中有 个在区间（ ，8]上，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
，
名民兵的射击成绩中有 个在区间 上，
∴ ，
故选：B.
4．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作
对比．已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数
中的 是正态分布的期望值， 是正态分布的标准差，且 ，
， ，则以下结论正确的是（ ）A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高
B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大
C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等
【答案】D
【解析】因为 的最大值为 ，所以1班的数学成绩 ，2班数学成
绩 ，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A错误；
因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越
大，所以B错误；
因为 ，所以C错误；
因为 ，所以D正确．
故选：D.
5．（2022·广东佛山·三模）高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般
正态分布可以转化为标准正态分布，即若 ，令 ，则 ，且
．已知选考物理考生总分 的全省平均分为460分，该次考试的标准差 为40，
现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记 为这30名考生分数超过520分的人数，
则 （ ）
参考数据：若 ，则 ， ．A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668
【答案】A
【解析】根据题意
则考生分数超过520分的概率
根据题意可得 ，则
故选：A．
6．（2021·山东菏泽·二模）下列说法错误的是（ ）
A．用相关指数 来刻画回归效果， 越小说明拟合效果越好
B．已知随机变量 ，若 ，则
C．某人每次投篮的命中率为 ，现投篮5次，设投中次数为随机变量 ．则
D．对于独立性检验，随机变量 的观测值 值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】A
【解析】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；
对于B选项，正态分布图像关于 对称，因为 概率为 ，所以 概率为 ，故 的概率为
，故B正确；
对于C选项，服从二项分布 ，因此 ，则 ，故C正确；
对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量 的观测值越小，则分类变量间越有关系的可
信度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确．
故选:A
7．（2022·安徽宣城·二模（理））下列说法：①若随机变量X服从正态分布 ，若 ，
则 ；②设某校男生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，若该校某男生的身高为
170cm，则其体重大约为62.5kg；③有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个
白球，4个黑球.现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概
率为 ，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，由题意知： ， ，又 ，
故 ，错误；
对于②，当 时， ，正确；
对于③，若从甲中取了2个白球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为 ，
若从甲中取了2个黑球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为 ，
若从甲中取了1个白球1个黑球放入乙袋子，从乙袋子中取出白球的概率为 ，
所以取到白球的概率为 ，正确.
故选：C.
8．（2022·福建厦门·模拟预测）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机
变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量
，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和
方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了 的特殊情形，1812年，拉普拉斯
对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若 ，则 ，
， ）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为 ，则 ，
所以 ， ，
由题意， ，且 ， ，
因为 ，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为
，
故选：B.
二、多选题
9．（2022·江苏泰州·模拟预测）为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学
效果进行了质量监测．已知该地甲、乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校
数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布 （108，25）、 （97，64），人数保留
整数，则（ ）
参考数：若 ，则 ， ， .
A．从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865
B．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人
C．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散
D．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小
【答案】AC【解析】对于A，因为甲校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布 （108，
25），则 ，
，故A正确．
对于B， ， ，故B不正确．
对于C，甲校的 ，乙校的 ，∴乙更分散，故C正确．
对于D，因为甲校数学学科的考试成绩服从正态分布 （108，25），所以
，
乙校数学学科的考试成绩服从正态分布 ，所以
，故D不正确．
故选：AC.
10．（2022·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批
产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，
员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B
抽取到的3件产品中次品数量为Y， ，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则 ，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得 ，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
11．（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布 ，
那么当n比较大时，可视为X服从正态分布 ，其密度函数 ， ．任
意正态分布 ，可通过变换 转化为标准正态分布（ 且 ）．当 时，
对任意实数x，记 ，则（ ）
A． B．当 时，
C．随机变量 ，当 减小， 增大时，概率 保持不变 D．随机变量
，当 都增大时，概率 单调增大
【答案】AC
【解析】对于A，根据正态曲线的对称性可得： ，故A
正确；
对于B, 当 时，
，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的 准则，在正态分布中 代表标准差， 代表均值,
即为图象的对称轴，根据 原则可知 数值分布在 中的概率为0.6826，是常数，
故由 可知，C正确，D错误，故选：AC
12．（2021·重庆一中模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．对于独立性检验， 的值越大，说明这两个变量的相关程度越大
B．已知随机变量 ，若 ， ，则
C．某人在10次射击中，击中目标的次数 ，则当 时概率最大
D． ，
【答案】ABC
【解析】A：独立检验中 的值越大，说明这两个变量的相关程度越大，正确；
B： ， ，可得 ，正确；
C：由题意， ，所以当 且 ，要使概率依次增大，则有
，即 ，故概率最大时有 ，正确；
D： ， ，错误；
故选：ABC
三、填空题
13．（2022·江西九江·三模（理））日常生活中，许多现象都服从正态分布.若 ，记
， ， .小明同学一般情况
下都是骑自行车上学，路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布 .已知小明骑车上学迟到的概
率为 .某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布 ，要使步行上学迟到的概率不大于 ，则小明应该至少比平时出门的时间早
_____________分钟.
【答案】20
【解析】由小明骑车上学迟到的概率 知，小明骑车花费 分钟才会迟到.
若小明步行上学，要使迟到的概率不大于 ，则步行花费时间应小于 分钟，
故小明应该至少比平时出门的时间早 分钟.
故答案为：
14．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返
回舱在东风着陆场成功着陆.东风着陆场着陆面积达到了2万平方公里，相当于内蒙古四子王旗航天着陆场
着陆面积的10倍，主着陆场正常的着陆范围是 的区域.在神舟十三号着陆前，航天科学家们经
过了无数次的电子模拟，发现飞船着陆点离标志观察点 的距离 满足 .下图是 经过
100次模拟实验中的频率分布直方图. 可以用图中 的平均值代替， ，其中 是图中的中位数的
估计值（每组数据用这一组的中点值代替），则 ________ （用“ ， ， ”
之一填入）
【答案】
【解析】 ，
中位数= ，
∴ ， ，
∴ ，∴ .故答案为：=.
15．（2022·云南昆明·模拟预测（理））某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时 （单位：
）服从正态分布 ；第二条路线较长但不拥挤，路途用时 （单位： ）服从正态分布
．若有一天他出发时离上班时间还有 ，则 __________．（精确到
）（参考数据： ， ，
， ，
）
【答案】0.0116
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：0.0116.
16．（2022·山西吕梁·二模（文））在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止
射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中
靶标的概率均为 ，若当 时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ___________．
【答案】
【解析】至少射击4次合格通过的概率为 ，所以 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 得最大值，故 ．
故答案为：
四、解答题
17．（2022·全国·模拟预测）为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测
试结果表明所有男生的成绩 （单位：米）近似服从正态分布 ，且
.
(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在 内的概率.
(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流
掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战
省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为 .
①求甲代表学校出战省运会的概率.
②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲 获胜，你给我100块，如果甲 获胜，你给我50
块，如果甲 获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗？说
明你的理由.
【答案】(1)0.15；
(2)① ，②如果我是丁，我不会和他打赌，理由见解析.
【解析】（1）因为 ， ，
∴ ；（2）①由题可得甲 获胜的概率为 ，
甲 获胜的概率为 ，
甲 获胜的概率为 ，
所以，甲代表学校出战省运会的概率为 ；
（2）由题可得丁获得奖金的期望值为：
，
所以如果我是丁，我不会和他打赌.
18．（2022·海南海口·二模）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展
的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们
的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．
(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布 ，以（2）中所求的样本平均数作为
的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在 以外的人数为Y，求 ．
附：若 ，则 ． ．
【答案】(1) (2) (3)【解析】（1）由频率分布直方图可得 ，
解得 ，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为 ．
（2）估计样本中男生短跑成绩的平均数为
．
（3）由（2）知 ，所以 ，
所以该校男生短跑成绩在 以外的概率为
根据题意 ，
所以 ．
19．（2022·江西萍乡·三模（理））北京冬奥会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，
这是中国历史上第一次举办冬奥会，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬
奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某高校组织了20000
名学生参加线上冰雪运动知识竞赛活动，并抽取了100名参赛学生的成绩制作了如下表格：
竞赛得
分
频率
(1)如果规定竞赛得分在 为“良好”，在 为“优秀”，以这100名参赛学生中竞赛得分的频
率作为全校知识竞赛中得分在相应区间的学生被抽中的概率．现从该校参加知识竞赛的学生中随机抽取3
人，记竞赛得分结果为“良好”及以上的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望；
(2)已知此次知识竞赛全校学生成绩 近似服从正态分布 ，若学校要对成绩不低于 分的学生进
行表彰，请估计获得表彰的学生人数．
附：若随机变量 ，则
.
【答案】(1)分布列见解析， (2)27人【解析】（1）由题意知， 的可能取值0，1，2，3．
由题可知，任意1名学生竞赛得分“良好”及以上的概率为 ，竞赛得分是“良好”以下的概率为
．若以频率估计概率，则 服从二项分布 ．
； ；
； ．
所以 的分布列为:
．（或 ）
（2）
估计获得表彰的学生人数为 人.
20．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）若 ，从X的取值中随机抽取 个
数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量 以下问题的求解中可以利用这一结论．
根据以往的考试数据，某学校高三年级数学模考成绩 ，设从X的取值中随机抽取25个数据
的平均值为随机变量Y．现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为 ，
， ，其余5个数分别为97，97，98，98，98．
(1)求 的中位数及平均值；(2)求 ．
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ， ，
．
【答案】(1)中位数为98，平均值为 (2)
【解析】（1）由已知得，有10个数不超过97，有10个数不低于98，中间的5个数为97，97，98，98，
98，所以 的中位数为98，
进一步由已知得， 的平均值为
．
故中位数为98，平均值为 .
（2）由题意知 ，即 ，
因为 ， ，
所以
．
1．（2015·山东·高考真题（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中
随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【解析】由题意
故选B．
2．（2015·湖南·高考真题（理））在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C
为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为
附：若 ，则 ，
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
【答案】C
【解析】根据正态分布的性质， ，故选C.
3．（2015·湖北·高考真题（理））设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．
下列结论中正确的是（ ）A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
【答案】C
【解析】由正态密度曲线的性质可知， 、 的密度曲线分别关于 、
对称，因此结合所给图象可得 且 的密度曲线较 的密度曲线
“瘦高”，所以 ，所以对任意正数 ， ．
4．（2011·湖北·高考真题（理））已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ．
由题意知图象（如图）的对称轴为直线 ，，
所以 ．
所以 ．
故选：C．
5．（2010·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且 =0.6826，则p
（X>4）=（ ）
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585
【答案】B
【解析】正态分布曲线关于 对称，因为 ,故选B．
二、解答题
6．（2008·四川·高考真题（理））设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 ，购买乙种商品
的概率为 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)记 表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望．
【答案】(1)0.5；(2)0.8；(3)分布列见解析． ．
【解析】（1）令 表示进入商场的1位顾客购买甲种商品的事件， 表示进入商场的1位顾客购买乙种商
品的事件，令 表示进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的事件，则 ，，
所以 .
（2）令 表示进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的事件，由（1）知，其对立事件
，
，所以 .
（3） 的所有可能值为0，1，2，3，由（2）知， ，
， ， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
的期望 .
7．（2010·湖南·高考真题）如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直
方图.
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居
民数X的分布列和数学期望．【答案】(1) ；(2)分布列见解析， .
【解析】(1)依题意及频率分布直方图知， ，解得 .
(2)由题意知， .
因此 ， ，
， .
故随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为 .
8．（2011·天津·高考真题（理））学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 个白球、 个黑球；
乙箱子里装有 个白球、 个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 个球，
若摸出的白球不少于 个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（I）求在一次游戏中，
（i）摸出 个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（II）求在两次游戏中获奖次数 的分布列及数学期望
【答案】（I）（i） ；（ii） ；（II）见解析【解析】（I）记“在一次游戏中摸出 个白球”为事件 ，
（i） ，即摸出 个白球的概率为：
（ii）
即获奖的概率为：
（II）由题意可知， 所有可能的取值为： ，且
则 ； ；
的分布列如下：
9．（2017·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上
随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.1 10.0 10.0
9.95 9.96 9.96 9.92 9.98
2 1 4
10.2 10.1 10.0 10.0 10.0
9.91 9.22 9.95
6 3 2 4 5
经计算得 ， ，其中xi为抽取的第i个零件
的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，
.
【答案】（1） ， （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在 之外的概率为0.0026，
故 .
因此 .
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 ，
得 的估计值为 ， 的估计值为 ，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的平均数为 ，
因此 的估计值为 .
，
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的样本方差为 ，
因此 的估计值为 .
10．（2014·全国·高考真题（理））从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，
近似为样本方差 .
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用（i）的结果，求 .
附：
若 则 ， ．
【答案】（I） ；（II）（i） ；（ii） ．
【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值 和样本方差 分别为
，
．
（II）（i）由（I）知， 服从正态分布 ，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知
，所以 ．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的 原则；3、二项分布的期望．
11．（2013·湖北·高考真题（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）
的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p．
0
（1）求p 的值；
0
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣
3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B
两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟
组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p 的概率运完
0
从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
【答案】（1）0.9772 （2）A型车5辆，B型车12辆
【解析】(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.
由正态分布的对称性，可得
p＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝ ＋ P(700<X≤900)＝0.977 2.
0
(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y.
依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，
P(X≤36x＋60y)≥p .
0
由(1)知，p＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p 等价于36x＋60y≥900.
0 0
于是原问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距 最
小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．
