文档内容
p ,所以p 最大. n n+1 n n+1 22 因此当n=22时,p 最大. (15分) n 5.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭 绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调 查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其 中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次, 记第i次试验中A种的数目为随机变量 X(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种 i 的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立. (1)求X 的分布列. 1 1 20 (2)记随机变量X= ∑❑X.已知E(X+X)=E(X)+E(X),D(X+X)=D(X)+D(X). 20 i i j i j i j i j i=1 1 (i)证明:E(X)=E(X ),D(X)= D(X ); 1 20 1 (ii)该小组完成所有试验后,得到X 的实际取值分别为x(i=1,2,…,20).数据x(i=1,2,…,20)的 i i i 平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分别代替E(X)和D(X),给出M,N的估计值. 已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,nQ( Q)P−n 为抽取的个数),则D(X)=n 1− P P P−1 Ck C100−k 解析 (1)依题意,X 服从超几何分布,故X 的分布列为P(X =k)= M N ,k∈N,0≤k≤100. 1 1 1 C100 M+N X 0 1 … 99 100 1 C0 C100C1 C99 C99C1 C100C0 P M N M N … M N M N C100 C100 C100 C100 M+N M+N M+N M+N (2)(i)证明:由题可知 X(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,所以 E(X )=E(X )=… i 1 2 =E(X ),E(X)=E ( 1 ∑❑ 20 X ) = 1 E (∑❑ 20 X ) = 1 ∑❑ 20 E(X)= 1 ×20E(X )=E(X ), 20 20 i 20 i 20 i 20 1 1 i=1 i=1 i=1 D(X)=D ( 1 ∑❑ 20 X ) = 1 D (∑❑ 20 X ) = 1 ∑❑ 20 D(X)= 1 ×20D(X )= 1 D(X ). 20 i 202 i 202 i 202 1 20 1 i=1 i=1 i=1 1 故E(X)=E(X ),D(X)= D(X ). 1 20 1 100M (ii)由(i)可知X的均值E(X)=E(X )= . 1 M+N 100MN(M+N−100) 由公式得X 的方差D(X )= , 1 1 (M+N) 2 (M+N−1) 5MN(M+N−100) 所以D(X)= . (M+N) 2 (M+N−1) 100M { =30, M+N 依题意有 5MN(M+N−100) =1, (M+N) 2 (M+N−1) 解得N=1 456,M=624, 所以可以估计M=624,N=1 456. 练风向 (新定义理解)(2024浙江金丽衢十二校联考二,17)某工厂生产某种元件,其质量按测试指标 划分为指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取这种元件100件进行检测,检 测结果统计如下表:测试 [20,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 指标 元件 12 18 36 30 4 数(件) (1)现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率. (2)关于随机变量,俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若随机变量X具有数学期望 σ2 E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对任意正数ε,均有P(|X-μ|≥ε)≤ 成立. ε2 ( 1) 1 (i)若X~B 100, ,证明:P(0≤X≤25)≤ ; 2 50 (ii)该结论表示即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是 有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合“切比雪夫 不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信.(注:当随机事件A发生的概率小于0.05时, 可称事件A为小概率事件) 解析 (1)记事件A为其中一件是合格品(注意:并不一定只有一件合格品),事件B为抽到 C2 161 C2 −C2 301 两个合格品,P(AB)= 70 = ,P(A)= 100 30 = , C2 330 C2 330 100 100 P(AB) 161 23 则P(B|A)= = = . P(A) 301 43 ( 1) (2)(i)证明:若X~B 100, ,则E(X)=50,D(X)=25, 2 又P(X=k)=Ck (1) 100 =P(X=100-k), 100 2 1 1 所以P(0≤X≤25)= P(0≤X≤25或75≤X≤100)= P(|X-50|≥25), 2 2 25 1 由切比雪夫不等式可知P(|X-50|≥25)≤ = , 252 25 1 所以P(0≤X≤25)≤ . 50 (ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立, 则X~B(100,0.9),所以E(X)=90,D(X)=9, 9 由切比雪夫不等式知P(X=70)≤P(|X-90|≥20)≤ =0.022 5, 400 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022 5,此概率极小,由小概率事件 可知,一般来说,在一次试验中是不会发生的,据此我们有理由推断工厂声称的合格率不可 信.
