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专题 06 抛体运动
[题型导航]
题型一 平抛运动基本规律的应用.......................................................................................................1
题型二 有约束条件的平抛运动模型...................................................................................................4
题型三 平抛运动的临界与极值问题...................................................................................................6
题型四 斜抛运动...................................................................................................................................7
[考点分析]
题型一 平抛运动基本规律的应用
1．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v 方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，
0
则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v＝v，位移x＝vt.
x 0 0
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度v＝gt，位移y＝gt2.
y
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与 初速度 v 无关．
0
(2)水平射程：x＝vt＝v，即水平射程由 初速度 v 和 下落高度 h 共同决定，与其他因素无关．
0 0 0
(3)落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与
t
初速度 v 和 下落高度 h 有关．
0
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图1所示．图1
(5)两个重要推论
图2
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图2中A点和B点所示．
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位
移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
[例题1] 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投
壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人在不同位置沿水
平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，
竖直方向下落的高度相等。忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是
（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（ ）
A．甲、乙两人所射箭的初速度大小之比为16：9
B．甲、乙两人所射箭落入壶口时的速度大小之比为3：4
C．甲、乙两人投射位置与壶口的水平距离之比为16：9
D．甲、乙两人所射箭落入壶口时的动能之比为16：9
[例题2] 定点投篮时，第一次出手位置较高，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为 60°；
第二次出手位置较低，篮球的速度方向与竖直方向的夹角为30°。已知两次出手的位置在同一竖直线上，结果篮球都正好垂直撞到篮板上的同一点P，如图所示。不计空气阻力，则前、后
两次投出的篮球在从出手到撞板的过程中（ ）
A．撞击篮板时的速率相等
B．出手时的速率相等
C．运动的时间的比值为1：3
D．上升的高度的的比值为√3：3
[例题3] （多选）图（a）为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平
地面上，轻杆AB可绕支架顶部水平轴OO'在竖直面内自由转动。A端凹槽内装有一石子，B
端固定一配重。某次打靶时，将杆沿逆时针方向转至与竖直方向成 角后由静止释放，杆在配
重重力作用下转到竖直位置时石子被水平抛出。石子投向正前方竖直θ放置的靶，打到靶心上方
的“6”环处，如图（b）所示。若要打中靶心的“10”环处，可能实现的途径有（ ）
A．仅增大石子的质量
B．仅增大配重的质量
C．仅增大投石机到靶的距离
D．仅增大 角
θ题型二 有约束条件的平抛运动模型
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律
还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利
解决．常见的模型如下：
方法 内容 斜面 总结
分
水平：v＝v
x 0
解 分解速度，构建速度
竖直：v＝gt
y
速 三角形
合速度：v＝
度
分
水平：x＝vt
0
解 分解位移，构建位移
竖直：y＝gt2
位 三角形
合位移：s＝
移
[例题4] 如图所示，将一小球从A点以某一初速度水平抛出，小球恰好落到斜面底端B点，
若在B点正上方与A等高的C点将小球以相同大小的初速度水平抛出，小球落在斜面上的 D
AD
点，A、B、C、D在同一竖直面上。则 =（ ）
AB
1 3-√5 √2-1 √5-√3
A． B． C． D．
2 2 2 2
[例题5] 2022年2月5日下午，北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑
雪中心举行，国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物
“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有两名运动员（均视为质点）从跳台
a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v ：v ＝2：1，不计空气阻力，则两名运动
1 2
员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（ ）A．他们飞行时间之比为t ：t ＝1：2
1 2
B．他们飞行的水平位移之比为x ：x ＝2：1
1 2
C．他们在空中离坡面的最大距离之比为s ：s ＝2：1
1 2
D．他们落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为 ： ＝1：1
1 2
[例题6] 如图甲所示，为一梯形平台截面图，OP为粗糙θ水平θ面，PD为斜面，小物块置于
粗糙水平面上的O点，每次用水平拉力F将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到斜面顶
端P点时撤去拉力。小物块在大小不同的拉力F作用下落在斜面上的水平射程的x不同，其F
﹣x图如图乙所示，若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角 ＝
45°，g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（ ） θ
A．小物块每次落在斜面上的速度方向不同
B．不能求出小物块质量
C．小物块质量m＝1.0kg
D．O、P间的距离s＝0.625m
[例题7] 如图所示，竖直平面内有一足够长且与水平方向成30°的斜面，斜面上有A、B
两点，S点在O点正上方，其中OS、OA、AB的长度均为l，若以初速度v 从S点水平射出一
0
个小球，正好可以击中 A 点，不计空气阻力，当地重力加速度为 g，以下说法正确的是
（ ）A．若将发射速度增大到2v ，则正好击中B点
0
B．小球分别击中A点和B点时速度与斜面夹角相同
√3
C．调整v 大小使小球击中B点，则击中时速度大小为 √gl
0
2
√3+√11√ l
D．若小球以3v 的速度射出，则落到斜面的时间为
0
2 g
题型三 平抛运动的临界与极值问题
处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题．
[例题8] （多选）如图所示，倾斜放置的挡板OM与竖直方向的夹角60°，从O点正下方
的A点以v ＝10√3m/s的水平初速度向右抛出一个质量为m＝1kg的小球（可视为质点），若
0
小球的运动轨迹恰好与挡板上的B点相切（B点未画出），重力加速度g取10m/s2，不考虑空
气阻力，则（ ）
A．小球到达B点时的速度大小为10m/s
B．从A到B过程中，小球的动量变化量为10kg•m/s
C．O、A两点间的距离为10m
D．从A到B过程中，小球的动能增加量为50J
[例题9] 如图所示为某种弹射装置的示意图，光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带
理想连接，传送带长度L＝4.0m，皮带轮沿顺时针方向转动，带动皮带以恒定速率v＝3.0m/s
匀速传动。三个质量均为m＝1.0kg的滑块A、B、C置于水平导轨上，开始时滑块B、C之间
用细绳相连，其间有一压缩的轻弹簧，处于静止状态。滑块A以初速度v ＝2.0m/s沿B、C连
0
线方向向B运动，A与B碰撞后粘合在一起，碰撞时间极短。连接B、C的细绳受扰动而突然
断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。滑块C脱离弹簧后以速度v ＝2.0m/s滑上传送带，
C并从右端滑出落至地面上的P点。已知滑块C与传送带之间的动摩擦因数 ＝0.20，重力加速
度g取10m/s2．求： μ
（1）滑块C从传送带右端滑出时的速度大小；
（2）滑块B、C用细绳相连时弹簧的弹性势能E ；
p
（3）若每次实验开始时弹簧的压缩情况相同，要使滑块C总能落至P点，则滑块A与滑块B碰
撞前速度的最大值v 是多少？
m
题型四 斜抛运动
1．落点与抛出点在同一水平面上时的飞行时间：t＝.
2．射高：Y＝＝.
3．落点与抛出点在同一水平面上时的射程
X＝v ·t＝vcos θ·＝.
0x 0
4．影响射程的因素
(1)当θ一定，v0越大，射程越大．
(2)当v0大小一定，θ＝45°时射程最大，当θ>45°时，射程随θ增大而减小；θ<45°时，射程随θ减
小而减小．
[例题10] 通常情况下，实际的抛体都是在介质中运动的。由于介质对运动物体的阻力作用，
物体运动速度会降低。已知在空气中运动的物体所受阻力方向与运动方向相反，大小随速度的
增大而增大。通常情况下，地球自身运动和地球的形状对抛体运动影响非常微小，可忽略不计。
可以认为抛体运动的物体在某点的受力情况如图所示。假定空气中一弹丸从地面抛射出去，初
速度为v ，方向与水平地面夹角为 ；弹丸落地时，速度大小为v，方向与水平地面夹角为
0
，落地点与抛出点在同一水平面。从θ弹丸抛出到落地，下列分析正确的是（ ）
αA．弹丸上升的时间大于下降的时间
B．弹丸的加速度先减小后增大
C．弹丸在最高点时的加速度是重力加速度
D．弹丸落地时与水平方向的夹角 大于抛出时与水平方向的夹射角
[例题11] 由于空气阻力的影响α，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线θ ，而是“弹道曲线”，如
图中实线所示。假设图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d
为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c两点距
地面的高度相等。下列说法正确的是（ ）
A．到达b点时，炮弹的速度为零
B．到达b点时，炮弹的加速度为零
C．炮弹经过a点时的速度小于经过c点时的速度
D．炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间
[例题12] 如图所示，水平地面有一个坑，其竖直截面为y＝kx2的抛物线（k＝1，单位为
1 3s
），ab沿水平方向，a点横坐标为- ，在a点分别以初速度v 、2v （v 未知）沿ab方向
0 0 0
m 2
抛出两个石子并击中坑壁，且以v 、2v 抛出的石子做平抛运动的时间相等。设以v 和2v 抛
0 0 0 0
出的石子做平抛运动的时间为t，击中坑壁瞬间的速度分别为v 和v ，下落高度为H，（仅s
1 2
和重力加速度g为已知量），则（ ）（选项中只考虑数值大小，不考虑量纲）A．不可以求出t
√4s
B．可求出t大小为
g
C．可以求出v 大小为√3g+16gs2
1
4
D．可求出H的大小为2s2
