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专题 4.7 极值点偏移问题
题型一 对称变换法
题型二 差值代换法
题型三 比值代换法
题型四 对数均值不等式
题型一 对称变换法
例1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）已知关于 的方程 有
两个不等的实根 ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ，
，证明：
练习1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数 （
）．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
练习2．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)当 有两个零点时，分别设为 ， ，试判断 与2的大小关系，并证
明.练习3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)求函数 的单调区间和最大值；
(2)设函数 有两个零点 ，证明： ．
练习4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间与极值．
(2)若 ，求证： ．
练习5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
题型二 差值代换法
例3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
例4．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .练习6．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)若函数 为增函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个极值点 、 ．求证： ．
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（其中 是自然对数的底数）
(1)试讨论函数 的零点个数；
(2)当 时，设函数 的两个极值点为 、 且 ，求证：
.
练习8．（2022春·全国·高二期末）设函数 （ ）．
(1)当 时试讨论函数f(x)的单调性；
(2)设 ，记 ，当 时，若方程
有两个不相等的实根 ， ，证明 ．
练习9．（2022春·全国·高二期末）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 的图象与 的图象交于 ， 两点，
证明： .
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求证：当 时， ；
(2)当方程 有两个不等实数根 时，求证：题型三 比值代换法
例5．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，
．
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．
例6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的极值点的个数；
(2)若函数 恰有三个极值点 、 、 ，且 ，求 的最
大值．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .
练习12．（2022秋·福建宁德·高三校考期中）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， （e为自然对数
的底数）
(1)当 时，恰好存在一条过原点的直线与 ， 都相切，求b的值；
(2)若 ，方程 有两个根 ，（ ），求证：．
练习14．（2023·新疆·校联考二模）已知函数 ， ，其中 为自然
对数的底数．
(1)若 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)记 有两个极值点为 、 ，试证明： ．
练习15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
题型四 对数均值不等式
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 有唯一零点，设满足条件的 值为 与 证明：① 与 互为
相反数；② ；
(2)设 .若 存在两个不同的极值点 、 ，证明 .
参考数据： ，
例8．（2022春·四川南充·高二统考期末）设函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)设 ，记 ，当 时，若方程
有两个不相等的实根 ，求证： ．
练习16．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数， ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，且当 时， ，证明： ．
练习17．（2023·全国·高三专题练习）设函数
为 的导函数.
(1)求 的单调区间；
(2)讨论 零点的个数；
(3)若 有两个极值点 且 ，证明： .
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)求证： ， ；
(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
练习19．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个不相同的零点 ，设 的导函数为 .证明：
.
练习20．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中
为自然对数的底数.
