培优02坐标平面内的图形变换、与动点问题（6大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷

培优 02 坐标平面内的图形变换、与动点问题（6 大题型） 题型1 坐标平面内点坐标的平移 平移规律：左减右加（x坐标），上加下减（y坐标）。例如，点 (a,b)向右平移m个单位、向上平移 n个单位后坐标为 (a+m,b+n)。注意反向平移时符号取反。 关键：明确平移方向与距离，直接应用坐标加减法则。 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系 中，将点 先向左平移2个单位长度， 再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点在坐标系下的平移，掌握好点平移的计算方式是关键．根据坐标平移的规律，横坐 标左减右加，纵坐标上加下减，将点A先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，依次计算即可． 【详解】向左平移2个单位：横坐标减少2， 原横坐标为3，平移后横坐标为： ； 向上平移4个单位：纵坐标增加4，原纵坐标为 ，平移后纵坐标为： ； 则平移后点B的坐标为 ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点 向左平移 个单位长度，向上平移 个单位长度后对应点 ，则点 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标平移规律；根据坐标平移规律，点向左平移时横坐标减少，向上平移时纵坐标 增加．确定平移后的坐标，再根据各象限点的符号特征判断位置即可． 【详解】解：点 向左平移4个单位，横坐标变为 ； 向上平移6个单位，纵坐标变为 ； 故点 的坐标为 ． 在平面直角坐标系中，第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正， 因此点 位于第二象限． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点 ，则 将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，坐标确定位置，根据题目的已知条件建立适当的平面直角坐标 系是解题的关键．根据已知建立适当的平面直角坐标系，然后再根据点的平移规律，即可解答． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系如图所示：棋子“马”位于点 ， 将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ， 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创 新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G” 字样的艺术字，若定位点A的坐标为 ，定位点B的坐标为 ，则打印喷头从点A先向右再向下 移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵ 平移到点 ， ∴点A先向右8个单位，再向下移动5个单位至点B， ∴向右和向下移动的距离之和为 ， 故答案为：13． 5．（24-25八年级下·河北保定·期末）线段 两端点的坐标分别为 ， ，若将线段 平移， 使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为 ，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的性质，解题的关键是通过已知对应点（B与D）确定平移向量，再利用平移向量计算未知对应点（C）的坐标． 计算B到D的横、纵坐标变化量（平移向量）；用相同的变化量计算A平移后对应点C的坐标． 【详解】解： ，点B的对应点为点 ， 变化规律是横坐标减2，纵坐标减1， ， 平移后点A的对应点C的坐标为 故答案为： 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图： ，若将线段 平移至 ，则 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐 标上移加，下移减是解决问题的关键． 根据点A和 的坐标确定出横向平移规律，点B和 的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值， 然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴平移规律为向右 个单位，向上 个单位， ∴ ， ∴ ． 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为 ． (1)若点P在过点 且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；(2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距 离为7，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【分析】（1）因为点P在过点 且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐 标为 ，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中， 即可得到答案． 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加， 下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标 特征． 【详解】（1）解：∵P点在过点 且与y轴平行的直线上， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴点P的坐标为 ； （2）由题意知，点M的坐标为 ，即 ， ∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴ ， 解得 ． 8．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中， 为原点，点 ． (1)如图①，三角形 的面积为_____．(2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、 _____； ②点 是一动点，若三角形 的面积等于三角形 的面积，直接写出点 坐标． 【答案】(1)3 (2)① ；②点 坐标 或 【分析】本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移的坐标变换规律“左减右加， 上加下减”，属于中考常考题型． （1）利用三角形面积公式求解即可； （2）①利用平移变换的坐标变换规律求解即可； ②根据两三角形面积相等，构建方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ， 故答案为：3； （2）解：①∵将点 向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D． ∴点D的坐标为 ，即点 ， 同理： ， ， ∴点E的坐标为 ，点F的坐标为 故答案为： ； ； ． ② ， ， ， ∴∴ 解得： 或 ， ∴点 坐标 或 ． 题型2 坐标平面内的线段的平移问题 平移线段即平移端点：将线段两个端点按相同方向和距离平移，再连接新端点。若求平移后长度，因平 移不改变长度，可直接用原长或距离公式验证。以线段平移为平台，可以涉及图形面积、角度之间关系 的等问题，需要结合相关知识解答。 9．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，且 ， ． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)将线段 平移得到线段 ，点A的对应点是点C，求三角形 的面积； (3)在（2）的条件下，过点D作 轴于点E，请问在射线 上，是否存在点P，使得三角形 的 面积等于三角形 面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， ． (2)12 (3)存在，点 【分析】本题考查绝对值和平方根的性质、图形的平移、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的运用， 分类讨论是解答的关键． （1）利用绝对值和算术平方根的性质求得a、b值即可； （2）先由点A和其对应点C的坐标得到平移方式，进而得到点B对应点D的坐标，过点D作 轴于点F，然后根据面积公式即可求解； （3）设 ，三角形 的面积为 ，则 ，然后分当 时，当 时，当 时， 当 时四种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵A在x轴负半轴， ∴ ， ∴ ， ， 故答案为： ， ． （2）解： 点 的对应点是点 ， 将线段 先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段 ， 点 对应点D坐标为 ． 如图-1，过点D作 轴于点F，则 ， ． 三角形 的面积 ． （3）解：存在，点 ． 设 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，则 ． 当 时，如图-1，连接 ． ， ，． 不成立； 当 时， ， 不成立； 当 时，如图-2． ． ， ． ． ，此时点P的坐标为 ． 当 时， ， 不成立． 综上可知，点P的坐标为 ． 10．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点 ， ，且 实数 、 满足 ． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)如图1， 为线段 上一点，且 ，求点 的坐标； (3)如图2，将线段 平移至 ，使点 的对应点 落在x轴上，点 的对应点 落在 轴上，连接 、 ， 为线段 上一点， 为 轴上一动点，若 ，求 的值． 【答案】(1) ，(2) (3) 或 【分析】（1）利用 可得 ，解出 、 的值即可求出． （2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作 于点 G，过点C分别作 于点M， 于点N，连接 ，首先得到 ， 求出 ，得到 ， ， ，由 求出 ，进 而求解即可； （3）设 与y交于K，连接 ，则 ，得出 ，因为 ，故 ，由 代数求解即可． 【详解】（1） ， ， ， ， ． （2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作 于点 G，过点C分别作 于点M， 于点N，连接∴ ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∴ ∴ ； （3）∵点 ， ，由平移可得点 ， ， 设 与y交于K， 连接 ，则 ，， ， ， ， ， ， ， 或 ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，平方值和根号值的非负性、平面几何和坐标、平面直角坐标系 中三角形面积求法、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解 决问题的关键． 11．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴，到 轴的距离 为 ，点 的坐标为 ，点 在 轴上点 的右侧，且 ，过点 作平行于 轴的直线 ，点 是直线 上的一个动点． (1)若点 在第一象限，且到 轴的距离为 ．①则点 的坐标为______； ②如图2，连接 、 、 ，平移线段 ，使点 到点 的位置、点 到点 的位置，则点 的坐标 为______． (2)平移图2中的线段 ，点 始终在直线 上，设点 的纵坐标为 ． ①在点 运动的过程中，若线段 与 轴有一个交点，求点 的纵坐标 的取值范围； ②当三角形 的面积等于 时，求点 的坐标． 【答案】(1)① ；② (2)① ；② 或 【分析】本题考查了平移的性质，三角形、梯形的面积公式及利用割补法求面积，掌握平移的性质是解本 题的关键． （1）①先确定出 ，进而求出 ，求出 ，即可求出答案； ②先判断出点A向右平移 个单位，向上平移1个单位到点 ，即可求出答案； （2）①找出当点 平移到 轴上时和当点 平移到 轴上时， 的值，即可求出答案； ②分两种情况，由平移的性质，利用割补法，即可分别求出答案． 【详解】（1）解：① 点A在 轴正半轴，到 轴的距离为 ， ， ， 点 在 轴上点A的右侧，且 ， ， ， 过点 作平行于 轴的直线 ， 点 的横坐标为 ， 点 在第一象限，且到 轴的距离为 ， 点 ， 故答案为： ； ②由平移得，点 平移到点 ，点A向右平移 个单位，向上平移1个单位到点 ， 点 向右平移 个单位，向上平移1个单位到点 ， ， ， 故答案为： ； （2）解：由（1）知， ， ， ①当点 平移到 轴上时，点 向下平移 个单位，此时 ， 当点 平移到 轴上时，点 向下平移2个单位， 点 也向下平移2个单位，此时 ， 当线段 与 轴有一个交点时，点 的纵坐标 的取值范围是 ， 故答案为： ； ② ， ， 由（1）知， ， 如备用图，当点 在 轴上方时， ， 三角形 的面积等于 ， ， ， 解得 ， 点 ，， ； 当点 在 轴下方时， ， 如备用图2：过点 作 直线 ，于点 ， 三角形 的面积等于 ， ， ， ， ， 解得 ， 点 ， ， ， 即点 或 ． 12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 ，点B坐标为 ，且 ．(1) ， ，点B的坐标为 ． (2)点C在第一象限内， 轴，将线段 进行适当的平移得到线段 ，点A的对应点为点D，点B 的对应点为点C，连接 ．若 的面积为16，求线段 的长． 【答案】(1)3， ， (2)8 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，平移的 性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质可求出 ， ，则可得出答案； （2）由（1）可知 ，由平移可知点B的对应点为点C，点B的纵坐标为 ，可得点D与点A的纵 坐标之差为4，得点D到 的距离为4，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，且 ， ， ， ， ， ， 则点B的坐标为 ， 故答案为：3， ， ； （2）由（1）可知 ， ∵ 轴， ∴点C纵坐标为3， 由平移可知点B的对应点为点C， ∵点B的纵坐标为 ， ∴点C与点B的纵坐标之差为 ，∴点D与点A的纵坐标之差为4， ∵ 轴， ∴点D到 的距离为4， ∵ ， ∴ ． 13．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究： 如图，已知点 满足 ．将线段 先向上平移2个单位，再向右平移1个 单位后得到线段 ，并连接 (1)点 的坐标是 ，点 的坐标是 ； (2)点 从 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为 秒，问：是否存在这样的 ， 使得四边形 的面积等于9？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点 从 点出发的同时，点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动， 设射线 交 轴于点 ．设运动时间为 秒，直接写出 的值． 【答案】(1) ； (2)存在，3 (3)3 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点 ，点 ， ，由面积关系可求解； （3）分点N在线段 上，点N在 的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ，，解得 ， ∴点A和点 的坐标分别为 ； ， 故答案为： ； ； （2）解：存在． 过D作 的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点A和点 的坐标分别为 ； ， ∴ ， ∵将线段 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段 ， ∴点C和点D的坐标分别为 和 ， ∴ ， 设M点坐标为 ，连接 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ，解得 ， ∴存在这样的 ，使得四边形 的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段 上时，如图所示，设运动时间为 秒， ，过D作 的延长线，垂足为H ，连接 ， ∵ ， ， ∴ = = ， 当点N运动到线段 的延长线上时，如图所示，设运动时间为 秒， ，连接 ， ， 综上可知， 的值为 ． 【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积 公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．题型3 坐标平面内的三角形的平移问题 整体平移三个顶点：按平移向量移动每个顶点，保持相对位置不变。若求面积，因平移不改变形状，面 积与原三角形相同，可用鞋带公式验证。 技巧：先标出平移后顶点，再连线成三角形，避免遗漏点。 14．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去 ，横坐标 保持不变，所得图形与原图形相比（ ） A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位 C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据坐标平移的规律，纵坐标的变化对应上下平移，减 3则向下平移3个单位，据此可得答案． 【详解】解：将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，相当于每个点的位置在竖直方向上减少 了3．根据平移规律，纵坐标减少表示向下平移，因此所得图形与原图形相比向下平移了3个单位． 故选B． 15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点 的 坐标为 ，另一顶点 的坐标为 ，移动胶片，使顶点 移动至点 处，原来顶点 移动至点 处， 则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了坐标与图形变化－平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同． 先由M到N判断平移的方式，再求点P的坐标． 【详解】解：∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∴由M到N先向右平移3个单位，再向上平移2个单位， ∴由N到P先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，∴点 的坐标为 ． 故选C． 16．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位 置坐标为 ，图书馆位置坐标为 ，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系； (2)若体育馆位置坐标为 ，请在坐标系中标出体育馆的位置 ； (3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形 ，求三角形 的面积． (4)若三角形 内部有一点 ，经过平移后的对应点 的坐标为 ，且 的对应点分 别为 ，请说明三角形 是如何由三角形 平移得到（沿网格线平移）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)三角形 是由三角形 向右平移1个单位长度，向下平移2个单位得到的 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，平面直角坐标系内图形的平移，求三角形的面积，准确的 建立直角坐标系是解题的关键． （1）根据点的坐标特点建立直角坐标系即可； （2）根据直角坐标系描出点； （3）根据梯形的面积减去两个三角形的面积可得答案； （4）根据坐标的变化得出图形的平移特征，可得答案． 【详解】（1）解：建立直角坐标系，如图所示；（2）解：如图所示； （3）解：如图所示： 三角形 的面积为 ． （4）解：∵点 ，经过平移后的对应点 的坐标为 ， ∴三角形 是由三角形 向右平移1个单位长度，向下平移2个单位得到的． 17．（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分 别是 ， ， ，三角形 中任意一点 ，经平移后对应点为 ， 将三角形 作同样的平移得到三角形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， ．(1)点 的坐标为______； (2) 画出三角形 ； 写出三角形 的面积______． (3)若点 在 轴上且 的面积为 ，则点 的坐标为______． 【答案】(1) ； (2) 见解析； ； (3) 或 ． 【分析】本题考查了坐标系中的平移、坐标与图形等知识，正确得出平移的方式是解题的关键． （1）先根据 点坐标得出图形的平移方式是先向左平移 个单位，再向上平移 个单位，进而得到答案； （2） 先画出 ， ， 平移后的对应点 ， ， ，再顺次连接即可； 把 补充成一个 的矩形，利用割补法求解即可； （3）设点 的坐标为 ，根据 的面积为 建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 三角形 中任意一点 ，经平移后对应点为 ， 图形的平移方式是先向左平移 个单位，再向上平移 个单位， 点 的坐标为 ， 点 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 点 的坐标为 ；故答案为： ； （2） 解：如下图所示，三角形 即为所求作， 解：如下图所示，把 补充成一个 的矩形， ； 故答案为： ； （3）解：设点 的坐标为 ， 的面积为 ， ， ， ， 解得： 或 ， 点 的坐标为 或 ， 故答案为： 或 ． 18．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 经过平移得到 ．(1)分别写出点 的坐标： ， ．并说明 是由 经过怎样的平移得到的． (2)若点 是 内部一点，经过相同的平移后对应点 的坐标为 ，求 和 的值． 【答案】(1) ， ， 是由 先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 的 (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移规律，是解题的关键． （1）根据图形写出点 的坐标即可，根据点A向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 点 得出 是由 先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的； （2）根据点 是 内部一点，经过相同的平移后对应点 的坐标为 ，列出方程，解 方程即可． 【详解】（1）解：根据图形可知： ， ； ∵点A向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点 ， ∴ 是由 先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的； （2）解：∵点 是 内部一点，经过相同的平移后对应点 的坐标为 ， ∴ ， ， 解得： ．题型4 坐标平面中的轴对称变化 对称轴决定坐标变换： 关于 x 轴对称： (a,b)→(a,−b)；关于 y 轴对称： (a,b)→(−a,b)；关于直线 y=x 对称：交换坐标 (a,b)→(b,a)。 关键：先确定对称轴，再按规则改变坐标符号或位置。 19．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 关于y轴的对称点是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于对称轴对称的点的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数， 纵坐标不变，直接得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点 关于y轴的对称点是 ， 故选：B． 20．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知 与点 关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解： 与点 关于x轴对称， 故 ， 解得 ， 故 ， 故答案为：0． 21．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若平面直角坐标系中的两点 关于y轴对称，则 的值是 ． 【答案】2【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问 题的关键，根据关于 轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求得a、b的值即可求得答案． 【详解】解： 点 关于 轴对称，， ， ， 则 的值是： ， 故答案为：2． 22．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， 点C的坐标未知，图中已经画出y轴． (1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出 关于x轴对称的 ．并直接写出 的坐标． 【答案】(1) 轴及原点O 见详解， (2) 见详解； ， ， 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，作轴对称图形； （1）由点A的坐标为 ，确定原点，即可确定 轴，写出 的坐标，即可求解； （2）作出 ，写出坐标，即可求解； 能根据已知点的坐标建立直角坐标系，会作轴对称图形是解题的关键． 【详解】（1）解： 轴及原点O，如图，； （2）解：如图， 为所求作； ， ， ． 23．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 ，格点三角 形（顶点是网格线的交点的三角形） 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出 关于 轴对称的 ；(3)把 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到 ，写出点 的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，图形平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中图形平移的性 质，进行解答，即可． （1）根据 ， 的坐标 ， ，确定平面直角坐标系的原点，即可． y （2）由（1）平面直角坐标系可得点B的坐标，根据点关于 对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得 到点A，B，C的坐标，依次连接，即可； （3）根据平移的规律，左减右加，上加下减，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． A4,5 C1,3 B2,1 （2）解：∵点 ， ， VABC y ABC A4,5 C1,3 B2,1 ∴ 关于 轴对称的 的坐标， ， ， ，依次连接， ∴ ABC即为所求．A4,5 C1,3 B2,1 （3）解：∵ ， ， ， ∴  ABC先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到△ABC， B21,12 ∴ ， B3,1 ∴ ． A1,1 B2,0 24．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ， C4,3 ． (1)在平面直角坐标系中画出VABC． (2)点A关于 y 轴的对称点A的坐标为__________，点C关于x轴的对称点C的坐标为__________； PAPC (3)在 x 轴上找一点P，使 最大； y Q ACQ  (4)在 轴上找一点 ，使 的周长最小，并求出周长； (5)已知M 为x轴上一点，若 ABM 的面积为4，求点M 的坐标．【答案】(1)见解析 1,1 4,3 (2) ， P,A,C PAPC AC (3)当点 在同一条直线上时， 最大，最大值为 的长度，图见详解  ACQ 13 29 (4)图见详解， 的周长最小为 M 10,0 6,0 (5)点 的坐标为 或 【分析】本题主要考查了网格坐标系和几何图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，利用三角形的三边关系 确定最值，利用轴对称解决最短路径问题，勾股定理，根据三角形的面积确定点的坐标等知识点，解题的 关键是熟练掌握以上性质． （1）根据点的坐标确定图形即可； （2）利用轴对称的性质即可求出点的坐标； （3）利用三角形的三边关系即可确定点的位置和最值； （4）利用轴对称的性质即可确定点的位置，并利用勾股定理求出三角形的周长； Mx,0 x2 8 （5）设 ，根据三角形的面积得 ，求解即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：VABC即为所求； y 1,1 A A （2）解：点 关于 轴的对称点 的坐标为 ， 4,3 C x C 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ， 1,1 4,3 故答案为： ， ； （3）解：如图，延长CA交x轴于一点P，点P即为所求；P,A,C PAPC