文档内容
专题 4.8 平面向量的应用
【新高考专用】
题型一 用向量研究平面几何中的平行问题
1．（2024·全国·模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若3⃗OA+⃗OC=3⃗OD+⃗OB，
则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
2．（2024·全国·模拟预测）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且⃗DC=2⃗BD，
⃗CE=2⃗EA，⃗AF=2⃗FB，则（ ）
A．⃗AD+⃗BE+⃗CF与⃗BC反向平行 B．⃗AD+⃗BE+⃗CF与⃗BC同向平行
C．3⃗BE+3⃗CF−⃗BC与⃗CA反向平行 D．3⃗BE+3⃗CF−⃗BC与⃗CA不共线
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，求证：
PQ//AB.
4．（23-24高一下·云南昆明·期中）若E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边
AB，BC，CD，DA的中点.|⃗AB+⃗DC|
（1）求 的值；
|⃗HF|
（2）证明：四边形EFGH为平行四边形.
题型二 用向量研究平面几何中的垂直问题
5．（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，若|⃗AB+⃗AC|=|⃗AB−⃗AC|，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，AB=2AC，动点M满足⃑AM⋅(⃑BC+⃑AC)=0，则直线AM一
定经过△ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
7．（23-24高二上·山东泰安·开学考试）在四边形ABCD中，⃗AB⋅⃗BC=0,⃗BC=⃗AD，则四边形ABCD的
形状是 .
8．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）P是△ABC所在平面上一点，满足
，则 的形状是 ．
|⃗PB−⃗PC|−|⃗PB+⃗PC−2⃗PA|=0 △ABC
题型三 用向量解决夹角问题
1 2
9．（2024·全国·模拟预测）已知H为△ABC的垂心，若⃗AH= ⃗AB+ ⃗AC，则sin∠BAC=（ ）
3 5
√15 √10
A． B．
5 5√6 √3
C． D．
3 3
10．（23-24高一下·湖北·期末）在△ABC中，已知AB=2AC=2.点D是边BC上靠近C的三等分点.AD的
长等于边AB上的高，则tan A=（ ）
A．3 B．2√3 C．4√5 D．3√2
11．（2024·广东佛山·一模）已知△ABC中，AB=2BC=2，AB边上的高与AC边上的中线相等，则
tanB=
.
12．（2024·广东广州·三模）在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC，AC边上两条中线
AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为 .
题型四 用向量解决线段的长度问题
13．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，AB=3，⃗BD=⃗DC，⃗AE=2⃗EC，AD与BE的交点
为O，若⃗AO⋅⃗BC=−2，则AC的长为（ ）
A．√2 B．√3 C．2 D．√5
14．（2024·全国·模拟预测）△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且
1 2
⃑AD= ⃑AC+ ⃑AB，则AD的长为（ ）
3 3
A．√3 B．3 C．2√3 D．3√3
15．（24-25高三上·天津河北·期中）已知△ABC中，点G,O分别是△ABC的重心和外心，且
，则边 的长为 .
⃗AG⋅⃗AO=4,|⃗AG|=2 BC
16．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点，且AB=3，
CD=2，∠ABC=45∘，∠BCD=75∘，则线段EF的长为是 .
题型五 向量与几何最值（范围）问题
17．（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆x2+ y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(0,2)，
则|⃗PA+⃗PB+⃗PC|的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
18．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2⃗AE=3⃗EB，在平面ABCD中，
动点P满足⃗PE⋅⃗PB=0，则⃗DP⋅⃗AC的最大值为（ ）A．√41+4 B．√41−6 C．2√13+4 D．2√13−6
19．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工
业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成
的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A,B两点间的距离为2，点P为A´B上的一点，则⃗PA⋅(⃗PB+⃗PC)的
最小值为
．
20．（2024·上海·模拟预测）平面内互不重合的点A 、A 、A 、B 、B 、B 、B ，若
1 2 3 1 2 3 4
， ，2，3，4，则 的取值范围是 .
|⃗A B +⃗A B +⃗A B|=i i=1 |B B |+|B B |+|B B |
1 i 2 i 3 i 1 2 2 3 3 4
题型六 向量在几何中的其他应用
21．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量 与 满足⃗AB⋅⃗BC ⃗CA⋅⃗BC且 ⃗AB ⃗AC 1，则
⃗AB ⃗AC = ⋅ =
|⃗AB| |⃗AC| |⃗AB| |⃗AC| 2
△ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
22．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,2)，⃗AB=⃗DC，
⃗BA ⃗BC √2⃗BD，则四边形ABCD的面积为（
）
+ =
|⃗BA| |⃗BC| |⃗BD|
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（2024·广西南宁·一模）已知O是△ABC内部一点，且满足⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗，又
⃗AB⋅⃗AC=4√3,∠BAC=30°，则△OBC的面积为 .
24．（2024·上海奉贤·二模）在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成一个以原点为起点的向量
⃗α=(a,b)，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ．
题型七 用向量解决物理中的相关问题
25．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力F的作用下，由点A(2,15)移动到点B(7,8)，已知
→ ，则→对该物体所做的功为（ ）
F=(−4,3) F
A．−41 B．−1 C．1 D．41
26．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这
样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为F ，F ，且
1 2
， 与 的夹角为 ，下列结论中正确的是（ ）
|F |=|F | F F α
1 2 1 2
2π π |G|
A．当α= 时，|F |=|G| B．当α= 时，|F |=
3 1 3 2 2
π
C．当α= 时，|F |有最小值 D．α越小越费力，α越大越省力
2 1
27．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点O的三个力F ，F ，F 使物体处于平衡状态，
1 2 3
已知F =1N，F =2N，F 与F 的夹角为120°，则F 的大小为 ．（牛顿N是物理的力学单位）
1 2 1 2 3
28．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出
发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度 的大小为 ，水流的速度 的大小为
⃗v |⃗v |=10km/h ⃗v
1 1 2
，设 与 所成的角为 ，若游船要从 航行到正北方向上位于北岸的码头 处，
|⃗v |=4km/h ⃗v ⃗v θ(0<θ<π) A B
2 1 2
则cosθ=
．一、单选题
1．（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为△ABC的重心，⃗AC=λ⃗OA+μ⃗OB，则λ+μ=（ ）
A．−3 B．−2 C．1 D．6
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，若 ，且
⃑a ⃑b |⃑a+⃑b|=3 ⃑a⋅⃑b=0 ⃑c=λ⃑a+(1−λ)⃑b(λ∈R)
⃑c⋅⃑a=⃑c⋅⃑b，则|⃑c|的最大值为（ ）
1 3
A．3 B．2 C． D．
2 2
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中，A(−2,−2)，B(1,2)，
⃗OP=λ⃗OA+(3−λ)⃗OB，若⃗AP//⃗OB，则P的坐标为：（ ）
( 4)
A． 0, B．(0,2) C．(3,6) D．(3,4)
3
4．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度⃗v 的大小为
1
10km/h，水流的速度⃗v 的大小为4km/h，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头B处，其航行速
2
度的大小（ ）
A．2√21km/h B．2√37km/h C．2√10km/h D．14km/h
5．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量 ，则 的最小
|⃗OA|=4,|⃗OB|=3,|⃗OC|=1,⃗OA⋅⃗OB=0 |⃗CA+⃗CB|
值是（ ）3
A．1 B．2 C． D．3
2
6．（23-24高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体
性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力⃗F=(4,3)作用于冰球，使冰球从点A(−1,−2)移动到点
B(1,1)，则⃗F对冰球所做的功为（ ）
A．−17 B．−10 C．17 D．10
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是CB边的中点，过
点C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，则BF=（ ）
3 √3 √2 √5
A． B． C． D．
4 2 3 3
2π
8．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，AB=2，AC=2√3，AC⊥AB，∠ADC= ，则
3
⃗AD⋅⃗AB的最小值为（ ）
A．−√3 B．−2√3 C．−1 D．−2
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，AB=2√2，∠PCD=45°，
则（ ）A．⃗PA+⃗PB=⃗PC+⃗PD
B．⃗AP⋅⃗PB=⃗CP⋅⃗PD
C．|⃗PA+⃗PB|≥2√2
D．⃗AP⋅⃗PB的最大值是1
10．（2024·河北保定·一模）已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是（ ）
A．若⃑PA+3⃑PB+2⃑PC=0⃑，则点P在△ABC的中位线上
B．若⃑PA+⃑PB+⃑PC=0⃑，则P为△ABC的重心
C．若⃑AB⋅⃑AC>0，则△ABC为锐角三角形
1 2
D．若⃑AP= ⃑AB+ ⃑AC，则△ABC与△ABP的面积比为3:2
3 3
11．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知O,A,B,C是同一平面内的四点，且
，则（ ）
|⃗OA|=|⃗OB|=1,|⃗OC|=5,⃗OA⋅⃗OC=3,⃗OB⋅⃗OC=4,t∈R
A．当点A,B在直线OC的两侧时，⃗OA⋅⃗OB=0
21
B．当点A,B在直线OC的同侧时，⃗OA⋅⃗OB=
25
C．当点 在直线 的两侧时， 的最小值为3
A,B OC |⃗OC−t⃗OA−⃗OB|
D．当点A,B在直线OC的同侧时，100⃗OB=75⃗OA+7⃗OC
三、填空题
12．（2024·上海青浦·一模）已知 是单位圆上任意不同三点，则⃗AB⋅⃗AC的取值范围是 .
A,B,C
|⃗AB|
1
13．（2024·山东德州·模拟预测）在△ABC中，AB=AC=1,⃗AD=⃗DB,⃗CD⋅⃗CA= ，若M是△ABC
AB2
所在平面上的一点，则 的最小值为 .
⃗MA⋅(⃗MB+⃗MC)
14．（2024·上海·三模）空间中 两点间的距离为 ，设 的面积为 ，令 ，
A、B 8 △P P P S λ =|⃗P A⋅⃗P B|
1 2 3 i i i
3
若 ，则 的取值范围为 ．
∑2λ i=3 S
i=1
四、解答题15．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线l 、l 均与直线l垂直，垂足分别为D、E且DE=1.点A在
1 2
直线l上，点B、C在射线上.
(1)若F为线段BC的中点（未画出），求⃗AF⋅⃗AD的最小值；
(2)若△ABC为等边三角形，求△ABC面积的范围.
16．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以2√3km/h的速度垂直于对岸的
方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
17．（2024·贵州·模拟预测）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
B
sinB−cosB=1+cos .
2
(1)求sinB；
1
(2)若a=√7，c=3，D在AC上，且⃗CD= ⃗CA，求BD的长.
318．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四边形ABCD中，⃗DE=2⃗EC，2⃗AF=⃗AD，AE和BF交于点
P．
(1)若⃗AP=x⃗AF+(1−x)⃗AB，求x的值；
(2)求S 的值．
△BPE
S
△APF
19．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图在直角梯形ABCD中，⃗BC=2⃗AD，BC=CD=2，点E为CD
的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣
弧、BE分别交于点F，H.
(1)求向量⃗AF与⃗BE夹角α的余弦值；
(2)若向量⃗BH=x⃗BD+ y⃗AC，求实数x，y的值；
(3)若向量⃗BP与⃗CP的夹角为β，求cosβ的最小值.
