专题 4.9 函数 的图象及应用-重难点题型精讲
1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2． , A对函数 的图象的影响
(1) 对 的图象的影响
函数 （其中 ）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左(当 >0
时)
或向右(当 <0时)平移| |个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
(2) 对 的图象的影响
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有点的横坐标缩短(当 >1时)或
伸长(当0< <1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到.
(3) 对 的图象的影响
函数 的图象，可以看作是把 图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
(4)由函数 的图象得到函数 的图象
以上两种方法的图示如下：3．函数 的图象
类似于正弦型函数，余弦型函数 的图象的画法有以下两种.
(1)“五点法”，令 ，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到
在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得
的图象.
(2)“变换作图法”的途径有两种.
一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由 的图象通过变换作图法得到 (
>0,A>0)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数 转化为正弦型函数，即
，再由 的图象通过变换作图法得到 的图象即可.【题型1 函数 的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X= ，再用方程思想由X
取
来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
π
【例1】（2021·全国·高一专题练习）用五点法作函数f(x)＝sin(2x− )的图象时，所取的“五点”是
3
（ ）
π 5π 2π 11π 7π
A．( ,0)，( ,1)，( ,0)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
π 5π 2π 11π 11π
B．( ,0)，( ,1)，( ,0)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
π 5π 2π 11π 7π
C．( ,0)，( ,1)，( ,1)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
π 5π 2π 11π 7π
D．( ,0)，( ,0)，( ,0)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
( π)
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作函数y=cos 4x− 在一个周期内的图像时，
6
第四个关键点的坐标是
(5π ) ( 5π )
A． ,0 B． − ,1
12 12
(5π ) ( 5π )
C． ,1 D． − ,0
12 12
【变式1-2】（2022·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数
π
f (x)=Asin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
2
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π 5π
x
3 6Asin(ωx+φ) 0 5 −5 0
π
根据表格中的数据，函数f (x)的解析式可以是（ ）A．f (x)=5sin ( 2x− ) B．
6
π
f (x)=5sin ( 2x+ )
6
π π
C．f (x)=5sin ( 2x− ) D．f (x)=5sin ( 2x+ )
3 3
( π)
【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 的图象
2
时，得到如下表格：
π 2π
x
6 3
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
y 0 4 0 -4 0
π 1 π π 1
则A，ω，φ的值分别为（ ）A．4，2，− B．4， ， C．4，2， D．4，
3 2 3 6 2
π
，−
6
【题型2 三角函数的图象变换】
【方法点拨】
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
( π)
【例2】（2022·山西临汾·高三期中）为了得到y=sin3x的图象，只需将y=cos 3x− 的图象（ ）
4
3π 7π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
4 12
5π π
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4 4
【变式2-1】（2022·贵州遵义·高三期中（理））为了得到函数y=sinx的图象，只要把函数π
y=sin ( x+ ) 图象上所有的点（ ）
3
π π
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
6 6
π π
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
3 3
π
【变式2-2】（2022·天津·高一期末）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)（其中ω>0,|φ|< ）图像相邻两条
2
π ( π )
对称轴的距离为 ，一个对称中心为 - ,0 ，为了得到g(x)=sinωx的图像，只需将f (x)的图像
2 6
（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
6 12
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 12
(
2π
)
【变式2-3】（2022·江西·高三阶段练习（文））为了得到函数y=2cos 2x- 的图象，只需将函数
3
y=2sinx的图象（ ）
1 π
A．所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
2 12
π
B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
6
π
C．向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3
π 1
D．向左平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
6 2
【题型3 由图象确定函数 的解析式】
【方法点拨】
根据部分图象求出解析式中的A， ，即可得解.
π π
【例3】（2022·四川省高三阶段练习（文））函数 f (x)=2sin(ωx+φ) (ω>0，- <φ< )的部分
2 2
图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）π π
A．2，− B．2，−
3 6
π π
C．4，− D．4，
6 3
π
【变式3-1】（2022·天津市高三期中）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)+b（其中A>0，ω>0，|φ|< ）的
2
部分图像如下图，则f (2023π)=（ ）
√3 √3
A．−√3−1 B．√3−1 C． D． +1
2 2
【变式3-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））将函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<0)的
π π
图象上所有点向右平移 个单位长度，得到如图所示的函数y=g(x)的图象，则f(0)+f ( )=（ ）
6 3
A．0 B．1 C．2 D．−1π
【变式3-3】（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部
2
分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为π
π
B．f (x)=3sin ( 2x− )
3
kπ 5π
C．f (x)关于直线x= + (k∈Z)对称
2 12
5π
D．将f (x)的图像向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
12
【题型4 图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
结合具体题目，研究函数 的图象与性质时，可将 看作一个整体，利用换元法和
数
形结合思想灵活求解.
【例4】（2022·山东·高二阶段练习）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像
如图所示．(1)求f (x)的解析式及对称中心；
(α) 4 ( π)
(2)若f = ，求cos 2α+ 值；
2 3 3
1
(3)先将f (x)的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍，得到函数g(x)图像，再将g(x)图像右平移
2
π [ π 3π ]
个单位后得到ℎ (x)的图像，求函数y= ℎ (x)在x∈ , 上的单调减区间．
12 12 4
【变式4-1】（2022·江西·高二阶段练习）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图
2
象如图所示，将函数f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平
3
π
移 个单位长度，得到函数g(x)的图象．
6
(1)求函数g(x)的解析式；[ π] 2
(2)若对于∀x∈ 0, ,[g(x)] −mg(x)−3≤0恒成立，求实数m的取值范围．
3
π
【变式4-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部
2
分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式，并求出f(x)图象的对称轴方程.
(2)是否存在实数 ，使得函数 在 上恰有2023个零点？若存在，求出 和
a F(x)=f(x)−a [0,nπ](n∈N∗) a
对应的n的值；若不存在，请说明理由.
【变式4-3】（2022·江苏·高一单元测试）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)，x∈R（其中A>0，ω>0，
π
0<φ< ）的图象如图所示.
2(1)求函数f (x)的解析式及其对称轴方程；
π
(2)若f (x)的图象向右平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，
6
当x∈[0,π]时，方程g(x)=2a有两个不等的实根x ，x ，求实数a的取值范围.
1 2
【题型5 函数的零点（方程的根）的问题】
【方法点拨】
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用函数 的图象与
性质以及数形结合思想进行解题.
π 1
【例5】（2022·广西北海·一模（理））已知函数f (x)=cos ( ωx− ) − (ω>0)，将f (x)的图象上所有
3 2
1
点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，已知g(x)在[0,π]上恰有5个零点，则
2
的取值范围是（ ）
[ 8) ( 7] ( 8] [ 7)
A． 2, B． 2, C． 2, D． 2,
3 3 3 3
( π)
【变式5-1】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ< 的部分图像如
2
[π ]
图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数g(x)=f (ax)(a>0)在 ,π 上恰有3个零点，则实数a的
3取值范围是（ ）
[3 7) (5 ) [3 7) (5 17) [11 7) (5 )
A． , ∪ ,3 B． , ∪ , C． , ∪ ,3 D．
2 3 2 2 3 2 6 6 3 2
[11 7) (5 17)
, ∪ ,
6 3 2 6
π
【变式5-2】（2022·全国·高三阶段练习（理））函数f (x)=2(cosx+sinx)⋅cosx−1的图象向左平移
24
[11π 19π]
个单位得到g(x)的图象，且当x∈ , 时，关于x的方程g(x)−a=0有三个不等实根，则实数a
24 12
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
[−1,0] (−√2,−1] [−1,√2] [−√2,−1]
π
【变式5-3】（2022·湖南省高三阶段练习）将函数f (x)=sinx的图象先向右平移 个单位长度，再把所得
3
1
函数图象的横坐标变为原来的 (ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在
ω
π 3π
( , ) 上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
2 2
A．(0, 2 ] ∪ [2 , 8 ] B．(0, 8 ] C．(0, 2 )∪ [8 ,1 ] D．(0,1]
9 3 9 9 9 9
【题型6 三角函数模型】
【方法点拨】
利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）一半径为2m的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面1m，已知水轮
逆时针转动，每3s转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P ）开始计算时间.
0(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度 ℎ(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市
通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0°C时，才开放中央空调，否则关闭中央
空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：°C）随时间t（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，
(
2π
)
若该曲线近似满足f (t)=Asin ωt− +b(A>0,ω>0)关系．
3
(1)求y=f (t)的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【变式6-2】（2022·全国·高一课时练习）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，
轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T=24分钟．在圆周上均
匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系ℎ(t)的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．
【变式6-3】（2022·浙江省高二开学考试）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的
座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游
客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，
当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B
π
（其中A>0,ω>0,|φ|≤ ），求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
2
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为
ℎ
米，求
ℎ
的最大值.
