培优03勾股定理的实际应用（9大题型）（北师大2024）（原卷版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练_第2套

培优 03 勾股定理的实际应用（9 大题型） 题型1 勾股定理与图形的折叠问题 图形折叠问题的解题策略 抓折叠前后对应边相等、折痕为对称轴，构造直角三角形用勾股列方程． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在 中， ，将它的锐角A翻 折，使得点A落在边 的中点D处，折痕交 边于点E，交 边于点F，则 的长为（ ）A．2 B．3 C． D． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片 的两直角边长分别是 ， ，现将 按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为 ，则 的长是（ ） A．3 B． C．4 D． 3．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理． 第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为 ， 的正方形 和正方形 ，连接 ， 得到以 为对称轴的六边形 ，如图①； 第二步：将长方形纸板沿 折叠，沿四边形 的边剪下六边形 ，再沿 把剩余的纸板剪 开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形 和六边形 ，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形 的面积为 ，图③中六边形 的面积为 ， ．小强同学得出了以下四个结论： ① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④4．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在 中， ， 是边 上的高， ， ，E 为AC上一点，将 沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交 于点H，连接 ，则 ． 5．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在 中， 是边 的中点，E是边 上一点，连接 ．将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，则 ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 为 边上 一点，把 沿 折叠，使 落在直线 上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 7．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，D为斜边 上的一动点（不包含A，B两端点），将 沿 折叠，点A落在点 处， 与 相交于点E，若 ，则 的长为 ． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， 现将三角形纸片沿直线 折叠，使点 落在斜边 上，与点 重合，求 的长度 9．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在 中， ， ， ，D，E分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿着 折叠，顶点B的对应点 落在直角边 上，且 ．求 的长． 10．（24-25八年级下·西藏·期中）在 中， ， ， ，点D、E分别是斜边 和直角边 上的点，把 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是 ．如图，如果点 和点A重合， 求 的长．11．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形 的 边折叠，使得点C落在 边上，折 痕交 边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕 （保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形 中，若 ， ，则 _____． 12．（24-25八年级下·云南昆明·期末）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理， 是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的 部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于 ，另一种 是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，化简得： ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法， 我们称之为“双求法”．【方法运用】 (1)如图2，在 的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ，求 边上的 高； (2)如图3，在 中， ， ， ， 是 边的中线．在 中，用a，b，c表示 ． 13．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是： “如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在 中，如果 ， ， ， ，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以 下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去 本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端 顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索 长是多少？”示意图如图1所示，设绳索 的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形 折叠，使点C与点A重合，折痕为 ，如果 ， ，求 的长． 题型2 梯子的滑落问题 梯子滑落问题的解题策略 梯长固定为斜边，墙地距离为直角边，滑落时用勾股建动态方程．14．（24-25八年级下·陕西安康·期末）某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬 长的云梯到 高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面 、与宿舍外墙 的距离是 ．云梯够长吗？请说明理由． 15．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子 斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在 点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子 的顶端在点C处， ，测得顶端A距离地面的高度 为2米， 为 米，且顶端C 距离地面的高度 比 多 米，求 的长． 16．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯 的长为25米，斜靠在竖直的墙面 上，消 防梯底端A距墙面 的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度 的长，他俩合作进行了如下操作：①用皮尺测得 的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段 )的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段 的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段 的长)； (2)如果小望想使风筝沿 下降12米到 处，求他应该往回收线多少米？ 18．（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉 伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上， 通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C 到滑块B的水平距离是 ，物体C到定滑轮A的垂直距离是 ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧 状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了 ，求此时物体C升高了多少 ？ 19．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内 有两个小滑块 ， ，由一根连杆连接，滑块 分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略 不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块 距 点 ，滑块 距 点 ．(1)求 的长； (2)当滑块 向下滑 至点 处时，滑块 滑动到点 的位置，则 的长为多少 ？ 20．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米 吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方 向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上， 梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为 “梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 题型3 水中的筷子问题水中的筷子问题的解题策略 过筷子与水面交点作垂线，构造直角三角形，应用已知数据，行程方程求解． 21．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的 长度为 ，杯子底部直径为 ，杯子高为 ，则筷子露出杯口部分长度的最小值为 （ ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·河北保定·期末）表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水 深度，其示意图如图，其中 于点 尺， 尺．则 的长度为 （ ） 诗文： 波平如镜一湖 面 半尺高处生红 莲 亭亭多姿湖中 里 突遭狂风吹一 边 离开原处二尺 远 花贴湖面象睡 莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 23．（24-25八年级下·广东广州·期末）将一根 的筷子，置于底面直径为 ，高 的装满水的无 盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为 ，则 的取值范围是（ ） A． B．C． D． 24．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是 和 ，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为 和 ，，则铅笔 的长是（ ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一 丈，葭（ ）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈 尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 26．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上， ， ； (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的 最大长度是多少？题型4 测量河宽问题 与集合元素有关问题的解题策略 构造全等或相似Rt ，用标杆间距和视角差，勾股算河宽． 27．（24-25八年级△下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道 ，现测量出 ， ， ．若每天凿隧道 ，则需要 天才能把隧道 凿通． 28．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度 ，出于安全考虑，河岸边 不宜到达，她在地面上取一个参考点 ，发现 延长线上的点 处有一棵大树，用测距仪测得 米， 米， 米，已知 米，请你计算这条河的宽度 ．（结果保留根号） 29．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对 岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离 ，已知他在水中实际划了 ． （假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度 ． 30．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭 的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课 测量某水潭的宽度 题测量工 测角仪、测距仪等 具 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均 无法到达，测量小组在与 垂直的直线 上取点C（ 于点A），用 测距仪测得 、 的长． 测量过 程及示 意图 测量数 米， 米 据 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度 ． 题型5 航海问题 航海问题的解题策略 以船位为顶点，航线为直角边，勾股求最短距离或相遇时间． 31．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔 的南偏东 方向，距离灯塔 海里的 处， 它沿北偏东 方向航行 海里到达 处，此时与灯塔 的距离为（ ） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 32．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，货轮 在航行过程中，发现灯塔 在它的南偏西 方向，且与 货轮 相距 ．同时，在它的南偏东 方向又发现客轮 ，且与货轮 相距 ，求此时灯塔 与客轮 的距离．（ ：海里）33．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海 天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 海里，“海天”号每小时航 行 海里．它们离开港口 小时后相距 海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号 沿哪个方向航行吗？ 34．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达 岛，再从 岛 沿 方向航行 到达 岛， 港到航线 的最短距离是 ． (1)若轮船速度为 小时，求轮船从 岛沿 返回A港所需的时间． (2) 岛在 港的什么方向？ 35．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小 时航行12海里．(1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线 方向航行，“海 天”号沿射线 方向航行，则 ______海里， ______海里； (2)若它们离开港口 小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向 航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 36．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航 已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，各自沿一固定方向 对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东 方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需 要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟 内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ） 题型6 勾股定理的其它应用 勾股定理的其它应用的解题策略抽象为圆弧或斜面，分割为多个Rt 分段或者融合各段行程一个Rt 用勾股定理求解． 37．（22-23七年级上·山东烟台·期△中）如图，是台阶的模型图．已△知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶 的高度都是1cm，连接 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼 梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示， ， ， ． (1)求 的长； (2)若已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的 过程中没有损耗） 39．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024 年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由 调整为 、大型汽车限速值由 调整为 ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚 好行驶到车速检测仪A处的正前方 的C处（即 ），过了 小汽车到达B处，此时测得小 汽车与车速检测仪间的距离为 ． (1)求 的长； (2)这辆小汽车在 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据： ） 40．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个引水点，其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新 建一个引水点 （ 、 、 在同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路 ， 各少多少千米？ 41．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，某学校（ 点）到公路（直线 ）的距离为300米，到公交 站（ 点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（ 点），使之到学校 及到车站 的距离相等， 求商店 与车站 之间的距离． 42．（21-22八年级下·陕西渭南·期末）如图， ，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P 从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两 点恰好在C点相遇，求BC的长度？ 43．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都 为c，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果 直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则 ．【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”， 与 按如图所示位置放置，连接 ，其中 ，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于 某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在 同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原 路 少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值． 题型7 判断台风（噪音）影响范围 判断台风（噪音）影响范围问题的解题策略 以影响源为圆心，影响距为半径作圆，向路径作垂线段，构造直角三角形求解． 44．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时， 台风中心位于A市正南方向 的B处，正以 的速度沿 方向移动．已知A市到 的距离 ，如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小 时开始受到台风影响．A． B． C．6 D． 45．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路 和公路 在点 处交汇， ，公路 上 处距离 点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 上沿 方向以72千米/小时的速度行驶时， 处受到噪音影响的时间为 秒． 46．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路 由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线 上两点A，B的距离分别为 和 ，吊车周围 以内为受噪声影响区域． (1)求 的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 47．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距 市正北方向 的 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以 的速度沿直线向 处移 动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心 ，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不 受台风影响，问：(1) 市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2) 市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出 市受到台风影响的时间． 48．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小 时20的速度沿 方向移动，A到 的距离 ，在距台风中心 的圆形区域都将受到台风的影响． (1)台风中心经过多长时间将到达D点？ (2)A城受这次台风的影响有多长时间？ 49．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公 路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公 路的一侧点 处，且点 与直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ， 假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．(1)求 的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好 听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家 听到广播宣传的时长是多长？ 题型8 用勾股定理解决最短路径问题 用勾股定理解决最短路径问题问题的解题策略 展开立体表面，化曲为直，用勾股求起点终点直线距离． 50．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，相邻的两边互相垂直，则从点 到点 的最短距离为 （ ） A．13 B．12 C．8 D．5 51．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用 打印机制作了一个底面周长为 ， 高为 的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面 均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点 到点 为 的中点），则装饰带的长度最短为 （ ） A． B． C． D． 52．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下 底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米．53．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在 中， ， 平分 ， 、 分别是 、 上的动点．若 ，则 的最小值为 ． 54．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已 知 米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点 爬 过木块到达 处需要走的最短路程是 米． 55．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时间而变形， 中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为 ，已知 ，一只蚂蚁从A点 爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 56．（24-25七年级下·广西玉林·期末）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标 志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方 体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，其边缘 米，点E在 上， 米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 57．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，长方体的长和宽分别为 和 ，高为 ．若一只蚂 蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈到达点 ，求蚂蚁爬行的最短路径的长度． 58．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为 的立方体纸盒的顶点 处有一只蚂蚁，在另 一顶点 处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点 处，如图 所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体纸盒（如图3），其他条件不 变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．题型9 勾股定理逆定理的实际应用 勾股定理逆定理实际应用问题的解题策略 测三边长度，验 𝑎2+ 2= 2是否成立，反推直角位置． 59．（23-24八年级上𝑏·广𝑐东河源·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距 离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中 一角便是直角，这样做的依据是 ． 60．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴 儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到 ， ， ，其中 与 之间由一个固定为 的零件连接（即 ）．根据安全标准需满足 ，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 61．（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实 践基地种植蔬菜．如图，点 是自来水管的位置，点 和点 分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的 位置， 两处相距12米， 、 两处相距16米， 、 两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉， 八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段 、 铺设2段水管； 八（2）班方案：过点 作 于点 ，沿线段 ， ， 铺设3段水管；(1)求证： ； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 62．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A， B，点C处是一个小区，其中 ．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区 为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条 公路 ，工作人员测得 ， ， ． (1) 是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路 比原来的公路 短多少千米？ 63．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A， B，且A，B均位于地下管道 的同侧，售卖机A，B之间的距离（ ）为500米，管道分叉口M与B之 间的距离为300米， 于点N，M到 的距离（ ）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的， 请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 64．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路 的同侧，两个喷 泉之间的距离 ．要为喷泉铺设供水管道 ， ，供水点M在小路 上，供水点M到 的 距离 ，BM 15m．(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM ； (2)求证：BMA90． 培优综合练 65．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，沿海城市A测得台风中心在东南方向300km 的C处，该台风中心始终以50km/h的速度沿北偏西15的方向移动． AC ______km ACE______ (1)填空： ， ； (2)当台风中心移动到A市正东方向的B处时，求A、B之间的距离？(结果保留根号) 250km ( ) A (3)距台风中心 的圆形区域 包括边界 都属台风影响区，求 市受台风影响的时长？ 66．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路BD，并将火车始发站定于B处．已知始发站B 位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西60方向，且BC距离为200米，小区A位于商场C的南偏 75 80 10 西 方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车 从始发站B出发，以30米/秒的速度沿铁路BD低速行驶．(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： 153.87) (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪 音影响？ 67．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想， 经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． x249 9x2 25 例题：求代数式 的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形， Rt△ABC 中， �B�90 ，AB7， BC xx9 ，则 AC  x249 BC BD9 BD BD DE 5 ，延长 至点D，使 ，过点D作 的垂线，在 下方的垂线上截取 ，连 CE 9x2 25 接AE，CE，则 ，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段AE的长，最后过点E作 AB的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出AE的长为15，进而解决问题． x24 8x2 16 类比如上方法，求 的最小值为 ． 68．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC 3，BC 4，点D，E 分别是AB，BC上的动点，且ADBE，连接CD，AE，则CDAE的最小值是（ ）． 34 41 A．5 B． C．6 D． 69．（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高AC 16cm，底面直径BC 8cm，下底A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的 食物．若蚂蚁沿图1中的折线ACB爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是16824cm； 若将圆柱沿着AC侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行 路程是________cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或 “Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为8cm，高为16cm的圆柱、橡皮筋、细线（借 助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路 程如表．（单位：cm） 圆柱高 沿路径Ⅰ路程x 沿路径Ⅱ路程 y 比较x与 y 的大小 度 10 18 2 61 x y 6 14 a b 4 c 4 10 d 求出表格中a的值是________cm，表格中b表示的大小关系是________；表格中c的值是________cm， 表格中d表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为r，圆柱的高为h．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等， 求圆柱半径r与圆柱的高度h的数量关系． 70．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集 设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB9m,BC 12m,CD17m,AD8m，在CD上选取两点 E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离，就确定了ABC90． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． EGF 90 EF 10m,EG8m (3)若 ， ，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案 所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．