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专题 07 基本初等函数
【考纲要求】
1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2、了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3、理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，知道指数函数是重要的函数模型．
4、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在
简化运算中的作用．
5、理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，知道对数函数是重要的函数模型．
一、二次函数
【考点总结】
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
二、幂函数
【思维导图】【考点总结】
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
三、指数与指数函数
【思维导图】【考点总结】
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被
开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
⇒
①()n＝a(n∈N*，且n>1)；
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0且a≠1) a>1 00时，y>1；当x<0时， 当x>0时，01
在R上是增函数 在R上是减函数
四、对数与对数函数
【考点总结】
1．对数
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记
概念
作x＝log N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对
a a数式
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝log N(a>0，且a≠1)
a
性质
log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0，且a≠1)
a a a ⇔
log (M·N)＝log M ＋ log N
a a a
运算法则 log＝log M － log N a>0，且a≠1，M>0，N>0
a a a
log Mn＝nlog M(n∈R)
a a
换底公式 log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a
2.对数函数的图象与性质
a>1 01 01时，y>0当01时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝log x互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝ x 对称．
a
【题型汇编】
题型一：二次函数的概念
题型二：二次函数的图象与性质
题型三：幂函数的图象与性质
题型四：指数函数的图象与性质
题型五：对数函数的图象与性质
【题型讲解】
题型一：二次函数的概念
一、单选题
1．（2022·上海松江·二模）已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边 、 上，且 ，，若点 在正方形 的边上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·北大附中三模）已知半径为 的圆 经过点 ，且与直线 相切，则其圆心到直
线 距离的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2022·江西南昌·三模（理））已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
. ， 分别为线段 ， 上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线
的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．6．（2022·北京市第十二中学三模）若函数 的值域为R，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·四川·三模（理））设函数 的定义城为R，且 ，当 时，
，若存在 时，使 ，则k的最大值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
8．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别
是 、 ，且 ，若P是该双曲线右支上一点，且满足 ，则 面积的最大值是
（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2022·安徽淮北·一模（理））已知 是椭圆 的右焦点，点 在 上，直线
与 轴交于点 ，点 为C上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·四川巴中·一模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．二、多选题
1．（2022·重庆·一模）已知 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
题型二：二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·上海浦东新·二模）已知 ， ， ，实数 满足 ，设
， ，现有如下两个结论：
①对于任意的实数 ，存在实数 ，使得 ；
②存在实数 ，对于任意的 ，都有 ；
则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
2．（2022·辽宁·三模）函数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知函数 的极大值点 ，极小值点
，则 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京昌平·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知 的最小值为2，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·北京·一模）已知直线 是圆 的一条对称轴，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2022·山东济南·二模）若二次函数 ，满足 ，则下列不等式成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2022·福建莆田·三模）已知函数 ，函数 ，则下列结论正确
的是（ ）A．若 有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若 有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若 有4个不同的零点 ，则
D．若 有4个不同的零点 ，则 的取值范围是
题型三：幂函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数 的图像经过点 与点 ，
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西·二模（文））已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东·二模）定义在 上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·内蒙古包头·二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2022·山东威海·三模）若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东滨州·二模）若实数a，b满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：指数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知 ， ， ，则正数 ，
， 的大小关系为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若函数 满足 ，且当
时， ，则 （ ）
A． B．10 C．4 D．2
3．（2022·山东临沂·三模）已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西师大附中三模（理））设 ．则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山西太原·三模（理））设 ，则 （ ）
A． B．C． D．
二、多选题
1．（2022·山东烟台·三模）二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发
现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数
，其中 （ ），记 .如
， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东烟台·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率 与工作年限 （ ），劳累程度
（ ），劳动动机 （ ）相关，并建立了数学模型 .已知甲､乙为该公司的
员工，则下列说法正确的有（ ）
A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
题型五：对数函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
3．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海青浦·二模）“ ”成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两
个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ， ， ，则
（ ）
A． ， ， 为“同形”函数
B． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
C． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
D． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数6．（2022·北京·北大附中三模）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·北京·人大附中三模）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江西师大附中三模（理））已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·广东佛山·三模）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数 ，且正实数 ， 满足 ，则下
列结论可能成立的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． D． 的最小值为
