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专题 07 基本初等函数
【考纲要求】
1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2、了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3、理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，知道指数函数是重要的函数模型．
4、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在
简化运算中的作用．
5、理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，知道对数函数是重要的函数模型．
一、二次函数
【考点总结】
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
在上单调递减； 在上单调递增；
单调性
在上单调递增 在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
二、幂函数
【思维导图】【考点总结】
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
三、指数与指数函数
【思维导图】【考点总结】
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被
开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
⇒
①()n＝a(n∈N*，且n>1)；
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0且a≠1) a>1 00时，y>1；当x<0时， 当x>0时，01
在R上是增函数 在R上是减函数
四、对数与对数函数
【考点总结】
1．对数
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记
概念
作x＝log N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对
a a数式
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝log N(a>0，且a≠1)
a
性质
log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0，且a≠1)
a a a ⇔
log (M·N)＝log M ＋ log N
a a a
运算法则 log＝log M － log N a>0，且a≠1，M>0，N>0
a a a
log Mn＝nlog M(n∈R)
a a
换底公式 log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a
2.对数函数的图象与性质
a>1 01 01时，y>0当01时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝log x互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝ x 对称．
a
【题型汇编】
题型一：二次函数的概念
题型二：二次函数的图象与性质
题型三：幂函数的图象与性质
题型四：指数函数的图象与性质
题型五：对数函数的图象与性质
【题型讲解】
题型一：二次函数的概念
一、单选题
1．（2022·上海松江·二模）已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边 、 上，且 ，，若点 在正方形 的边上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，
则 ， ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ，则 ，
，知 ，
当 在 上时，设 ， ，
，当 时， ，当 时， ，
即 ，
当 在 上时，设 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
即 .
综上可得， ，
故选：C
2．（2022·北京·北大附中三模）已知半径为 的圆 经过点 ，且与直线 相切，则其圆心到直
线 距离的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出得圆心 的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式表示出距离，最后根据二次函数的最值求解方法
可求得答案.
【详解】
依题意，设圆 的圆心 ，动点 到点 的距离等于到直线 的距离，
根据抛物线的定义可得圆心 的轨迹方程为 ，
设圆心 到直线 距离为 ，当 时,
故选：B
方法二：可以设与直线 平行的抛物线的切线方程，联立方程，利用判别式等
于零，得到切线方程，再利用平行线的距离公式得解；
方法三：在第一象限分析问题，转化为求函数 的切线与直线 平行，再利用平行线的
距离公式得解.
3．（2022·江西南昌·三模（理））已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
. ， 分别为线段 ， 上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件运用正弦定理求出 的长，根据 设出边的关系，再利用余弦定理表示出 ，从
函数的角度求其最值.
【详解】
依题意，如图所示，
在 中， ， ，由正弦定理得，
，又 ，解得： ，设 ，则 ， ，
，
在 中，由余弦定理得，
，
对于二次函数
开口向上，对称轴
，
的最小值为 .
4．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线
的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】利用坐标法，设 ，可得动点P到直线 的距离为 ，然后利用二次函
数的性质即得.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，则 ，
∴动点P到直线 的距离为
，当 时取等号，
即线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 .
故选：D.
5．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得集合A，求二次函数值域得集合B，然后由集合的交集运算可得.
【详解】
由 解得 ，即 ，
易知 ，即
则 .
故选：A
6．（2022·北京市第十二中学三模）若函数 的值域为R，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由 时， ，由题意，当 时， ，对 分 和
两种情况讨论即可求解.
【详解】
解：由 时， ，
因为函数 的值域为R，所以当 时， ，
分两种情况讨论：
①当 时， ，所以只需 ，解得 ，所以 ；
②当 时， ，所以只需 ，显然成立，所以 .
综上， 的取值范围是 .
故选：D.7．（2022·四川·三模（理））设函数 的定义城为R，且 ，当 时，
，若存在 时，使 ，则k的最大值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 得到从 开始， 每右移1个单位，图像就会向上移1个单位，然后
确定函数 的 由小到大， 第一次取到 时， 的范围，进而可得该范围内函数 的解析式，令
，求出 ，进而可得k的最大值.
【详解】
当 时，
由 得 ，
即从 开始， 每右移1个单位，图像就会向上移1个单位，
当 时， ，
又 ，
故当函数 的 由小到大， 第一次取到 时，
又当 时， ，
令 ，解得 或 ，
若存在 时，使 ，则必有 ，所以k的最大值为 .
故选：D.
8．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别
是 、 ，且 ，若P是该双曲线右支上一点，且满足 ，则 面积的最大值是
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合双曲线的定义求出 与 ，然后在 中，利用余弦定理求出 ，
再根据面积公式及二次函数的知识即可求解.
【详解】
解：因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有 ，
又 ，所以 ， ，设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 面积的最大值是 ，
故选：A.
9．（2022·安徽淮北·一模（理））已知 是椭圆 的右焦点，点 在 上，直线与 轴交于点 ，点 为C上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得椭圆 ，进而可得 ，利用向量数量积的坐标表示可得
，再结合条件及二次函数的性质即求.
【详解】
由题可得 ，
∴ ，即椭圆 ，
∴ ，直线 方程为 ，
∴ ，又 ，
设 ，则 ， ，
∴
，又 ，∴当 时， 有最小值为 .
故选：C.
10．（2022·四川巴中·一模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合 中 的范围，与集合 取交集
【详解】
集合 中，根据 得： ，所以集合 ，集合 ，所以
故选：B
二、多选题
1．（2022·重庆·一模）已知 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得 的最大值可判断B；利用基本不等式“1”
的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；
【详解】， 且 ， ，
对于A，利用基本不等式得 ，化简得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故A错误；
对于B， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增，
， ，故D错误；
故选：BC
题型二：二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·上海浦东新·二模）已知 ， ， ，实数 满足 ，设
， ，现有如下两个结论：
①对于任意的实数 ，存在实数 ，使得 ；
②存在实数 ，对于任意的 ，都有 ；则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】C
【解析】
【分析】
对①，根据 ， 的几何意义，判断得出 与 一定有
两个交点分析即可
对②，通过化简 ，将题意转换为：存在实数 ，使得 在 上为减函数，
再分析出当 时函数有增区间，推出矛盾即可
【详解】
对①， 的几何意义为 与 两点间的斜率，同理 的几
何意义为 与 两点间的斜率.
数形结合可得，当 时，存在 ；当 时，存在 ，使得
，即 成立.
即对于任意的实数 ，存在实数 ，使得 ，故①正确；对②，若存在实数 ，对于任意的 ，都有 ，即 ，
即 ，即 .即存在实数 ，对于任意的
， 恒成立.设 ，则 ，即
为减函数.故原题意可转化为：存在实数 ，使得 在
上为减函数.因为当 时， ，因为 对称轴为 ，故当
时 一定为增函数，故不存在实数 ，使得 在 上为减函
数.故②错误
故选：C
2．（2022·辽宁·三模）函数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的平方关系将 化为 ，配方后结合二次函数知识，
求得答案.
【详解】
，
当 时， 取得最大值，且最大值为3,
故选：B
3．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知函数 的极大值点 ，极小值点，则 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 的导函数 ，由当 时取得极大值，当 时取得极小值，可得 、 是方程
的两个根，根据一元二次方程根的分布可以得到参数 、 满足的不等式组，画出其表示的平面
区域，根据 的几何意义即可求解
【详解】
又因为当 时取得极大值，当 时取得极小值，可得 、 是方程
的两个根，根据一元二次方程根的分布可得即： 作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可
求出边界交点坐标分别为 、 、 ， 表示平面区域内的点 与点
连线的斜率，由图可知 ，根据倾斜角的变化，可得
故选:B
4．（2022·北京昌平·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质判断 区间单调性，根据解析式知 恒过 且 ，进而确定区间值域，再
由对数函数性质求 的对应区间值域，即可得不等式解集.
【详解】
由题设， 对称轴为 且图象开口向下，则 在 上递增， 上递减，
由 ，即 恒过 且 ，
所以 上 ， 上 ，
而 在 上递增，且 上 ， 上 ，
所以 的解集为 .
故选：C5．（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先得到函数的定义域，再分析当 时 的取值，即可得到 ，再对 时分 和
两种情况讨论，求出此时 的取值，即可得到 的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为 ，所以 的定义域为 ， ，
当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，
若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，
则 ，
所以 ，解得 ，即
故选：B6．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知 的最小值为2，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
注意观察 时， ，所以让 时， 恒成立即可，根据参变分离和换
元方法即可得解.
【详解】
当 时， ，
又因为 的最小值为2，
，所以需要当 时， 恒成立，
所以 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
即 在 恒成立，
令 ，则 ，
原式转化为 在 恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线 ，
所以在 上 最大值为 ，所以 ，
故选：D.
7．（2022·北京·一模）已知直线 是圆 的一条对称轴，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
圆心必然在直线l上，得到 的关系式，再考虑求最大值.
【详解】
由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，
将圆的一般方程转变为标准方程： ，
圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ，
， ，
函数 是开口向下，以 为对称轴的抛物线，
所以 ，
故选：A.
8．（2022·山东济南·二模）若二次函数 ，满足 ，则下列不等式成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
首先根据 ，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】
因为 ，所以二次函数 的对称轴为 ，
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：B.
二、多选题
1．（2022·福建莆田·三模）已知函数 ，函数 ，则下列结论正确
的是（ ）
A．若 有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若 有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若 有4个不同的零点 ，则
D．若 有4个不同的零点 ，则 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，将问题转化为函数 与 图像交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案.
【详解】
解：令 得 ，即
所以 零点个数为函数 与 图像交点个数，
故，作出函数 图像如图，由图可知， 有3个不同的零点，则a的取值范围是 ，故A选项错误；
有4个不同的零点，则a的取值范围是 ，故B选项正确；
有4个不同的零点 ，此时 关于直线 对称，所以 ，故C
选项正确；
由C选项可知 ，所以 ，由于 有4个不同的零点，a的取值范围是
，故 ，所以 ，故D选项正确.
故选：BCD
题型三：幂函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数 的图像经过点 与点 ，， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数可以解得 ， ，再结合中间值法比较大小．
【详解】
设 ，由题意可得： ，则
∴
， ，
∴
故选：C．
2．（2022·江西·二模（文））已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数函数、三角函数、幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】
，
因为 在 是单调递增函数，所以 ，
因为 在 是单调递增函数，所以
所以 ，
故选：C.3．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对于A、B：作出 和 在第一象限的图像判断出：在 上，有 ，在 上，有 ，
在 上，有 .即可判断A、B；对于C：判断出 , ，即可判断；对于D：判断
出 ， ，即可判断.
【详解】
对于A、B：
作出 和 在第一象限的图像如图所示：
其中 的图像用虚线表示， 的图像用虚线表示.
可得，在 上，有 ，在 上，有 ，在 上，有 .因为 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B错误；
对于C： ,而 ，所以 .故C错误；
对于D： ，而 ，所以 .故D错误.
故选：A
4．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有 ，即可判断奇偶
性和 单调性.
【详解】
由 为奇函数且在 上递增，
A、B： 、 非奇非偶函数，排除；
C： 为奇函数，但在 上不单调，排除；
D： ，显然 且定义域关于原点对称，在 上递增，满足.故选：D
5．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合对数函数、指数函数和幂函数的单调性直接比较大小即可.
【详解】
依题意， ， ，而 ，即 ，故 .
故选：C．
6．（2022·广东·二模）定义在 上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦函数，指数函数和幂函数的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案.
【详解】
A. ,由正弦函数的性质可知 在 上不为增函数，故排除；
B. 在 上单调递减，故排除；
C. ，故函数在 上为偶函数，故排除；
D. ， ，故函数在 上为奇函数，且由幂函数的性质知 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，满足题意；故选：D
7．（2022·内蒙古包头·二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数、正比例函数、指数函数、幂函数的单调性逐一判断即可.
【详解】
A：因为函数 在 上单调递增，所以该函数不是减函数，不符合题意；
B：因为函数 是增函数，所以不符合题意；
C：因为函数 是增函数，所以不符合题意；
D：因为函数 是减函数，所以符合题意，
故选：D
8．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数单调性，即可求解.
【详解】
解： ， ， ，所以 ，
故选：A.
二、多选题
1．（2022·山东威海·三模）若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A、B、C，结合C和对数换底公式即可判断D.
【详解】
对于A，∵幂函数y= 在 单调递增，∴根据 可知 ，故A错误；
对于B，∵指数函数y= 在R上单调递减，∴根据 可知 ，故B正确；
对于C，∵对数函数y= ( )在 上单调递减，∴根据 可知 ，故C正
确；
对于D，由C可知 ，∴ ，即 ，故D错误．
故选：BC．
2．（2022·山东滨州·二模）若实数a，b满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出a，b的关系，再利用不等式性质判断A，B；指对数函数、幂函数单调性分析判断
C，D作答.【详解】
因 ，则 ，于是有 ，A不正确；
，即 ，B正确；
由 得： ，因此， ，C正确；
因 ，函数 在R上单调递减，函数 在 上单调递增，则 ，D正确.
故选：BCD
题型四：指数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知 ， ， ，则正数 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.
【详解】
由 ，得 ，由 ，得 ，
因此， ，即 ，
由 ，得 ，于是得 ，
所以正数 ， ， 的大小关系为 .
故选：A
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若函数 满足 ，且当时， ，则 （ ）
A． B．10 C．4 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先得到 的周期，再根据函数的周期性计算可得；
【详解】
解：由 ，得 ，
∴函数 是周期函数，且4是它的一个周期，
又当 时， ，
∴ ；
故选：B.
3．（2022·山东临沂·三模）已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别化简 即可明显比较出三者大小关系.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：C.4．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数、对数、指数函数的单调性判断可得答案.
【详解】
，
，
，
所以 ．
故选：C．
5．（2022·江西师大附中三模（理））设 ．则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知 、 ，构造函数 ，利用导数研究
函数的单调性可得 ，进而可得 ，即可得出结果.
【详解】
由 ，故 ；
，故 ；
假设 ，有 ，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
而 ，则 ，所以 成立， ；
故 ．
故选：A．
6．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先解出集合A、B，再求 ．
【详解】
集合 ， ，
所以 ．
故选：A．
7．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数、指数函数的单调性以及作商法比较大小，即可求解.
【详解】依题意， ，
，
所以
故选：A
8．（2022·山西太原·三模（理））设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数和指数互化即可求解.
【详解】
，则 在定义域内单调递增. 故
.
故选：D
二、多选题
1．（2022·山东烟台·三模）二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发
现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数
，其中 （ ），记 .如
， ，则下列结论正确的有（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
求得 否定选项A；求得 并与 比较判断选项B；求得 并与 比较判断选项C；分别求得
、 并进行比较判断选项D.
【详解】
选项A： ，则 .判断错误；
选项B： ，
则 ，
则 .判断正确；
选项C： ，
则 ，
.判断错误；
选项D： ，
则则
，则 .判断正确.
故选：BD
2．（2022·山东烟台·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率 与工作年限 （ ），劳累程度
（ ），劳动动机 （ ）相关，并建立了数学模型 .已知甲､乙为该公司的
员工，则下列说法正确的有（ ）
A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】
设甲与乙的工人工作效率 ，工作年限 ，劳累程度 ，劳动动机 ，
对于A， ， ， ， ，
∴ ， ，
，
所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；
对于B， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
所以 ，即甲比乙劳累程度弱，故B正确.
对于C， ， ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故C正确；
对于D， ， ， ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，即甲比乙工作效率高，故D 正确；
故选：BCD.
题型五：对数函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面， 时对应的是非超临界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
3．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
4．（2022·上海青浦·二模）“ ”成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求解 ，再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可
【详解】
由 有 ，解得 ，故“ ”成立的一个必要而不充分条件是“
”
故选：D
5．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两
个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ， ， ，则
（ ）
A． ， ， 为“同形”函数
B． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
C． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
D． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中“同形”函数的定义和 、 均可化简成以3为底的指数形式，可得答案．
【详解】
解： ，
，
故 ， 的图象可分别由 的图象向左平移 个单位、向右平移1个单位得到，
故 ， ， 为“同形”函数．
故选：A．
6．（2022·北京·北大附中三模）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由 可得 ，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.
【详解】
解：依题意， 等价于 ，
在同一坐标系中作出 ， 的图象，如图所示：如图可得 的解集为： .
故选：D.
7．（2022·北京·人大附中三模）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 的定义域，判断出其在 上为增函数，由 即可得到不等式 的解
集.
【详解】
函数 的定义域为 .
因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数.
又 ，所以不等式 的解集为 .
故选：B
8．（2022·江西师大附中三模（理））已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式不等式和对数不等式的运算求出集合A、B，结合并集的定义和运算即可得出结果.
【详解】
由题意得，
由 ，
即 ，
，即 ，
所以 .
故选：D.
二、多选题
1．（2022·广东佛山·三模）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项
C；举反例排除选项D.
【详解】选项A：
由 ，可得 ，
则 ， ，
则 ，则 .判断错误；
选项B：由 ，可得 为 上减函数，
又 ，则 .判断正确；
选项C：由 ，可知 为R上减函数，又 ，则
由 ，可知 为 上增函数，又 ，则 ，则
又 为 上增函数，则 ，则 .判断正确；
选项D：令 ，则 ，
，
则 ，即 .判断错误.
故选：BC
2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数 ，且正实数 ， 满足 ，则下
列结论可能成立的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． D． 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】
去绝对值分类讨论，判断一个命题是假命题要举反例【详解】
当 ， 时， ，
则
所以 ，所以 ，故A正确
当 ， 时， ， ，
则
所以 ，故C正确
当 ， 时， ，
则
所以
对于B，当 ， ，且 时
取 ， 时，
（ ， ）
当 ， 且 时
取 ， 时，
当 ， 且 时，
取 ， 时，
故B错误
对于D， 当 ， 且 时， ， 时，等号成立，故D错误
故选：AC
