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第 7 讲 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动
学习目标
明 确目标 确定方向
1.洛伦兹力的大小和方向判断
2.带电粒子在磁场的运动半径和周期
3.解决带电粒子在有界磁场的运动
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、磁场对运动电荷的作用
1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力
2．洛伦兹力的方向
(1)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面
(2)判定方法：左手定则。
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
3．基本公式
(1)向心力公式：qvB＝m
(2)轨道半径公式：r＝
(3)周期公式：T＝。
第二部分重点难点辨析
一．洛伦兹力的特点
1洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方
向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
2当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
3用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。
二．带电粒子在有界磁场中运动的分析方法
1找圆心
方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射
方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)。方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出
射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)。
2．求半径
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即
φ＝α＝2θ＝ωt。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。
找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。
3．求时间
方法1：运动弧长计算，t＝(l为弧长)；
方法：由旋转角度计算，t＝T
【 典例分析 】 精 选
例题 提高素养
【例1】．如图所示，空间有范围足够大的匀强磁场，一个带正电的小圆环套在一根竖直固定且足够长的
绝缘细杆上。现使圆环以一定的初速度向上运动，经一段时间后圆环回到起始位置，已知杆与环间的动摩
擦因数保持不变，圆环所带电荷量保持不变，空气阻力不计，对于圆环从开始运动到回到起始位置的过
程，下面关于圆环的速度v、加速度a随时间t变化的图像、重力势能E 、机械能E随圆环离开出发点的高
P
度h变化的图像，可能正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】AB．上升阶段，对圆环根据牛顿第二定律有
其中有
联立解得
故圆环在上升阶段做加速度逐渐减小的减速运动；在最高点时，圆环速度为零，此时加速度为
下降阶段，对圆环根据牛顿第二定律有
联立解得
可知下降阶段，圆环做加速度逐渐减小的加速运动，上升和下降时速度方向相反，加速度方向相同，AB错
误；
C．以初位置为零重力势能面，可知圆环的重力势能为
可知 图像为过原点的倾斜直线，C错误；
D．圆环运动过程中克服摩擦阻力做的功等于机械能的减少量，在上升阶段有
随着速度的减小，圆环受到的摩擦力逐渐减小，故 图线的斜率在减小；下降阶段随着速度的增大，
圆环受到的摩擦力逐渐增大，故 图线的斜率在增大；由于受到摩擦力做负功，故回到初始位置时机械能小于开始时的机械能，D正确。
故选D。
【例2】．如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子的质量为 、电荷量为 、速
率为 ，不考虑粒子的重力及相互作用。要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀
强磁场区域，设 。选项 A、 B、 C 中的曲线均为半径是L的四分之一圆弧，其中A、B的磁感应
强度 ，C的磁感应强度 ：选项D中曲线是直径为L的圆，磁感应强度 。则磁场区域的形
状及对应的磁感应强度可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得
解得粒子的轨道半径为
如图所示可知粒子都会聚到一点，故A正确；
B．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得
解得粒子的轨道半径为
如图所示
可知粒子不会聚到一点，故B错误；
C．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得
解得粒子的轨道半径为
如图所示可知粒子不会聚到一点，故C错误；
D．已知磁感应强度 ，由洛伦兹力提供向心力得
解得粒子的轨道半径为
如图所示
可知粒子不会聚到一点，故D错误。
故选A。
多选【例3】．如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的部分边界，
其中 段是半径为R的四分之一圆弧， 、 的延长线通过圆弧的圆心， 长为R．一束质量为m、电
荷量大小为q的粒子流，在纸面内以不同的速率从O点垂直 射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射
出，其中M、N是圆弧边界上的两点。不计粒子的重力及它们之间的相互作用。则下列说法中正确的是（
）A．粒子带负电
B．从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
C．从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
D．在磁场中运动时间最短的粒子用时为
【答案】BD
【详解】ABC．由题意，画出从M、N两点射出的粒子轨迹图，如图所示，由此可知，粒子带正电；粒子
在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力。可得
解得
由图可知，从M点射出粒子的轨迹半径小于从N点射出粒子轨迹半径，则有从M点射出粒子的速率一定
小于从N点射出粒子的速率；由图可知，从M点射出粒子的轨迹所对圆心角大于从N点射出粒子轨迹所对
圆心角，由可知，从M点射出粒子在磁场中运动时间一定大于从N点射出粒子所用时间，AC错误，B正确；
D．由几何知识可知，当粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心恰好在b点时，粒子在磁场中运动的圆弧所
对的圆心角最小，此时粒子的运动半径 r=R，由几何关系可求得此时圆弧所对圆心角 θ=120°，所以粒子在
磁场中运动的最短时间是
D正确。
故选BD。
【例4】．在图甲所示的平面直角坐标系xOy内，正方形区域（0
