文档内容
绝密★启用前【考试时间：2019年6月12日9:00-11:00】
四川省自贡市初2019届毕业生学业考试
数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共6页，满分150分.
答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在
答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题 （共 48 分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
一.选择题（每小题4分，共48分）
1.-2019的倒数是（ B ）
A.-2019 B. C. D.2019
2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在
中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ）
A. B. C. D.
3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）
4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是 90分，甲的方差
是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ）
A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）
6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ）
A.7 B.8 C.9 D.10
7.实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ）
A.|m|＜1 B.1-m＞1 C.mn＞0 D.m+1＞0
8.关于 的一元二次方程 ，无实数根，则实数 的取值范围是（ D ）
A. B. C. D.
9.一次函数y=ax+b与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数y=ax²+bx+c的大致
图象是（ A ）
10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图
所示，则该容器是下列四个中的（ D ）11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来
后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形
桌面的面积之比最接近（ C ）
A. B. C. D.
12.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C、F分别是直线 和x轴
上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小
值时，tan∠BAD的值是（ B ）
A. B. C. D.
第II卷非选择题 （共 102 分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图
题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.
二.填空题（每小题4分，共24分）13.如图直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=120°，则∠2= 60°.
14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是
1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分
15.分解因式 .
16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的
单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为 元，足球的单价为 元，依题
意，可列方程组为
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交
AC于点E，DE= .
18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos
（α+β）=
三.解答题（共8个小题，共78分）19.（本题满分8分）计算：
解：原式=
20.（本题满分8分）解方程：
解： ， 经检验 是原方程的解.
21.（本题满分8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC.求
证：（1） ；（2）AE=CE；
证明：（1）如图，连接 AC.∵AB=CD，∴ ，∴ ，即
（2）∵ ，∴∠ACD=∠BAC，∴AE=CE
22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同
学参加了知识竞赛.
收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：
分）：
90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97
88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
整理分析数据：成绩x（单位：分） 频数（人数）
60≤x＜70 1
70≤x＜80
80≤x＜90 17
90≤x＜100
（1）将图中空缺的部分补充完整；
成绩x（单位：分） 频数（人数）
60≤x＜70 1
70≤x＜80 2
80≤x＜90 17
90≤x＜100 10
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在 90分及其以上的同学，根据上面统计结果估
计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；
答案： （人），答：约有120人受到表彰（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四
枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙
图案的概率是
.
答案：
23.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 （ ）的图
象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的A（3,5），B（a，-3）两
点，与 轴交于点C.
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出当 时， 的取值范围
答案：
（1）把A（3,5）代入 得 ，∴反比例函数的解析式为
把B（a，-3）代入 得 ；∴B（-5，-3）把A（3,5），B（-5，-3）代入 得 ，解之得
∴一次函数的解析式为
（2）依题意得，直线AB与y轴交点即为P点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则
x=-2，∴点 P 的坐标为（0,2），点 C 的坐标为（-2,0），此时 PB=5 ，PC=2 ，
∴PB-PC的最大值为3
（3）当 时， 的取值范围是-5＜x＜0或x＞3
24.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算 的值，采用
以下方法：
设 ①
则 ②
②-①得
∴
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1） ；
（2） ；
（3）求 的和（ ， 是正整数，请写出计算过程）.解：设 ①
则 ②
②-①得
∴
25.（本题满分12分）
（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针
旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①线段DB和DG之间的数量关系是 DB=DG ；
②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，
连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点
F和点G.
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并
给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写
出线段GM的长度.
图1 图2 图3
（2）①
理由如下：在菱形 ABCD 中，∠ABD=∠CBD= ∠ABC=30°，由旋转 120°可得，
∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF-∠BDF=∠BDG-∠BDF，即∠FDG=∠BDE.
在△DBG中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.
在△BDE和△GDF中 ∴△BDE≌△△GDF（ASA），∴BE=GF
∴BE+BF=BF+GF=BG.
过点 D 作 DM⊥BG 于点 M 如图所示：∵BD=DG，∴BG=2BM.在 Rt△BMD 中，
∠ DBM=30° ， ∴ BD=2DM ， 设 DM=a ， 则 BD=2a ， BM= .∴ BG= ， ∴∴BF+BE= BD.
②GM的长度为 .理由：∵ ，FC=2DC=4，CM= BC= ，∴GM=
26.（本题满分14分）
如图，已知直线AB与抛物线 相交于点A（-1,0）和点B（2,3）两点.
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四
边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点
M的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
到直线 的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把A（-1,0），B（2,3）代入抛物线得 解之得
∴抛物线C的函数表达式为：（2）∵A（-1,0），B（2,3），∴直线AB的解析式为： ，如图所示，过M作
MN∥y轴交AB于N，设 ，则 ，（-1＜m＜2）
∴ ，∴S =S +S =
△ABM △AMN △BMN
∴S = ，∴当 时，△ABM的面积有最
△ABM
大值 ，而S =2S = ，此时
□MANB △ABM
（3）存在，点
理由如下：令抛物线顶点为 D，则D（1,4），则顶点D到直线 的距离为 ，设
设 ，设P到直线 的距离为PG.则
PG= ，∵P为抛物线上任意一点都有PG=PF，∴当P与
顶点D重合时，也有PG=PF.此时PG= ，即顶点D到直线 的距离为
∴PF=DF= ，∴ ，∵PG=PF，∴ ，∵
∴
整理化简可得 ，∴当 时，无论 取任何实数，均有PG=PF
