2019 年南充中考数学试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的.
1.如果
6a=1
，那么a的值为（ B ）
1 1
−
6 6
A.6 B. C.-6 D.
2.下列各式计算正确的是（ D ）
A.
x+x2 =x3
B.
(x2 ) 3 =x5
C.
x6 ÷x2 =x3
D.
x⋅x2 =x3
3.如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ C ）
A B C D
4.在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班
50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒乓球人
数比羽毛球人数多（ B ）
A.5人 B.10人 C.15人 D.20人
5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，
则△ACE的周长为（ B ）A.8 B.11 C.16 D.17
6.关于x的一元一次方程 2xa−2 +m=4 的解为 x=1 ，则a+m的值为（ C ）
A.9 B.8 C.5 D.4
7.如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则
图中阴影部分的面积为（ A ）
3√3 2√3
A.6π B. π C. π D.2π
8.关于x的不等式
2x+a≤1
只有2个正整数解，则a的取值范围为（ C ）
−5<a<−3 −5≤a<−3 −5<a≤−3 −5≤a≤−3
A. B C. D.
9.如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻
折纸片，使AB与AD重合.以下结论错误的是（ D ）
CD √5−1 √5+1
= sin∠AHD=
A.
AH2 =10+2√5
B.
BC 2
C.
BC2 =CD⋅EH
D.
51
( ,m)
10.抛物线
y=ax2 +bx+c
（
a,b,c
是常数），
a>0
，顶点坐标为
2
.给出下列结论：
3 1
( −2n，y ) n<
(n,y ) 2 2 2 y <y
①若点 1 与点 在该抛物线上，当 时，则 1 2；②关于x的一
元二次方程
ax2 −bx+c−m+1=0
无实数解，那么（ A ）
A.①正确，②正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①错误，②错误
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
请将答案填写在答题卡对应的横线上.
11.原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为 0. 8 a 元.
12.如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH= 15
°
x2 1
+ =
13.计算：
x−1 1−x
x + 1 .
14.下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.
质量/kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
频数/只 56 162 112 120 40 10
则500只鸡质量的中位数为 1.4k g .xOy A(3m,2n) y=−x+1 B(m,n)
15.在平面直角坐标系 中，点 在直线 上，点 在双曲线
k 1
y= k≤
x
上，则
k
的取值范围为
24
且
k≠0
.
16.如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正
半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出谢了列结论：①点A从点O出
发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为 12π；②△OAB的面积的最大值为
25√26 125√26
( , )
26 26
144；③当OD 最大时，点 D的坐标为 ，其中正确的结论是 ② ③
（填写序号）.
三.解答题（本大题共9个小题，共72分）
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
1 −1
(1−π) 0 +|√2−√3|−√12+ ( )
√2
17.（6分）计算：
1+(√3−√2)−2√3+√2
解：原式= （4分）
1+√3−√2−2√3+√2
= （5分）
1−√3
= （6分）
18.（6 分）如图，点 O 是线段 AB 的中点，OD∥BC 且 OD=BC.（1）求证：
△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO=35°，求∠DOC的度数.（1）证明：∵点O线段AB的中点，∴AO=BO（1分）
∵OD∥BC，∴∠AOD=∠OBC（2分）
AO BO AOD=∠OBC
{
= ¿
{∠
¿¿¿¿
在△AOD和△OBC中， ，∴△AOD≌△OBC（SAS）（4分）
（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO=∠OCB=35°（5分）
∵OD∥BC，∴∠DOC=∠OCB=35°（6分）
19.（6分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡
片背面朝上洗匀后放在桌面上.（1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的
概率；（2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机
抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点 A在直
线y=2x上的概率.
2 1
=
4 2
解：（1）∵抽取的负数可能为-2，-1，∴抽取出数字为负数的概率为P= （2分）
（2）列表如下
（4分）
∵共有16种等可能结果，其中点A在直线y=2x上的结果有2种（5分）
2 1
P'
= =
16 8
∴点A在直线y=2x上的概率为 （6分）x2 +(2m−1)x+m2 −3=0
20.（8分）已知关于x的一元二次方程 有实数根.（1）求实数
x ,x (x2 +2x )(x2 +4x +2)
m的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为 1 2，求代数式 1 1 2 2 的
值.
(2m−1) 2 −4×1×(m2 −3)=4m2 −4m+1−4m2 +12=−4m+13
解：（1）△= （2分）
∵原方程有实根，∴△=
−4m+13≥0
（3分）
13
m≤
4
解得 （4分）
（2）当
m=2
时，原方程为
x2 +3x+1=0
（5分）
x ,x x +x =−3,x x =1
∵ 1 2为方程的两个实根，∴ 1 2 1 2 （6分）
x2 +3x =0,x2 +3x =0
1 1 2 2
x2 +2x =−(x +1),x2 +4x +2=x +1
∴ 1 1 1 2 2 2 （7分）
(x2 +2x )(x2 +4x +2)=−(x +1)(x +1)
1 1 2 2 1 2
¿−[x x +(x +x )+1]=−(1−3+1)=1
∴ 1 2 1 2 （8分）
k 1
y= A(− m,m−2),B(1,n)
21.双曲线
x
（k为常数，且
k≠0
）与直线
y=−2x+b
交于
2
两点.（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为
CD的中点，求△BOE的面积.1
A(− m,m−2)
2 y=−2x+b
解：（1）∵点 在直线 上，
1
−2(− m)+b=m−2,∴b=−2
2
∴ （2分）
∴
y=−2x−2
，∵点B（1，n）在直线
y=−2x−2
上，∴
n=−2×1−2=−4
（3分）
k
y=
x k=1×(−4)=−4
∴B（1，-4），∵B（1，-4）在双曲线 上，∴ （4分）
y=−2x−2
（2）直线 交x轴于C（-1,0），交y轴于D（0，-2）（5分）
1
×|−1|×|−2|=1
2
∴S =
△COD
1 1
2 2
∵点E为CD的中点，∴S = S = （6分）
△COE △COD
1
×|−1|×|−4|=2
2
∵S = （7分）
△COB
1 3
=
2 2
∴S =S -S =2- .（8分）
△BOE △COB △COE
22.（8 分）如图，在△ABC 中，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，连接 CD，
∠BCD=∠A.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC=5，BD=3，求点O到CD的距离.（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°（1分）
∠A+∠ACD=90°，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠ACD=90°（2分）
∴OC⊥BC，∵OC是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线.（3分）
（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，如图所示（4分）
在Rt△BCD中，∵BC=5，BD=3，∴CD=4（5分）
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.
CD BD 3 16
= =
AD=
AD CD 4 3
∴Rt△BDC∽Rt△CDA.∴ ，∴ （6分）
∵OE⊥CD，∴E为CD的中点（7分）
1 8
AD=
2 3
又∵点O是AC的中点，∴OE= （8分）
23.（10分）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励
一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记
本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过
30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一
律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，
且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
{2x+3y= 38 ¿¿¿¿
解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x、y元.根据题意可得 （2分）
{x= 10 ¿¿¿¿
解得： （4分）.答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.
（2）设钢笔单价为a元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元.a=10−0.1(b−30)=−0.1b+13
①当30≤b≤50时， （5分）
W=b(−0.1b+13)+6(100−b)=−0.1b2 +7b+600=−0.1(b−35) 2 +722.5
（7分）
∵当
b=30
时，W=720，当b=50时，W=700
∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5（8分）
W=8b+6(100−b)=2b+600,700<W≤720
②当50＜b≤60时，a=8， （9分）
∴当30≤b≤60时，W的最小值为700元
∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元.（10分）
24.（10分）如图，在正方形 ABCD中，点E是AB边上的一点，以 DE为边作正方形
DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.（1）
1 MN
3 EM
求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN= ，求 的值；（3）已知正方形ABCD的边长
1
2
为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ？请说明理由.
（1）证明：在正方形ABCD，DEFG中，
DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=∠A=90°（1分）∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS）（2
分）
∴∠DCG=∠A=90°，∴CD⊥CG（3分）
（2）解：∵CD⊥CG，DC⊥BC，∴G、C、M三点共线
∵四边形DEFG是正方形，∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°，又∵DM=DM
∴△EDM≌△GDM，∴∠DME=∠DMG（4分）
又∠DMG=∠NMF，∴∠DME=∠NMF，又∵∠EDM=∠NFM=45°
MN FM
=
ME DM
∴△DME∽△FMN，∴ （5分）
HF FM MN HF
= =
ED DM ME EF
又∵DE∥HF，∴ ，又∵ED=EF，∴ （6分）
HF 1 MN 1
= =
EF 3 ME 3
在Rt△EFH中，tan∠HEF= ，∴ （7分）
（3）设AE=x，则BE=1-x，CG=x，设CM=y，则BM=1-y，EM=GM=x+y（8分）
在Rt△BEM中，
BE2 +BM2 =EM2
，∴
(1−x) 2 +(1−y) 2 =(x+y) 2
，
1−x
y=
解得
x+1
（9分）
x2 +1 1 x2 +1 1
EM=x+y= EM= =
∴
x+1
，若
2
，则
x+1 2
，
1
化简得：
2x2 −x+1=0
，△=-7＜0，∴方程无解，故EM长不可能为
2
.
y=ax2 +bx+c
25.（10分）如图，抛物线 与x轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且
OB=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线
上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值.②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？
解：（1）∵OB=OC，B（-3,0），∴C（0，-3）（1分）
{a b c 0 {9a 3b c 0
− + = ¿ − + = ¿¿¿¿
a=−1,b=−4,c=−3 y=−x2 −4x−3
又题意可得： 解得： .∴ （3分）
√2
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示，BG=AG=AB·sin45°= （4分）
AG 1
=
√2OB=3√2 2√2 CG 2
∵BC= ，∴CG=BC-BG= ，∴tan∠ACG= （5分）
1
t,−t2 −4t−3 2
设P（ ），过点P作PQ⊥x轴于Q，tan∠POQ=tan∠ACG= .t<0,−t2 −4t−3>0
①当P在x轴上方时，
PQ −t2 −4t−3 1
= = ,2t2 +7t+6=0
−t2 −4t−3,OQ=−t OQ −t 2
则PQ= ，tan∠POQ=
3 3 3
t =−2,t =− P (−2,1),P (− , )
1 2 2 1 2 2 4
解得 ，∴ （6分）
t2 +4 y+3 1
= ,2t2 +9t+6=0
②当点P在第三象限时，
−t 2
，
−9+√33 −9−√33
t = ,t =
3 4 4 4
解得：
−9+√33 −9+√33 9+√33 9+√33
P ( , ),P (− ,− )
3 4 8 4 4 8
∴ （7分）
③当点P在第四象限时，∠POB＞90°，而∠ACB＜90°，∴点P不在第四象限
3 3
−9+√33 −9+√33 9+√33 9+√33
(− , ) ( , ) (− ,− )
(−2,1), 2 4 4 8 4 8
故点P坐标为 或 或 或
M(m,−m2 −4m−3),N(m+4,−(m+4) 2 −4(m+4)−3)
（3）①由已知，
N(m+4,−m2 −12m−35) y=kx+n
即 ，设直线MN为
{km +n=−m 2 −4m−3¿¿¿¿ {k=−2m−8¿¿¿¿
得： 解得：
y=(−m−8)x+(m2 +4m−3)
故MN为 （8分）
D(t,−t2 −4t−3) E(t,(−2m−8)t+(m2 +4m−3))
设 ，
(−t2 −4t−3)−[(−2m−8)t+(m2 +4m−3)]
∴DE=−t2 +2(m+2)t−(m2 +4m)=−[t−(m+2)] 2 +4
= ，
当
t=m+2
时，DE最大值为4（9分）
E(m+2,−m2 −8m−19)
②当DE最大时，点 为MN的中点.
由已知，点E为DF的中点，∴当DE最大时，四边形MDNF为平行四边形.
MN2 =DF2 =4DE2, 42 +(8m+32) 2 =4×42
如果□MDNF为矩形，则 故 ，
3 √3
(m+4) 2 = m=−4±
4 2
化简得， ，故 .
√3 √3
m=−4+ −4−
2 2
当 或 时，四边形MDNF为矩形（10分）
