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长沙市2019年初中学业水平考试数学试题卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列个数中，比﹣3小的数是
A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1
2．根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到 2020年，长沙电网建设改造
投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表
示为
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
4．下列事件中，是必然事件的是
A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180°
5．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是
A．80° B．90° C．100° D．110°
6．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是
7．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成
绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需
要知道这11名同学成绩的
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
第5题 第9题 第10题
8．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是
A．2π B．4π C．12π D．24π
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的
长为半径作弧，两弧相交于 M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则
∠CAD的度数是
A．20° B．30° C．45° D．60°
10．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船
B与小岛A的距离是
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D． n
mile
11．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知
长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根
绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，
问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是
A． B． C． D．
12．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个
动点，则CD＋ BD的最小值是
A． B． C． D．10
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．式子 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．分解因式： ＝ ．
15．不等式组 的解集是 ．
16．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出
一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复
上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
217．如图，要测量池塘两岸相对的 A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点 C，连接
AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
18．如图，函数 (k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点
M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴
于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM
与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标
为1，△OAM为等边三角形，则k＝ ；④若MF＝ MB，则MD＝2MA．其中
正确的结论的序号是 ．
第12题 第9题 第10题
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算： ．
20．（6分）先化简，再求值： ，其中a＝3．
21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学
生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行
问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如
下不完整的统计表和条形统计图．
3请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良
好”
等级的学生共有多少人．
22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相
交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励
教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅
导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四
边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确
（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形AB C D 中，∠ABC＝∠AB C ，∠BCD＝
1 1 1 1 1 1 1
∠B C D， ，求证：四边形ABCD与四边形AB C D 相
1 1 1 1 1 1 1
似．
4（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB
分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S ，四边形EFDE的面积
1
为S，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
2
25．（10分）已知抛物线 (b，c为常数)．
（1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n( m＜n)，当m≤x≤n时，恰好有 ≤
≤ ，求m，n的值．
26．（10分）如图，抛物线 ( 为常数， ＞0)与x轴交于O，A两点，点B
为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三
点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，
连接AC，BE，BO，当 ＝ ，∠CAE＝∠OBE时，求 的值．
5参考答案
6789101112
