文档内容
乐山市 2019 年初中学业水平考试
数 学
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案
答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结
束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1. 的绝对值是
2.下列四个图形中，可以由图 通过平移得到的是
图
3.小强同学从 ， ， ， ， ， 这六个数中任选一个数，满足不等式 的概率是
4. 一定是
正数 负数 以上选项都不正确
5.如图 ，直线 ∥ ，点 在 上，且 .若 ,那么 等于
B a
1
b
A C 2
图
6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
﹣6 0 13 ﹣6 0 13
1﹣6 0 13 ﹣6 0 13
7.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问
人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4
钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是
1,11 7,53 7,61 6,50
8.把边长分别为1和2的两个正方形按图 的方式放置.则图中阴影部分的面积为
2
1
图
9. 如图 ，在边长为 的菱形 中， ，过点 作 于点 ，现将△
沿直线 翻折至△ 的位置， 与 交于点 .则 等于
A
D
G
B E C F
图
10.如图 ，抛物线 与 轴交于 、 两点， 是以点 （0,3）为圆心，2为半径的
圆上的动点， 是线段 的中点，连结 .则线段 的最大值是
图5
第Ⅱ卷（非选择题 共 120 分）
注意事项
1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试
题卷上无效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
4．本部分共16个小题，共120分．
2二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 的相反数是 ▲ .
12.某地某天早晨的气温是 ℃,到中午升高了 ℃，晚上又降低了 ℃.那么晚上的温度是
▲ .
13.若 .则 ▲ .
14.如图 ，在△ 中， ， , .则 边的长为 ▲ .
A
30°
B C
图
15.如图 ，点 是双曲线 ： （ ）上的一点，过点 作 轴的垂线交直线
： 于点 ，连结 ， .当点 在曲线 上运动，且点 在 的
上方时，△ 面积的最大值是 ▲ .
图
16.如图 ，在四边形 中， ∥ ， ,直线 .当直线 沿射线
方向，从点 开始向右平移时，直线 与四边形 的边分别相交于点 、 .设直线 向 右
平移的距离为 ，线段 的长为 ，且 与 的函数关系如图 所示，则四边形 的周
长是 ▲ .
l A D
F
B E C
3
图8.1
图8.2三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.
17.计算： .
18.如图 ，点 、 在数轴上，它们对应的数分别为 ， ，且点 、 到原点的
距离相等.求 的值.
A B
-2 0
图9
19.如图 ，线段 、 相交于点 , , .求证： .
A D
E
B C
图10
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20.化简： .
21.如图 ，已知过点 的直线 与直线 ： 相交于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积.
l
2 y
l
1
P
C
A O B x
4
图1122.某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为 分），测试结束后，张老师从七年级
名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图 所示．试根据统计图提供的
信息，回答下列问题：
人数 男生人数 女生人数
14
12
10
8
6
4
2
0 22 23 24 25 26 27 28 29 30
分数
（1）张老师抽取的这部分学生中，共有图 ▲ 名男生， ▲ 名女生；
（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 ▲ ；
（3）若将不低于 分的成绩定为优秀，请估计七年级 名学生中成绩为优秀的学生人数大
约是多少.
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.
23. 已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：无论 为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为 、 ，满足 ，求 的值；
（3）若 的斜边长为 ，另外两边的长恰好是方程的两个根 、 ，求
O
的内切圆半径.
24.如图 ，直线 与⊙ 相离， 于点 ，与⊙ 相交于点 ， . 是直线 上一点，
B
P
5
C A l
图13连结 并延长交⊙ 于另一点 ，且 .
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若⊙ 的半径为 ，求线段 的长.
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25.在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、
于点 、 .
（1）如图 ，当 ∥ 时，求证： ；
（2）如图 ，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是
否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图 ，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否
成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
A A A
E
G G F
E F G
E
C
B D C B D C B D
图 图 图
F
26. 如图 ，已知抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴交于 点，且
tan .设抛物线的顶点为 ，对称轴交 轴于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一点，且 .
①当点 在线段 (含端点)上运动时，求 的变化范围；
②当 取最大值时，求点 到线段 的距离；
③当 取最大值时，将线段 向上平移 个单位长度，使得线段 与抛物线有两个
交点，求 的取值范围.
6图 备用图
乐山市 2019 年初中学业水平考试
数学参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
第Ⅱ卷（非选择题 共120分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 12. 13.
14. 15. 16.
7三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．解：原式 ……………………………………6分
…………………………………8分
. ………………………………9分
18．解：根据题意得： ，…………………………………4分
去分母，得 ，
去括号，得 ，……………………………………6分
解得
经检验， 是原方程的解.（没有检验不扣分）…………9分
19．证明：在 和 中，
， , …………………3分
≌ ， …………………………………7分
故 ，得证. …………………………………9分
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.
20.解：原式 ÷ ， …………………4分
× ，…………………………………7分
. …………………………………10分
21. 解：（1）
，即 ，…………………………………2分
则 的坐标为 ，
l
2 y
设直线 的解析式为： ， l 1
P
C
那么 ，
解得： . A O B x
的解析式为： .…………………………………5分
图11
（2） 直线 与 轴相交于点 ，
8的坐标为 ， …………………………………6分
又 直线 与 轴相交于点 ，
点的坐标为 ，则 ，……………………7分
而 ，
.……………………10分
22.解：（1） ………………………………………………………………4分
（2） ……………………………………………………2分
（3） （人） ……………………10分
五、本大题共 小题，每小题 分，共 分.
23.解：（1）证明：
，……………………2分
无论 为任何实数时，此方程总有两个实数根. ………………3分
（2）由题意得： ， ， ……………………4分
， ，即 ， ……………………5分
解得： ； ……………………6分
（3）方法1：根据题意得： ，
而 ，
∴ ，解得： 或 （舍去）…………8分 4 r 5
r
r
设直角三角形 的内切圆半径为 ，如图，
3
由切线长定理，可得： ，
直角三角形 的内切圆半径 = ； ………10分
方法2：解方程得： ， ， ………………7分
9根据题意得： ，解得： 或 （舍去）………………8分
设直角三角形 的内切圆半径为 ，如图，
由切线长定理，可得： ，
直角三角形 的内切圆半径 = ； ………………10分
24. 证明：(1)如图，连结 ，则 ，
， ……………………1分
， ，……………………2分
而 ，即 ，
，
即 ，
， ……………………4分
O
，
D B
故 是⊙ 的切线； ……………………5分 P
(2)由(1)知： ， C A l
而 ， ，
在 中，由勾股定理，得： ， ……6分
过 作 于 ，则 ，………………7分
在 和 中，
， ，
∽ ， ……………………8分
，……………………9分
又 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
. ……………………10分
D
方法2：由(1)知： ，
而 ， ，
O
在 中，由勾股定理，得： ， ……6分 B
P
C A
10又 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，……7分
延长 交⊙ 于 ，连接 ，
， ，
∵ ∽ ， ……………………8分
，……………………9分
而 ，
∴ .……………………10分
六、本大题共 小题，第25题12分，第26题13分，共25分
25.解：（1） 是△ 重心， , ……………………1分
又 ,
, , ……………………2分
则 . ……………………3分
（2）（1）中结论成立，理由如下： ……………………4分
如图，过 作 交 的延长线于点 ， A N
延长 、 相交于点 ， F
E G
则 ， ， ……M…B………D……5C分
， ……………………6分
又 ，
而 是 的中点，即 ，
，…………7分
，
又 ， ，
故结论成立； ……………………9分
方法2：如图，过点 、 分别作 的平行线，交 或 的延长线于点 、 ，
11A
则 ， ，
I
G H F
E
，
B D C
而 是 的中点，即 是梯形 的中位线，
，
故结论成立；
方法3：如图，过点 、 分别作 的平行线，交 或 的延长线于点 、 ，
A
则 ， ，
F I
G
， H E
B D C
而 是 的中点，即 是梯形 的中位线，
，
又∵ ，
，
故结论成立；
（3）（1）中结论不成立，理由如下：……………………10分
当 点与 点重合时， 为 中点， ,
点 在 的延长线上时, ,
A
,则 ， ……………………11分
E
G
同理：当点 在 的延长线上时， ， C
B D
F
结论不成立. ……………………12分
26.解：（1）根据题意得： , ，……………………1分
在 中， ,且 ,得 ，………2分
,将 点坐标代入 得： ，
12故抛物线解析式为： ；……………………3分
（2）①方法1：由（1）知，抛物线的对称轴为： ，顶点 ，……4分
设 点坐标为 （其中 ），
则 ， ， ，
, 在 中，由勾股定理得： ,………5分
即 ，整理得：
（ ），…6分
当 时， 取得最小值为 ；当 时， 取得最大值为 ，
所以， ；……………………7分
方法2：由（1）知，抛物线的对称轴为： ，顶点 ，……4分
设 点坐标为 （其中 ），
过 作 轴于点 ，则 ∽ ，
∴ ，其中 ， ， ， ，
而 与 始终同号，
∴ ，
∴ （ ），………………6分
当 时， 取得最小值为 ；当 时， 取得最大值为 ，
所以， ；………………7分
方法3：①由（1）知，抛物线的对称轴为： ，顶点 ，………4分
设 点坐标为 （其中 ），直线 的解析式为： ，
将 、 两点坐标代入得： ，解得： ，
13直线 解析式： ，
又 ,可设直线 的解析式为： ，
将 点坐标为 代入 得： ，
直线 的解析式为： ，
令 时， ，
解得： ，
即 ，…………6分
点 在线段 (含端点)上运动， ，
当 时， 取得最小值为 ，
当 时， 取得最大值为 ，
故： ；………………7分
②由①知：当 取最大值4时， ，
， ，
则 , , ，………………8分
设点 到线段 距离为 ，
由 ，
得： ，故点 到线段 距离为 ；………………9分
③由②可知：当 取最大值4时， ，
线段 的解析式为： ，………………10分
设线段 向上平移 个单位长度后的解析式为： ，
当线段 向上平移，使点 恰好在抛物线上时，线段 与抛物线有两个交点，
此时对应的点 的纵坐标为： ，
14将 代入 得： ，………………11分
当线段 继续向上平移与抛物线相切时，线段 与抛物线只有一个交点，
联解 ，
得： ，化简得：
，
由 ，得 ，………………12分
当线段 与抛物线有两个交点时， .………………13分
15
