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专题18 全等与相似模型之十字模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐
角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则
HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片 的顶点A折叠至 边上的点
E，使 ，若折痕为 ，则 的长为（ ）
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A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得 PQM≌ ADE，
从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． △ △
【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，
在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，
∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED，
∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴ PQM≌ ADE，∴PQ=AE，
△ △
在 中， ，AD=12，由勾股定理得： ， ∴PQ=13．故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到 PQM≌ ADE是解
题的关键． △ △
例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ，
上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ．
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【答案】
【分析】根据题意证明 ， ，利用勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是正方形， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
又 ， ， ，
， ， ，
， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质
是解题的关键．
例3．（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 中，点E、F、H分别是 的中
点， 交于G，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用正方形的性质找条件证明 ，则 ，由
得到 ，则 ，即可判断①；连接 ，同理可得： ，
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，在 中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，即可
判断④；可得 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到 ， 垂直平分 ， ；
假设 ，推出矛盾，则 ，即可判断②；证明 是等腰三角形，由三线合一可知
，由 得到 ，由 得到 ，由三角
形外角的性质得到 ，即可判断③．
【详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∵点E、F、H分别是 的中点，∴ ，
在 与 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；故①正确；连接 ，如图所示：
同理可得： ， ，在 中，H是 边的中点，
∴ ，即 ；故④正确；
∵ ，∴ 是等腰三角形，∴ ， 垂直平分 ， ∴ ；
若 ，则 是等边三角形，则 ， ，
则 ，而 ，与 矛盾，
∴ ，∴ ，∴ ，故②错误；
∵ ，∴ 是等腰三角形，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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∴ ；故③正确；正确的结论有3个，故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的
性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
例4．（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点
E不与点AB重合），连接DE，过点A作 ，交BC于点F，证明： ．
（2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重
合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点， ， ，
求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上， ，BF，AE
相交于点G．若 ，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则 的面积为
______， 的周长为______．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ，
【分析】感知：由正方形的性质得出AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，证得∠ADE＝∠BAF，由ASA证得
△DAE≌△ABF（ASA），即可得出结论；
探究：分别过点A、D作 ，分别交BC、AB于点N、M，由正方形的性质得出
，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°，推出四边形DMEF是平行四边形，ME＝DF＝1，DM＝EF，证
出DM⊥GH，同理，四边形AGHN是平行四边形，GH＝AN，AN⊥DM，证得∠ADM＝∠BAN，由ASA证得
△ADM≌△BAN，得出DM＝AN，推出DM＝GH，由E为AB中点，得出AE＝ AB＝2，则AM＝AE﹣ME
＝1，由勾股定理得出DM＝ ，即可得出结果；
应用：S ABCD＝9，由阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为
正方形
6，空白部分的面积为3，由SAS证得△ABE≌△BCF，得出∠BEA＝∠BFC，S ABG＝S CEGF，则
四边形
△
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S ABG＝ ，∠FBC+∠BEA＝90°，则∠BGE＝90°，∠AGB＝90°，设AG＝a，BG＝b，则 ，2ab＝
△
6，由勾股定理得出a2+b2＝AB2＝32，a2+2ab+b2＝15，即（a+b）2＝15，得出a+b＝ ，即可得出结果．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ≌ （ASA），∴ ．
探究：解：分别过点A、D作 ， ，分别交BC、AB于点N、M，如图②所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴ ， ， ，
∴四边形DMEF是平行四边形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
同理，四边形AGHN是平行四边形，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ≌ （ASA），∴ ，∴ ，
∵E为AB中点，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
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应用：解：∵AB＝3，∴S ABCD＝3×3＝9，
正方形
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为： ×9＝6，∴空白部分的面积为：9﹣6＝3，
在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BEA＝∠BFC，S ABG＝S CEGF，
四边形
△
∴S ABG＝ ×3＝ ，∠FBC+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴∠AGB＝90°，
△
设AG＝a，BG＝b，则 ab＝ ，∴2ab＝6，
∵a2+b2＝AB2＝32，∴a2+2ab+b2＝32+6＝15，即（a+b）2＝15，而
∴a+b＝ ，即BG+AG＝ ，∴△ABG的周长为 +3，故答案为： ， ．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角
形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键．
模型2.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则 .
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则 .
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如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则 .
例1．（22·23下·广西·九年级期中）如图，把边长为 ， 且 的平行四边形
对折，使点 和 重合，求折痕 的长．
【答案】
【分析】先证明 ，得到 ，求出BE和BF，然后得到BD，DG和MG的长度，再
利用全等三角形的性质，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 与 交于点 ，并补全矩形为 ．
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
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又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】此题是折叠问题，考查折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和
性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到 ，从而求出所需边的长
度．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、
边上的点，当 时，证明： ．
【答案】见解析
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据余角的性质证明
，再证明 即可证明结论成立．
【详解】证明：如解图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，且四边形 为矩形，
∴ ，∴ ，∴ ．
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又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判
定与性质是解答本题的关键．
例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形 中， ， ， 是 边上的一个动点，将
矩形 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，则线段 _______________， _____________；
（2）如图2，当点 与点 ， 均不重合时，取 的中点 ，连接并延长 与 的延长线交于点 ，
连接 ， ， ．
①求证：四边形 是平行四边形：②当 时，求四边形 的面积．
【答案】（1）2，4；（2）①见解析；②
【分析】（1）过点F作FH⊥AB，由翻折的性质可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根据平行线
的性质和等量代换可得∠CFE＝∠FEC，由等角对等边可得：CF＝CE，设AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE
中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形
DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；
（2）①根据折叠的性质可得 ，进而可得 ，根据已知条件可得 ，从而易
证 ，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；
②连接 与 交于点 ，则 且 ，又由①知： ， ，则 ，继
而易证∠MAD＝PAB，接根据三角函数求得PB，设 ，则 ，根据勾股定理可得关于x的方程，
解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解．
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【详解】解：（1） 2 ， 4 ；过点F作FH⊥AB，
∵折叠后点A、P、C重合∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，
∵CD∥AB∴∠CFE＝∠FEA，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE＝AE，
设AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得 ，即
解得： x＝4，即AE＝CE＝CF＝4∴BE＝2、DF＝2，
∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°∴四边形DAHF是矩形，
∴FH＝ 、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2
在Rt△EFH中，由勾股定理可得: ＝4
（2）①证明：如图2，∵在矩形 中， ，
由折叠（轴对称）性质，得： ，∴ ，
∵点 是 的中点，∴ ，又 ，∴ ，
∴ ，∴四边形 是平行四边形：
②如图2，连接 与 交于点 ，则 且 ，
又由①知： ，∴ ，则 ，
又 ，∴ ，∴
在 ， ，而 ，∴ ，
又在 中，若设 ，则 ，
由勾股定理得： ，则 ，而 且 ，
又四边形 是平行四边形，∴四边形 的面积为 ．
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【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判
定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．
例4．（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答
(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：
；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，求 的值；
(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求
的值．
【答案】(1)见解析(2) (3)
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP＝EF，GH
＝BQ， PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
△
（2）只需运用（1）中的结论，就可得到 ，就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四
边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得 ．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，
在Rt CSD中根据勾股定理可得x2+y2＝25①，在Rt ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2＝
100②△，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以△解决．
【详解】（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
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∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴ ，∴ ；
（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得 ， ，∴ ．
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得 ．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt CSD中，x2+y2＝25①，
在Rt ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得△x＝2y﹣5③，
△
解方程组 ，得 ，（舍去），或 ，
∴AR＝5+x＝8，∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等
知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．
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模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
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例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，
AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中
正确的结论是________（填序号）
【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．
在△ABD与△BCE中， ，∴△ABD≌△BCE（SAS）；∴AD＝BE．故②错误；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．
∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，∴∠APB＝120°，故④正确．
例2．（22·23下·淄博·一模）如图，等边 ，点E，F分别在AC，BC边上， ，连接AF，
BE，相交于点P．(1)求 的度数；(2)求证： ．
【答案】(1) ；(2)见解析
【分析】（1）根据 证明 ，利用三角形的外角性质即可得解；
（2）证明 ，利用对应边对应成比例列式即可．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ，∴ ．
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∵ ∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条
件证明三角形全等是解题的关键．
例3．（22·23下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边 中， 、 分别为边 、 上的点，
与 相交于点 ，若 ，则 ＝ °；则 的周长为 ．
【答案】
【分析】根据 证 ，得出 ，在 上取一点 使 ，则
，证 ，根据比例关系设 ，则 ，作 延长线于 ，利
用勾股定理列方程求解即可得出 和 的长．
【详解】解： 是等边三角形， ， ，
在 和 中， ， ，
， ，
在 上取一点 使 ，则 ，
， 是等边三角形， ，即 ， ，
，设 ，则 ，作 延长线于 ，
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， ， ， ， ，
在 中， ，即 ，解得 或 （舍去），
， ， 的周长为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等
知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
例4．（22·23下·六安·一模）如图1，等边 中，点D、E分别在 上，且 ，连接
交于点 (1)求证： ；(2)如图2，连接 ，若 ，判断 与 的位置关系
并说明理由；(3)如图3，在 的条件下，点G在 上， 的延长线交 于H，当 时，请
直接写出线段FH的长．
【答案】(1)详见解析(2) ，详见解析(3)
【分析】（1）因为 为等边三角形，所以 ， ，又 ，即可判定
≌ ，根据全等三角形的性质得出 ，利用三角形外角性质解答即可；
（2）延长BE至M，使 ，连接 ，取 的中点N，连接 ，可证得 是等边三
角形，得出 ， ，再证得 ≌ ，推出 ，
，证得 ∽ ，推出 ，结合点N是 的中点，得出 ，
是等边三角形，进而可得 ， ，推出
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，即 ；（3）延长BE至M，使 ，连接
，取 的中点K，连接 ，可得 ∽ ， ，推出 ，再由
是 的中位线，可得 ， ， ，再由
∽ ，可得 ，进而可得 ，再证得 ，得出
【详解】（1） 为等边三角形， ， ，
在 和 中， ， ≌ ， ，
， ；
（2） ，理由如下：
如图，延长BE至M，使 ，连接 ，取 的中点N，连接 ，
由 得： ， 是等边三角形， ， ，
， ，即 ，
在 和 中， ， ， ，
≌ ， ，
， ，
∴ ∽ ， ，
， ， ， ，即 ，
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，即 ， ，
点N是 的中点， ， ，
又 ， 是等边三角形， ， ，
， ， ，
， ；
（3）如图，延长 至M，使 ，连接 ，取 的中点K，连接 ，
由 知： ， ≌ ， ， ，
∽ ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， 点G是 的中点， ，
点K是 的中点， 是 的中位线， ， ，
， ，
， ∽ ， ， ，
， ，
，
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，
三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅助线
构造全等三角形和相似三角形．
例5．（22·23上·深圳·期中）如图，在 中， ， ，点D为 边上的中点，
连接 ，过点B作 于点E，延长 交 于点F．则 的长为 ．
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【答案】
【分析】以 为邻边作正方形，延长 交 为 ，先求出 ，再证明出
，得出即 为 的中点，再证明 ，利用相似比及勾股定理即可求解．
【详解】解：以 为邻边作正方形，延长 交 为 ，如下图：
， ， ，
在 和 中， ， ，
， ， ，即 为 的中点，
， ，
， ，
， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利
用相似三角形的相似比来求解．
例6．（22·23下·沧州·二模）如图，在 中， ， ，点D是线段 上的一点，
连接 ，过点B作 ，分别交 、 于点E、F，与过点A且垂直于 的直线相交于点G，连
接 ，下列结论错误的是（ ）
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A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若 ，则
【答案】D
【分析】由 ，可确定A项正确；由 可得 ，进而由
确定点F为 的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆
内接四边形的性质得到 ，得到 为圆的直径，因为 ，根据垂径定理得到
，故C项正确；因为D为 的三等分点， 即 ，可得 ，由此
确定D项错误．
【详解】解：依题意可得 ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ．故A项正确；如图，
∵ ， ，∴ ．
在 与 中， ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ；∵ 为等腰直角三角形，
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∴ ；∴ ；
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故B项正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得 ，
∴ 是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵ ，∴ ，∴ ，故C项正确；
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ；
∴ ．故D项错误．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，
需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
例7．（22·23·广东·期中）如图，在 中， ， ， ，点 为 上一点，连
接 ， 为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长．
【答案】
【分析】将 补成矩形 ，延长 交 于点 ，可得 ，结合已知可求
、 ，再由 即可求出CE．
【详解】解：如解图，补成矩形 ，延长 交 于点 ，
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∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ， ，∴设 ，则 ，
又∵在矩形 中， ，∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性
质，证明 是本题的关键．
例8．（22-23下·深圳·一模）如图①，在Rt 中， ， ，点D为 边上的一点，
连接 ，过点C作 于点F，交 于点E，连接 ．
(1)若 ，求证： ；(2)如图②，若 ， ，求 的值．
【答案】(1)答案见详解(2)
【分析】（1）要证 ，过点B作 ，交 的延长线于H，证得 ，得出 与
的数量关系，再证得 ，得出 根据线段间关系，即可求证；（2）要求 的值，
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根据角度间的转化，得出 ，即可求出 的值，根据 ，推出 ，即可得到
最后结果．
【详解】（1）证明：如图，过点B作 ，交 的延长线于H，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
, ， ， ， ．
（2）解： ， ， ， ，
由（1）可知 ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
设 ，则 ， ， , ，
解得 （舍去）， ， ，
又 ， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊
三角函数求角，是解本题的关键．
例9．（22·23上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做
了如下探究：
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【观察与猜想】(1)如图①，在正方形 中，点 、 分别是 、 上的两点，连接 ， ，
，则 的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形 中， ， ，点
是边 上一点，连接 ， ，且 ，求 的值．【拓展延伸】(3)如图③，在 中，
，点 在 边上，连结 ，过点 作 于点 ， 的延长线交 边于点 ．若
， ， ，则 ___________．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）设 与 的交点为 ，根据正方形的性质可证明 ，得 ，
即可得出答案；（2）利用△DEC∽△ABD，则 ；（3）过点 作 ，延长 交 于
点 ，证明 ，进而求得 的长，证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：设 与 的交点为 ，
四边形 是正方形， ， ，
， ， ， ，
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，在 与 中， ，
， ， ，故答案为： ；
（2）解：如图，设 与 交于点 ，
四边形 是矩形， ， ， ，
， ， ，
， ， ，故答案为： ；
（3）解：如图，过点 作 ，延长 交 于点 ，
在 中， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
又 ， ，
．故答案为： ．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，
全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
课后专项训练
1．（22·23下·杭州·一模）如图，在等边 的AC，BC边上各取一点M，N使 ，AN，BM相
交于点O．若 ， ，则BO的长是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】证明 ABM≌△ACN （SAS），得出∠ABM=∠CAN，证明 AMO∽△BMA，得出 ，可求
△ △
出BM，即可得解．
【详解】∵△ABC是等边三角形∴∠BAM=∠ACN=∠ABN，AB=AC=BC
∵在 ABM和 ACN中 ，∴△ABM≌△ACN （SAS），∴∠ABM=∠CAN，，
△ △
∵∠AMO=∠BMA，∴△AMO∽△BMA，∴ ，
∵ ， ，∴ ，解得 ，∴BO=BM-OM=8-2=6，故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，
折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．无法求出
【答案】B
【详解】试题分析：作NF⊥AD，垂足为F，连接AE，NE，∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD
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上的E点，折痕为MN，∴∠D=∠AHM=90°，∠DAE=∠DAE．∴△AHM∽△ADE．∴∠AMN=∠AED．
在Rt△NFM和Rt△ADE中， ，∴△NFM≌△ADE（AAS），∴FM=DE=CD﹣CE=5cm，
又∵在Rt△MNF中，FN=AB=12cm，∴根据勾股定理得：MN= =13．故选B．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
3．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP
于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF，下列结论正确的是
（ ）
A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF
【答案】D
【分析】首先证明AH=HB，推出BG=EG，推出CB=CE，再证明△CBH≌△CEH，Rt△HFE≌Rt△HFA，
利用全等三角形的性质即可一一判断．
【详解】连接 ．
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四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CG⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形 是平行四边形，∴CP = AH，
∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，
∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△CBH≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA， ∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，
在Rt△CDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2，∴x= ，∴EF= ∴，故B错误，
∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH= = ，故C错误．
∵HF= ，EF= ，FC= ∴HF2=EF·FC，故D正确，故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（黑龙江省牡丹江市2021年中考数学真题试卷）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，
BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（
）
A．2 B．2 C．6 D．5
【答案】D
【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再证
明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S AGEF=S AGF+S EGF求解即可
四边形
△ △
【详解】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，
AE⊥GF，AO=EO．设AG=GE=x，则BG=3-x，
在Rt△BGE中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x= ．
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在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+12=AE2，∴AE= ．
∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，∴∠HAP=∠OFP，
∵四边形ADFH是矩形，∴AB=AD=HF．
在△ABE和△FHG中， ，∴△ABE≌△FHG，∴FG=AE= ，
∴S AGEF=S AGF+S EGF= = = = =5．故选
四边形
△ △
D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知
识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
5．（22·23下·东营·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结
CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给
出以下四个结论：① ；②若点D是AB的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆
上时，DF=DB；④若 ，则 其中正确的结论序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
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【答案】C
【详解】试题分析：∵∠ABC=90°，∠GAB=90°，AB=BC，
∴AG//BC，∴△AFG∽△CFB，∴ ，故①正确；
又∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG，∵AB=BC，∴△CBD≌△BAG，∴AG＝BD，
∵BD＝ AB，∴AG：BC＝１：２，∴AF：FC＝１：２，∴AF：AC＝１：３，
∵AC＝ AB，∴AF＝ AB，故②正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠DBC＝90°，∴CD是直径，∴∠CFD＝90°，
∵BF⊥CD，∴BE＝EF，∴BD＝DF，故③正确；
若 ，则有BD：BC＝1：3，∵∠BEC＝∠DEB＝９０°，∠BCD=∠ABG，
∴△BDE∽△CBE，∴DE：BE＝BE：CE＝BD：BC＝１：３，
∴DE：CE＝１：９，∴S ：S ＝１：９，即S ＝９Ｓ ，故④错误；故选C.
BDF BFC ＢＣＦ BDF
△ △ △ △
考点：１.相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质.
6．（22·23下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连
接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是
BC的中点，连接DE．则 = ；
【答案】
【分析】先证 ，得到 ，再通过证明 ， 为等腰直角三角形
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得出 ，即可求解．
【详解】 CG⊥AD
∠ACB=90°
又 ， 为等腰直角三角形 ，
点D是BC的中点
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，
熟练掌握知识点并能灵活运用是解题的关键．
7．（22·23下·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点
B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ．
【答案】
【分析】过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F，证明△ABE≌△BCF（ASA），得BE＝CF，再证明
△ABD∽△CFD，列比例式可得结论．
【详解】过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F，
∵∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴AB∥CF，
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∵AE⊥BD，∴∠AHB＝∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠ABH+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠BAH，
在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，
∵AE是BC边上的中线，∴BE＝ BC＝1，∴CF＝1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝2 ，
∵AB∥CF，∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，∴△ABD∽△CFD，
∴ ，即 ，解得：AD＝ ．故答案为：
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质．熟练运用相似三角形的判定和性质是关键．
8．（山东2022-2023学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、
BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；
④∠AGE=∠BCE．其中正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】由“SAS”可证 BEC≌△CFD，可得∠BCE=∠CDF，由“AAS”可证 AEP≌△BCE，可得AP=BC，由
直角三角形的性质和全△等三角形的性质依次判断可求解． △
【详解】解：如图，延长DA，CE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，
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∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=AE=BF=CF=CH=DH，
在 BEC和 CFD中， ，∴△BEC≌△CFD（SAS），∴∠BCE=∠CDF，
△ △
∵∠CDF+∠DFC=90°，∴∠BCE+∠CFD=90°，∴∠CGF=90°=∠DGE，∵AD与BC平行，∴∠P=∠BCE，
在 AEP和 BEC中， ，∴△AEP≌△BCE（AAS），∴AP=BC，∴AP=AD，
△ △
又∵∠DGE=90°，∴AG=AP=AD，故①正确；∴∠AGD=∠ADG，
∵CH=DH，∠DGC=90°，∴GH=DH=CH，∴∠HDG=∠HGD，
∵∠ADG+∠HDG=∠ADC=90°，∴∠AGD+∠DGH=90°，∴∠AGH=90°，∴AG⊥GH，故②正确；
∵AG=AP=AD，∴∠P=∠AGE，∴∠AGE=∠BCE，故④正确；
∵CD=2CF，∴DF≠2DF，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，
∴∠DAG≠60°，故③错误，故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
9．（江西2023-2024学年九年级月考数学试题）在矩形纸片 中， ， ，将纸片折叠．
(1)如图1，若沿 对折，使点C恰好落在 上得到点E，求 的长．
(2)如图2，若沿对角线 折叠，使点C落在点F处， 与 交于点E，求 的长．
(3)如图3，若沿 折叠，使点C与点A重合，求折痕 的长．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由折叠的性质得 ，再用勾股定理解 即可；
（2）由折叠的性质得 ，进而证明 ，推出 ，再用勾股定理解
即可；（3）连接 ，连接 交 于点O，由折叠的性质可证四边形 是菱形，用勾股定
理解 ，求出菱形的边长，再利用菱形的面积公式列式求解．
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【详解】（1）解： 四边形 是矩形， ，由折叠知 ，
；
（2）解： 沿对角线 折叠， ，
矩形 中， ， ， ， ，
， ， ；
（3）解：如图，连接 ，连接 交 于点O，
由折叠的性质可知 垂直平分 ， ， ， 沿 折叠， ，
矩形 中， ， ，
， ， ， 四边形 是菱形，
在 中， ， ，
，解得 ， ，
， ， ，
， ．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠的
性质，即折叠前后对应边相等、对应角相等．
10．（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形 的边长为6，动点 分别在边 上运动，
连接 ．
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(1)如图1，过 作 交边 于点 ，交 于点 ．i）若 为 的中点， 为 的中点，求
的长；ⅱ）探索线段 之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，将四边形
沿 翻折得到四边形 与 相交于点 ，调整点 和点 的位置使得线段 始终经过顶点
．
i）若点 到 的距离 ，求 的长；ⅱ）点 到 的距离是否存在最大值？若存在，请直接
写出这个最大距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)i） ；ⅱ） ，理由见解析(2)i）5；ⅱ）点 到 的距离的最大值为
【分析】（1）i）根据正方形的性质证明 ，结合勾股定理即可求解；
ⅱ）过点 作 于点 ，证明 ，可知 ，由 ，
，可证得结论；（2）i）连接 ，延长 交 于点 ，由轴对称得性质可知点
与点 关于 对称， 也垂直平分 ，进而可得 ，证明 ，
，结合勾股定理即可求解；
ⅱ）由i）可知点 与点 关于 对称，连接 ，由轴对称可知： ， ，证得
，进而可知 ， ， 在同一直线上，可得 ，求得
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，作 ，交 于 ，延长交 于 ，则 ，由直角三角形斜边与直角边
的关系可得 ，当 与 重合时取等号，即可求得点 到 的距离
的最大值．
【详解】（1）解：i）∵四边形 是正方形，且边长为6，∴ ， ，
∵ 为 的中点，∴ ，由勾股定理可得： ，
∵ 为 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即： ，解得： ，∴ ；
ⅱ） ，理由如下：过点 作 于点 ，则
∵四边形 是正方形，∴ ， ，则
∵ ，可知四边形 为矩形，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
则 ，∴ ．
（2）i）连接 ，延长 交 于点 ，
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∵ ， 关于 对称，则： ， ， ∴ 垂直平分 ，
∵ ， 为 延长线与 的交点∴ ，且点 与点 关于 对称∴ 也垂直平分
，
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，即： ，得： ，则 ，
在 中， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即： ，得： ；
ⅱ）由i）可知点 与点 关于 对称，连接 ，
由轴对称可知： ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴
则 ， ， 在同一直线上，
∴ ，即： ，∴ ，
作 ，交 于 ，延长交 于 ，则 ，
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∴点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
由直角三角形斜边与直角边的关系可得： ，当 与 重合时取等号；
综上：点 到 的距离的最大值为 ．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，
轴对称的性质，添加辅助线构造全等三角形及相似三角形是解决问题的关键．
11．（四川省成都市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形
中，E为边 上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于 的一条直线 ，垂足为G，交
于点F．小明发现可以通过证明： 得 （不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形 中，P为边 上一点（不与点B、C重合），M为线段 上
一点（不与C、D重合），过点M作 ，垂足为G，交 于点N，请直接写出 与 及线段
、 、 之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 并延长
交边 于点I，再连接 ，请探究线段 、 的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形 的边长为8，点M、N分别为边 、 上的点，过A作
，已知 ，将正方形 沿着 翻折， 的对应边 恰好经过点A，连接 交
于点Q.过点Q作 ，垂足为R，求线段 的长．（直接写出结论即可）
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【答案】（1） ， ，理由见详解（2） ，理由见详解（3）
【分析】（1）过点 作 交 于点 ，证明 ，即可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，先根据直角三角形的性质，得
再证明 即可得到结论；
（3）延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，设 ，则 ，先证明
，得 ，再证明 ，即可得出结果．
【详解】解：（1） ， ，
理由： 四边形 是正方形， ， ， ， ，
过点 作 交 于点 ，如图1所示： 四边形 为平行四边形，
， ， , ．
， ，
在 和 中， ， ， ， , ，
， ， ，
故 ， ；
（2）解： ，理由如下：过点 作 于点 ，
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在正方形 中， ， ．
恰好为 的中点， ， ，
， ，
，即 ， ；
（3）解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，
由折叠性质知： ， ， 垂直平分 ， ， ，
在 中， 设 ，则 ，
在 中， ，即
解得： ，即 ， ， ，
由（1）中结论， ，
，
，同理可证： ， ，
， ，
， ， ，
，
且 ， ，
， ， ，故线段 的长为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
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与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知
识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．
12．（成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形
，点 ， 分别在边 ， 上， 于点 ，点 ， 分别在边 、 上， ．
①判断 与 的数量关系： ； ②推断： 的值为： ；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上
的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关
系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形 中， ， ，
， ，点 ， 分别在边 、 上，求 的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）=；1；（2） ，理由见解析；（3） ；（4）
【分析】（1）①由正方形的性质得 ．所以 ，又知
，得出 ，于是 ，可得 ．
②证明四边形 是平行四边形即可解决问题．
（2）如图2，作 于 ．证明： 即可解决问题．
（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，连接 ，证明
，得出 ，证明 ，可得出 ，由勾
股定理求出 ，则可得出答案．
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（4）过点 作 交 的延长线于 ，利用相似三角形的性质求出 ， 即可解决问题．
【详解】解：（1）①证明： 四边形 是正方形，
， ． ．
， ． ．
， ．故答案为： ．
②结论： ．理由： ， ， ，
， 四边形 是平行四边形， ，
， ， ．故答案为：1．
（2）结论： ．理由：如图2中，过点 作 于 ．
， ，
， ，
， ， ，
， 四边形 是矩形，
， ．
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（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，连接 ，
， ， ， 四边形 是矩形，
， ， ，
， ， ， ，
， ，且 ，
，且 ， ，
， ， ，
， ，
（不合题意，舍去）， ， ，
由（2）的结论可知： ．
（4）解：如图2中，过点 作 交 的延长线于 ．
， 假设 ， ， ，
， ， ， ，
或 （舍弃）， ， ， ， ，
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， ， ，
， ， ，
， ， ， ， ，
， ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相
似三角形解决问题．
13．（22·23下·江苏·九年级期中）平行四边形 中， ， 分别是边 、 上的点，
，G为垂足．（1）如图1，当 ， 时，求证：
（2）如图2，当 ， ， ，求 的最小值
（3）如图3，当 ， ，E为 的中点，直接写出 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）利用正方形的判定与性质得到 ， ，再通过倒角得到
，根据全等三角形的判定与性质即可得证；
（2）设 ，则 ，利用矩形的判定与性质得到 ，再通过倒角得到
，根据相似三角形的判定与性质得到 ，利用勾股定理得到二次函数，利用二次函
数的性质即可求解；
（3）过点A作 于K，交BC的延长线于H，通过证明 ∽ 得到
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，设 ，则 ， ， ，由 ，得到
，设 ，则 ， ，根据 ，得到 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵平行四边形 中， ， ，
∴四边形ABCD是正方形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ≌ ，∴ ；
（2）∵ ， ，∴ ，设 ，则 ，
∵平行四边形 中， ，∴四边形ABCD是矩形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ∽ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∵ ，∴EF有最小值，最小值为 ；
（3）∵平行四边形 中， ，∴四边形ABCD是菱形，∴ ，
过点A作 于K，交BC的延长线于H，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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∴ ∽ ，∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∵ ，∴ ，设 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分
线段成比例等内容，解题中辅助线的引入是得到证明方法的主要手段，这是一道较难的几何综合题．
14．（2022年湖北中考模拟）知矩形ABCD中， ，点E是BC边上一点， 于点O，分别交
AB、CD于点F、G．
(1)特例发现：如图1，若 ，则 ______；
(2)类比探究：如图2，若 ，请探究 的值，并写出探究过程；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD沿CF折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，
得到四边形PEFG，PE与CD交于点H，连接PC．已知 ， ，求PC的长
【答案】(1)1；(2) ；(3)
【分析】（1）过G作GH⊥AB于H，利用矩形的性质求得△GHF∽△ABE，由相似三角形的性质即可解答；
（2）过G作GH⊥AB于H，同（1）的解答；
（3）过P作PM⊥BC延长线于M，由折叠性质可得∠GPE=∠FEP=90°，FA=FE，PE=AD；由余角关系可得
∠CEH=∠BFE=∠CGP；Rt△BFE中，由tan∠BFE= ，设BE=4k，BF=3k，则AF=EF=5k；由（2）结论求
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得AE= ，在Rt△ABE中由勾股定理建立方程求得k的值，便可求得BF，BE，EF的长，再由
△PEM∽△EFB求得PM，ME的长，进而得出MC的长利用勾股定理即可解答；
【详解】（1）：如图，过G作GH⊥AB于H，ABCD是矩形，则∠C=∠B=90°，
∵∠GHB=90°，∴GHBC是矩形，∴GH=BC，
∵∠AFG+∠HGF=90°，∠AFG+∠BAE=90°，∴∠HGF=∠BAE，
∵∠GHF=∠ABE，∴△GHF∽△ABE，∴ ，即 ；
（2）：如图，过G作GH⊥AB于H，
同（1）解答可得△GHF∽△ABE，∴ ，即 ；
（3）：如图，过P作PM⊥BC延长线于M，
ABCD是矩形，由折叠性质可得∠GPE=∠FEP=90°，FA=FE，PE=AD，
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△PGH和△CHE中，∠PGH+∠PHG=90°，∠CEH+∠CHE=90°，∠PHG=∠CHE，∴∠PGH=∠CEH，
∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠CEH=90°，∴∠CEH=∠BFE=∠CGP，
Rt△BFE中，tan∠BFE= ，设BE=4k，BF=3k，由勾股定理可得EF=5k，则AF=EF=5k，
∵ ，由（2）结论 ，∴AE= ，
Rt△ABE中，AB=8k，BE=4k，由勾股定理可得 ，
解得：k= 或k= （舍去），∴AB= ，BE= ，EF= ，BF=2，
∵ ，∴BC=4，∴CE=4- = ，PE=AD=BC=4，
∵∠PEM=∠EFB，∠PME=∠EBF，∴△PEM∽△EFB，
∴ ，BE= 则PM= ，BF=2则ME= ，∴MC=ME-CE= ，
Rt△PMC中由勾股定理可得 =
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，三角函数，勾股定理，
等知识；此题综合性强，正确作出辅助线是解题关键．
15．（成都市锦江区2022-2023学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形ABCD中，
点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若 ，则 的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中， ， ，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若 ，则
的值为______；
（3）如图3，在四边形ABCD中， ，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交
ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证： ；
（4）如图4，在 中， ， ，将 沿BD翻折，点A落在点C处，得到
，点F为线段AD上一动点，连接CF，作 交AB于点E， 垂足为点G，连接AG．设
，求AG的最小值．
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【答案】（1）1；（2） ；（3）见解析；（4）
【分析】（1）先证明 得到DE=CF,最后代入求值即可；
（2）先证明 得到 ,即 即可；
（3）过点F作FH⊥BC，垂足为H，先证四边形ABHF为矩形，再证△ADE∽△GDF和△HCF∽△GDF得到
△ADE∽△HCF，即 ,即 即可；
（4）过C作 于H，说明CGHD四点共圆，再证 可得 ，进而
得到 ；然后再运用三角函数MR、DR、AR、AM,再根据题意可得 ，最后
根据三角形的三边关系求最值即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠A=∠FDC=90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠DFC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF， AD=DC，∠A=∠FDC
∴△ADE≌△DCF（ASA）.∴DE=CF，∴ =1 故答案为1；
（2）∵四边形ABCD为矩形 ∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，∴∠ADB+∠CED=90°，∠CED+∠DCE=90°，∴∠ADB=∠DCE∴△ADB∽△DCE，
∴ ，即 故答案为： ；
（3）如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H
∵∠H=∠A=∠B=90°，∴四边形ABHF为矩形， ∴FH=AB.
∵CG⊥EG，∴∠G=90°=∠A=∠H，∵∠ADE=∠GDF，∴△ADE∽△GDF，
∵∠GDF=∠HFC，∴△GDF∽△HCF，∴△ADE∽△HFC，
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∴ ,即 ∴ ．
（4）如图4，过C作 于H，
∵ ，∴CGHD四点共圆，∴ ，
∵ ， ∴ ，∴ ，
∴ ， ，取CD中点M，连接AM，GM，过M作 于R，
， ，
， ，
∵ ， ，∴ ， ，
当A、G、M三点共线时，AG取最小值 ．
【点睛】本题主要考查正方形性质、三角形全等判定与性质、矩形性质、三角形相似判定与性质、翻折轴
对称性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
16．（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】
如图1，已知正方形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．当 时，
求证： ；
【类比迁移】如图2，在菱形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．若
，求证： ．
【拓展延伸】如图3，在四边形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．
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， ， ， ，若 ，请求出 的值．
【答案】问题解决：见解析；类比迁移：见解析；拓展延伸：
【分析】问题解决：根据正方形的性质、 ，利用 证 ，即可得出 ；
类比迁移：延长 至 ，使 ，连接 ，根据菱形的性质、 ，利用 证
，得出 ，再证明 是等边三角形，得出 ，即可证明 ；
拓展延伸：连接 ，过点 作 的垂线，交 于 ，交 于 ，交 于 ，根据“
， ， ， ”、勾股定理计算出 、 ，根据
，计算 ，推理出 、 ，证明
，得出 ，代入计算即可．
【详解】问题解决：∵四边形 为正方形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
类比迁移：如下图，延长 至 ，使 ，连接 ，
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∵四边形 是菱形，∴ ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ；
拓展延伸：如下图，连接 ，过点 作 的垂线，交 于 ，交 于 ，交 于 ，
∵ ， ， ， ，∴ ，
， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
， ，
∵ ， ，∴ ，
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∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾
股定理、相似三角形等，综合性较强，熟练掌握知识点，作出辅助线推理证明是解题的关键．
17．（22·23下·安徽·模拟预测）如图1，在等边 中，点D，E分别在边 上，且 ，连
接 相交于点F．
(1)求 的度数；(2)如图2，连接 ，当 时，求 的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将
沿 翻折，使点C落在点G处，连接 并延长交 于点H，交 于点I．当 时，求
的长．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）证明 ，可得 ，即可求解；
（2）过点C作 ，垂足为点G，可得 ， ， ，可得
， ， ．从而得到 ．可证明 ，即可求解；
（3）根据折叠的性质可得 ，从而得到G，B，F，A四点共圆，进而得到
，再证明 ，可得 ，再由 ， ． ，再根
据 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ，
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∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ．
（2）解：如图，过点C作 ，垂足为点G，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
由（1）知 ， ，∴ ．
在 中， ，
∴ ，∴ ．∴ ，即 ．
又∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．
（3）解：∵ 沿 翻折得到 ，∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∴G，B，F，A四点共圆．∴ ．
在 与 中，∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ，由（2）知 ，∴ ．
∴ ．∵ ，
∴ ．∴ ．∴ ，即 ．
∴ ．∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，图形的折叠问题，圆的基本性质，
熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，图形的折叠的性质，圆的基本性质是解题的关键．
18．（22·23下·深圳·期中）课本再现
如图1，在等边 中，E为边 上一点，D为 上一点，且 ，连接 与 相交于点F．
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（1） 与 的数量关系是 ， 与 构成的锐角夹角 的度数是 ；
深入探究（2）将图1中的 延长至点G，使 ，连接 ， ，如图2所示．求证： 平分
．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰 中， ，D，
E分别是边 ， 上的点， 与 相交于点F．若 ，且 ，求 值．
【答案】（1） ， ；（2）见解析；（3）3
【分析】（1）证明 ，得 ， ，再由三角形的外角性质得
即可得出结论．
（2）先证明 是等边三角形，再证明 ，推出
，即可得证．
（3）延长 至点G，使 ，连接 、 ，过点D作 于点M， 于点N，分
别证明 ，得 ， ，再证 ，得 ，
，然后证明 平分 ，得 ，进而证 ，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ， ，
在 和 中， ， ∴ ．∴ ， ，
∴ ，故答案为： ， ；
（2）证明：由（1）可知， ，∴ ，
∵FG＝BF，∴ 是等边三角形，∴ ， ，
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∵ 是等边三角形，∴ ， ， ∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ， ∴ 平分 ．
（3）解：如图3，延长 至点G，使 ，连接 、 ，过点D作 于点M，
于点N，
∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，
∴ ， ，∴ ，
即 ， ∴ ，∴ ， ，
∵ ， ∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ 平分 ．
∵ ， ，∴ ， ∵ ， ，
∴ ， 又∵ ， ∴ ．
方法二：如图4，过点D作 交 于点P，则 ， ，
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∵ ， ， ，
∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ，
∵ ， ∴ ， ∴ ，
∵ ， ∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角
形的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形的外角性质以及三角形面积，熟练掌握等边三角形的判
定与性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
19．（22-23下·太原·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．
已知：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是射线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂
线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F．
独立思考：(1)如图1，当点D与点B重合时，小颖发现BF＝AC，请你帮她说明理由；
(2)如图2，当点D为BC中点时，直接写出线段BF与AC的数量关系；
合作交流：(3)①如图3，当点D在线段CB上（不与C、B重合），请探究线段BF、BD与AC之间的数量
关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D在线段CB延长线上，请探究线段BF、
BD与AC之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）．
【答案】(1)理由见解析 (2) （或 ）
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(3)①三条线段关系为： ；理由见解析；②三条线段关系为： ；理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，证得 ，即可得到结论．
（2）根据同角的余角相等推出∠CAD=∠BCF，利用平行线的性质求出∠CBF=90°=∠ACD，进而证得
△ACD≌△CBF(ASA)，得到CD=BF，即可得到AC=2BF；
（3）①证明 ，得到 ，即可得到结论 ；
②同法证明 ，得到 ，即可得到结论 ．
【详解】（1）理由：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ．∴ ．
（2） （或 ）；
∵CE⊥AD，∴∠CED=∠ACD=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠DCE+∠ACE=90°，∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，∴∠ACB+∠CBF=180°，∴∠CBF=90°=∠ACD，
∵AC=BC，∴△ACD≌△CBF(ASA)，∴CD=BF，∵D为BC中点，∴BC=2CD，∴AC=2BF；
（3）（3）①三条线段关系为： ；
理由如下：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ 中， ，
又∵ 中， ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ，
②如图，三条线段关系为：
理由如下：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ，∴ 中， ，
又∵ 中， ，∴ ，∴ ，
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∵ ，∴ ∴ ．
∵ ，∴ ．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理
是解题的关键．
20．（22·23下·渝北·阶段练习） 是等边三角形，点 、 分别在 、 上，且 ，连接
、 交于点 ．
(1)如图1，求 的度数；(2)如图2，以 为边作等边 ，连接 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 、 交于点 ，点 在线段 上，且 ，连接 交
于点 ，若 ， ，直接写出 的值．（提示：可过点 作 交 于点
，过点 作 于点 ，作 于点 ．）
【答案】(1) (2)见解析；(3)
【分析】（1）已知 是等边三角形，得到 ， ，结合 ，进而证
明 ，即可求得 的度数；（2）在 上截取 ，使得 ，由（1）可知：
，得到 ，已知 是等边三角形，得到 ，得出 、 、 、
四点共圆，可证明 ，得到 ， ，进而得到 是等边三角形，即
可得到 ；（3）过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，作
于点 ，由（2）可知： ，可以得到 ，根据
，得到 ，可证明 ，推出 ，
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， ，设 ，则 ，即可求得 ．
【详解】（1）∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴
（2）在 上截取 ，使得 ，由（1）可知： ，∴ ，
又∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
∴ 、 、 、 四点共圆，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ．
（3）过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，作 于点 ，
由（2）可知： ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识
点是解题的关键．
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