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专题18 全等与相似模型之十字模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐
角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则
HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
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例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片 的顶点A折叠至 边上的点
E，使 ，若折痕为 ，则 的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边 ，
上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ．
例3．（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 中，点E、F、H分别是 的中
点， 交于G，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4．（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点
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E不与点AB重合），连接DE，过点A作 ，交BC于点F，证明： ．
（2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重
合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点， ， ，
求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上， ，BF，AE
相交于点G．若 ，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则 的面积为
______， 的周长为______．
模型2.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则 .
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则 .
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如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则 .
例1．（22·23下·广西·九年级期中）如图，把边长为 ， 且 的平行四边形 对
折，使点 和 重合，求折痕 的长．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、
边上的点，当 时，证明： ．
例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形 中， ， ， 是 边上的一个动点，将
矩形 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 ．（1）如图1，当点 与点 重合时，
则线段 _______________， _____________；（2）如图2，当点 与点 ， 均不重合时，取
的中点 ，连接并延长 与 的延长线交于点 ，连接 ， ， ．①求证：四边形 是平
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行四边形：②当 时，求四边形 的面积．
例4．（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，
CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点
M，N分别在边BC，CD上，若 ，求 的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝
AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求 的值．
模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
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2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，
AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中
正确的结论是________（填序号）
例2．（22·23下·淄博·一模）如图，等边 ，点E，F分别在AC，BC边上， ，连接AF，
BE，相交于点P．(1)求 的度数；(2)求证： ．
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例3．（22·23下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边 中， 、 分别为边 、 上的点，
与 相交于点 ，若 ，则 ＝ °；则 的周长为 ．
例4．（22·23下·六安·一模）如图1，等边 中，点D、E分别在 上，且 ，连接
交于点 (1)求证： ；(2)如图2，连接 ，若 ，判断 与 的位置关系
并说明理由；(3)如图3，在 的条件下，点G在 上， 的延长线交 于H，当 时，请
直接写出线段FH的长．
例5．（22·23上·深圳·期中）如图，在 中， ， ，点D为 边上的中点，
连接 ，过点B作 于点E，延长 交 于点F．则 的长为 ．
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例6．（22·23下·沧州·二模）如图，在 中， ， ，点D是线段 上的一点，
连接 ，过点B作 ，分别交 、 于点E、F，与过点A且垂直于 的直线相交于点G，连
接 ，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若 ，则
例7．（22·23·广东·期中）如图，在 中， ， ， ，点 为 上一点，连
接 ， 为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长．
例8．（22-23下·深圳·一模）如图①，在Rt 中， ， ，点D为 边上的一点，
连接 ，过点C作 于点F，交 于点E，连接 ．
(1)若 ，求证： ；(2)如图②，若 ， ，求 的值．
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例9．（22·23上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做
了如下探究：
【观察与猜想】(1)如图①，在正方形 中，点 、 分别是 、 上的两点，连接 ， ，
，则 的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形 中， ， ，点
是边 上一点，连接 ， ，且 ，求 的值．【拓展延伸】(3)如图③，在 中，
，点 在 边上，连结 ，过点 作 于点 ， 的延长线交 边于点 ．若
， ， ，则 ___________．
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课后专项训练
1．（22·23下·杭州·一模）如图，在等边 的AC，BC边上各取一点M，N使 ，AN，BM相
交于点O．若 ， ，则BO的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，
折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（ ）
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A．10 B．13 C．15 D．无法求出
3．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP
于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF，下列结论正确的是
（ ）
A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF
4．（黑龙江省牡丹江市2021年中考数学真题试卷）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，
BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（
）
A．2 B．2 C．6 D．5
5．（22·23下·东营·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结
CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给
出以下四个结论：① ；②若点D是AB的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆
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上时，DF=DB；④若 ，则 其中正确的结论序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
6．（22·23下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连
接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是
BC的中点，连接DE．则 = ；
7．（22·23下·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点
B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ．
8．（山东2022-2023学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、
BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；
④∠AGE=∠BCE．其中正确的有 ．
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9．（江西2023-2024学年九年级月考数学试题）在矩形纸片 中， ， ，将纸片折叠．
(1)如图1，若沿 对折，使点C恰好落在 上得到点E，求 的长．
(2)如图2，若沿对角线 折叠，使点C落在点F处， 与 交于点E，求 的长．
(3)如图3，若沿 折叠，使点C与点A重合，求折痕 的长．
10．（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形 的边长为6，动点 分别在边 上运动，
连接 ．(1)如图1，过 作 交边 于点 ，交 于点 ．i）若 为 的中点， 为 的
中点，求 的长；ⅱ）探索线段 之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，将四边
形 沿 翻折得到四边形 与 相交于点 ，调整点 和点 的位置使得线段 始终
经过顶点 ．i）若点 到 的距离 ，求 的长；ⅱ）点 到 的距离是否存在最大值？若
存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由．
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11．（四川省成都市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形
中，E为边 上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于 的一条直线 ，垂足为G，交
于点F．小明发现可以通过证明： 得 （不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形 中，P为边 上一点（不与点B、C重合），M为线段 上
一点（不与C、D重合），过点M作 ，垂足为G，交 于点N，请直接写出 与 及线段
、 、 之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为 的中点，连接 ，交 于点H，连接 并延长
交边 于点I，再连接 ，请探究线段 、 的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形 的边长为8，点M、N分别为边 、 上的点，过A作
，已知 ，将正方形 沿着 翻折， 的对应边 恰好经过点A，连接 交
于点Q.过点Q作 ，垂足为R，求线段 的长．（直接写出结论即可）
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12．（成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形
，点 ， 分别在边 ， 上， 于点 ，点 ， 分别在边 、 上， ．
①判断 与 的数量关系： ； ②推断： 的值为： ；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上
的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关
系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形 中， ， ，
， ，点 ， 分别在边 、 上，求 的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长．
13．（22·23下·江苏·九年级期中）平行四边形 中， ， 分别是边 、 上的点，
，G为垂足．（1）如图1，当 ， 时，求证：
（2）如图2，当 ， ， ，求 的最小值
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（3）如图3，当 ， ，E为 的中点，直接写出 的值．
14．（2022年湖北中考模拟）知矩形ABCD中， ，点E是BC边上一点， 于点O，分别交
AB、CD于点F、G．(1)特例发现：如图1，若 ，则 ______；
(2)类比探究：如图2，若 ，请探究 的值，并写出探究过程；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD沿CF折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，
得到四边形PEFG，PE与CD交于点H，连接PC．已知 ， ，求PC的长
15．（成都市锦江区2022-2023学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形ABCD中，
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点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若 ，则 的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中， ， ，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若 ，则
的值为______；
（3）如图3，在四边形ABCD中， ，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交
ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证： ；
（4）如图4，在 中， ， ，将 沿BD翻折，点A落在点C处，得到
，点F为线段AD上一动点，连接CF，作 交AB于点E， 垂足为点G，连接AG．设
，求AG的最小值．
16．（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】
如图1，已知正方形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．当 时，
求证： ；
【类比迁移】如图2，在菱形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．若
，求证： ．
【拓展延伸】如图3，在四边形 中， ， 分别是 ， 边上的点， 与 交于点 ．
， ， ， ，若 ，请求出 的值．
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17．（22·23下·安徽·模拟预测）如图1，在等边 中，点D，E分别在边 上，且 ，连
接 相交于点F．
(1)求 的度数；(2)如图2，连接 ，当 时，求 的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将
沿 翻折，使点C落在点G处，连接 并延长交 于点H，交 于点I．当 时，求
的长．
18．（22·23下·深圳·期中）课本再现
如图1，在等边 中，E为边 上一点，D为 上一点，且 ，连接 与 相交于点F．
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（1） 与 的数量关系是 ， 与 构成的锐角夹角 的度数是 ；
深入探究（2）将图1中的 延长至点G，使 ，连接 ， ，如图2所示．求证： 平分
．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰 中， ，D，
E分别是边 ， 上的点， 与 相交于点F．若 ，且 ，求 值．
19．（22-23下·太原·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．
已知：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是射线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂
线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F．
独立思考：(1)如图1，当点D与点B重合时，小颖发现BF＝AC，请你帮她说明理由；
(2)如图2，当点D为BC中点时，直接写出线段BF与AC的数量关系；
合作交流：(3)①如图3，当点D在线段CB上（不与C、B重合），请探究线段BF、BD与AC之间的数量
关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D在线段CB延长线上，请探究线段BF、
BD与AC之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）．
20．（22·23下·渝北·阶段练习） 是等边三角形，点 、 分别在 、 上，且 ，连接
、 交于点 ．
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(1)如图1，求 的度数；(2)如图2，以 为边作等边 ，连接 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 、 交于点 ，点 在线段 上，且 ，连接 交
于点 ，若 ， ，直接写出 的值．（提示：可过点 作 交 于点
，过点 作 于点 ，作 于点 ．）
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