文档内容
全等变化模型五 十字模型
【模型展示】
【正方形十字全等】如图1，
正方形ABCD中，MN⊥EF，求证：MN=EF
证明：
【等边十字全等】如图2，
等边ABC中，∠AFE=60°，求证：AD=BE
证明：
【模型解析】从变化方式的角度分析，十字模型是由三垂直和三等角模型通
过平移得到的.
【知识链接】同角的余角相等，三角形的外角定理
【模型总结】
①如图1，正方形中两条垂直的线段相等，两条相等的线段垂直；
②如图2，等边三角形中两条相等的线段夹角等于60°；
【模型巩固】
【例5-1】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：
AE＝DH；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于
点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠HAO＝∠ADO．
在△ABE和△DAH中
，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE＝DH；
（2）解：EF＝GH．
理由：如图所示：
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH．
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH．
【例5-2】如图．已知△ABC中．∠BAC＝90°．∠BCA＝45°，D为线段AC上任一点，连接BD，过
C点作CE∥AB且AD＝CE．试说明BD和AE之间的关系，并证明．
【解答】解：BD＝AE，AE⊥BD；
理由如下：∵AB∥CE，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝90°，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（SAS），∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE．
∴∠ABD+∠EAB＝∠CAE+∠EAB＝90°
∴AE⊥BD
∴BD＝AE，AE⊥BD；
【例5-3】如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点
P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论
是_____________（填序号）
【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴AD＝BE．故②错误；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．
∴∠BAD＝∠EBC，
∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，
∴∠APB＝120°，
故④正确．
【模型巩固】
【拓展5-1】如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP
相交于点O．
（1）写出图中所有的全等三角形，并选择其中一对加以证明；
（2）求∠BOQ的度数；（3）连接OC，若OC⊥BP，求 的值．
【解答】解：（1）△ABP≌△ACQ，△ABQ≌△BCP
证明△ABP≌△ACQ
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC
∵在△ABP和△ACQ中
∴△ABP≌△ACQ （SAS）
（2）∵△ABP≌△ACQ
∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°
∴∠BAQ+∠ABP＝60°
∵∠BOQ＝∠BAQ+ABP
∴∠BOQ＝60°．
（3）
如图所示，过点B作BD⊥AQ交AQ于点D
由（1）知△ABQ≌△BCP（SAS）
∴∠BAD＝∠OBC
∴在△ABD和△BCO中
∴△ABD≌△BCO （AAS）
∴AD＝BO
在Rt△BOD中，∠BOD＝60°，∠OBD＝30°
∴BO＝2OD
∴AD＝2OD∴点O为AD的中点
∴ ＝
∴ ＝ ．
【拓展5-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交
BC于点F，连接DF．求证：∠ADB＝∠CDF．
【解答】证明：如图，作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC＝90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠ABG＝∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠BAG＝45°，
∴
∴△BAG≌△CAF，（ASA）
∴AG＝CF，
又∵AD＝CD，∠GAD＝∠C＝45°，
∴△AGD≌△DFC，（SAS）
∴∠ADB＝∠CDF．
