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全等变化模型八 手拉手模型
【模型展示】
∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE
【模型条件】
BD=CE
【模型结论】
证明：
等边△ABC和等边∠CDE，且A、C、D三点共线,如下图所示：
【模型应用】
（1）、AD=BE
（2）、∠ACB=∠AOB
（3）、△PCQ为等边三角形
（4）、PQ∥AE
（5）、AP=BQ
（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC
（8）、OE=OC+OD
请对以上结论（5）、结论（6）结论（7）进行证明。
证明：
【模型巩固】
【例8-1】如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，
∠ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE．
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝ （180°﹣30°）＝75°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，∵△ADB≌△CEB，
∴∠BAD＝∠BCE＝15°，
∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．
【例8-2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，
求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）试判断△ADE的形状，并证明．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：△ADE是等边三角形，证明如下：
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
【例8-3】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝ ，AD、BE交于点H，连CH．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
α
（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．（用含 的式子表示）
α
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝ ，
∴∠ACD＝∠BCE，
α
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CH平分∠AHE；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠AHB＝∠ACB＝ ，
∴∠AHE＝180°﹣ ，
α
α
∴∠CHE＝ ∠AHE＝90°﹣ ．
α
【例8-4】如图1，点 为直线 上一动点， ， 都是等边三角形，连接
（1）求证： ；
（2）分别写出点 在如图2和图3所示位置时，线段 、 、 三者之间的数量关系（不需
证明）；
（3）如图4，当 时，证明： ．【解答】（1）证明： 和 是等边三角形，
， ， ，
，
．
在 中
，
，
．
（2）解：图2中 ；
图3中 ．
（3）证明： 和 是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
．
【例8-5】如图，点 是等边 内一点， ， ．以 为一边作等边三角
形 ，连接 、 ．（1）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（2）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？【解答】
解：（1） 是等边三角形，
，
而 是等边三角形，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
而 ， ，
，
是直角三角形；
（2） 设 ， ， ， ，
则 ， ， ，
，
，
，
即 ，
①要使 ，需 ，
，
；
②要使 ，需 ，
；
③要使 ，需 ，
，
．
所以当 为 、 、 时，三角形 是等腰三角形．
【模型拓展】【拓展8-1】已知，在 和 中， ， ， ，且 ， ，
三点在同一条直线上．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 、 并延长交于点 ．当 时，判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，过 点作 ，垂足为 ，若 ， ，当 时，求 的长．
【解答】（1）证明： ， ， ，
，
；
（2）解： 是等边三角形．
理由如下：
，
，
， ，
，
是等边三角形；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
，
由（1）可知 ，
，
，
由（2）可知，当 时， ，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【拓展8-2】如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在
第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣
2|＝0．
（1）求点D的坐标；
（2）求∠AKO的度数；
（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点
N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．
【解答】解：（1）∵（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0，
又∵（m﹣2n）2≥0，|n﹣2|≥0，
∴n＝2，m＝4，
∴点D坐标为（4，2）．
（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．
∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴EO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），
∴OK平分∠BKC，
∴∠OBD＝∠OAC，易证∠AKB＝∠BOA＝90°，
∴∠OKE＝45°，∴∠AKO＝135°．
（3）结论：BM＝MN+ON．理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．
∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，
∴△AOQ≌△BOP，
∴∠OBP＝∠OAQ，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠ABP＝∠BAQ，
∵NM⊥AQ，BM⊥ON，
∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，
∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，
∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，
∴△BNH≌△BNO，
∴HN＝NO，∠H＝∠BON，
∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，
∴∠HBM＝∠BON＝∠H，
∴MH＝MB，
∴BM＝MN+NH＝MN+ON.
【拓展8-3】以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交
于M，∠EAB＝∠CAD＝ ．
α
（1）如图1，若 ＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含 式子表示）；
α
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与 的数量关系是 ．
α
【解答】解：（1）∵∠EAB＝∠CAD＝ ，
α
α∴∠EAC＝∠BAD，
在△AEC和△ABD中， ，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC＝∠ABD，
∵∠AEC+∠EAB＝∠ABD+∠EMB，
∴∠EMB＝∠EAB＝40°；
（2）连接AG，AH，
由（1）可得：EC＝BD，∠ACE＝∠ADB，
∵G、H分别是EC、BD的中点，
∴DH＝CG，
在△ACG和△ADH中， ，
∴△ACG≌△ADH（SAS），
∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH，
∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG﹣∠CAH＝∠DAH﹣∠CAH，
∴∠GAH＝∠DAC，
∵∠DAC＝ ，∴∠GAH＝ ，
∵∠GAH+∠AHG+∠AGH＝180°，
α α
∴∠AHG＝90°﹣ ；
（3）如图3，连接AM，过点A作AP⊥EC于P，AN⊥BD于N，
α
∵△ACE≌△ADB，
∴S△ACE ＝S△ADB ，EC＝BD，
∵ EC×AP＝ ×BD×AN，
∴AP＝AN，
又∵AP⊥EC，AN⊥BD，
∴∠AME＝∠AMD＝ ，
∴∠AMC＝∠AMD+∠DMC＝90°+ ，
α
故答案为：90°+ ．
α【拓展8-4】如图，在 和 中， ， ， ．过点 作
交 于点 ．
（1）如图1，当点 、 、 在同一条线上时，
①求证： ；②求 的度数；
（2）如图2，连接 并延长至点 ，使 ，连接 、 ，试判断 形状，并说明理
由．
【解答】（1）①证明： ， ，
，
，
，
， ，
， ，
；
②如图1中，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，，
，
；
（2）结论： 是等腰直角三角形．
理由：如图2中，延长 交 的延长线于点 ，交 于点 ．
在 和 中， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【拓展8-5】如图1，已知等腰 ， ， ， 于点 ，点 是线段
上一点，点 是 延长线上一点，且 ．
（1）当点 与点 重合时，即 ，如图2，求 的度数；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
【解答】（1）解：如图1， ， ，
，
于点 ， ，， ，
，
， 是等边三角形，
；
（2）证明： ， ，
，
， ，
垂直平分 ，
连接 ，则 ，
，
， ，
， ，
，
；
（3）证明：由（2）知： ，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
在边 上取一点 ，使得 ，
为等边三角形，
， ， ，
，
，
．
