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全等变化模型八 手拉手模型
【模型展示】
∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE
【模型条件】
BD=CE
【模型结论】
证明：
等边△ABC和等边∠CDE，且A、C、D三点共线,如下图所示：
【模型应用】
①、AD BE
=
②、∠ACB=∠AOB
③、△PCQ为等边三角形
④、PQ AE
∥
⑤、AP BQ
=
⑥、CO平分∠AOE
⑦、OA OB OC
= +
⑧、OE OC OD
= +请对以上结论（5）、结论（6）结论（7）进行证明。
证明：
【模型巩固】
【例8-1】如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，
∠ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
【例8-2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，
求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）试判断△ADE的形状，并证明．【例8-3】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝ ，AD、BE交于点H，连CH．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
α
（2）求证：CH平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数．（用含 的式子表示）
α
【例8-4】如图1，点 为直线 上一动点， ， 都是等边三角形，连接
（1）求证： ；（2）分别写出点 在如图2和图3所示位置时，线段 、 、 三者之间的数量关系（不需
证明）；
（3）如图4，当 时，证明： ．
【例8-5】如图，点 是等边 内一点， ， ．以 为一边作等边三角
形 ，连接 、 ．（1）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（2）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？【模型拓展】
【拓展8-1】已知，在 和 中， ， ， ，且 ， ，
三点在同一条直线上．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 、 并延长交于点 ．当 时，判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，过 点作 ，垂足为 ，若 ， ，当 时，求 的长．【拓展8-2】如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在
第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣
2|＝0．
（1）求点D的坐标；
（2）求∠AKO的度数；
（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点
N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．【拓展8-3】以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于
M，∠EAB＝∠CAD＝ ．
α
（1）如图1，若 ＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含 式子表示）；
α
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与 的数量关系是 ．
α
α【拓展8-4】如图，在 和 中， ， ， ．过点 作
交 于点 ．
（1）如图1，当点 、 、 在同一条线上时，
①求证： ；②求 的度数；
（2）如图2，连接 并延长至点 ，使 ，连接 、 ，判断 形状，并说明理由．
【拓展8-5】如图1，已知等腰 ， ， ， 于点 ，点 是线段
上一点，点 是 延长线上一点，且 ．（1）当点 与点 重合时，即 ，如图2，求 的度数；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
