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中考矩形开放题荟萃
矩形是一种特殊的平行四边形,也是中考的必考内容.为考查同学们分析能力、
想象能力、探究能力和创新能力,矩形开放题便成了各地中考命题的热点，现就中
考题中有关矩形开放题精选几例解析如下,供同学们鉴赏：
一、条件开放型
例1 如图，在平行四边形 中， 为 的中点，连接 并延长交 的延
长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 与 满足什么数量关系时，四边形 是矩形，并说明理由．
分析 要证AB=CF,可通过平行四边形的性质和三角形全等的判定,证
△ABE≌△CFE得到;
由△ABE≌△CFE,可得EA=EF,EB=EC,从而四边形ABFC是平行四边形,再根
据矩形的判定,要平行四边形ABFC是矩形则只要对角线相等或有一角为直角,根
据题设,显然是BC=AF.
证明 (1)由平行四边形ABCD,得到AB∥CD,则∠ABE=∠FCE,
又EB=EC, ∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△CFE(ASA).∴AB=CF.
(2) 当 = 时，四边形 是矩形.
由△ABE≌△CFE,得到EA=EF,EB=EC,所以四边形ABFC是平行四边形.
又BC=AF, 四边形ABFC是矩形.
例2如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线
MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
1 / 4分析 通过角平分线和平行线的性质,可以推得EO=CO,及FO=CO,从而
EO=FO；
要四边形AECF是矩形,则必是平行四边形,现已有EO=FO,故还需OA=OC,
即点O为AC的中点.
证明（1）∵CE平分 ，∴ ，又∵MN∥BC， ∴ ，
则 ，∴ ． 同理 , ∴ ．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
∵ ，点O是AC的中点．即OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形.
又∵ , , ∴ ，即 , ∴四边形AECF
是矩形．
评注 条件开放型,是指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,解决这
类问题的基本思路是:执果索因逆向思维,从已有条件和结论入手,逐步分析探索
结论成立的条件,从而使问题得以解决.
二、结论开放型
例3如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作
CF⊥DE，垂足为F. （1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.
2 / 4分析 由图可以直观看出,AD=CF;根据矩形的性质和三角形全等的判定,
可以得到AD,CF所在的两个三角形△ADE≌△FCD,从而 AD=CF.
解 （1） ．
（2） 四边形 是矩形，
又 ∴△ADE≌△FCD,
例4如图，在 中， 是 边上的一点， 是 的中点，过点 作
的平行线交 的延长线于 ，且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的中点；
（2）如果 ，试猜测四边形 的形状，并证明你的结论．
分析 要证D是BC的中点,即DB=DC,现已有AF=DC,故只需AF=DB,所以
只要证△AEF≌△DEB;
已知AF∥DC,又AF=DC,所以四边形ADCF为平行四边形.
如果AB=AC,D是BC的中点,则有AD⊥BC,从而得到四边形ADCF为矩形.
证明 （1） ， ．
是 的中点， ．
又 ， (AAS)． ．
， ．即 是 的中点．
（2）四边形 是矩形，
， ， 四边形 是平行四边形．
， 是 的中点， ．
即 ． 四边形 是矩形．
评注 结论开放型,是指问题的结论不确定或答案不唯一的开放型问题,解决
这类问题的基本思路是:根据条件,联想定理,寻求结论.
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