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第二十二章 二次函数 单元测试
总分：120分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是根据二次函数的定义条件：二次函数 的定
义条件是：a、b、c为常数， ，自变量最高次数为2．
【详解】解：A、 是一次函数，故不合题意；
B、 中未知数的最高次数为3，不是二次函数，故不合题意；
C、 是二次函数，故符合题意；
D、 是反比例函数，故不合题意；
故选：C．
2．函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为 ，其中顶点坐标为
，根据二次函数的顶点式形式，直接确定顶点坐标．
【详解】解：∵ ，
∴其图象的顶点坐标为 ，
故选：D
3．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数 ，①二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小，当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下；②其对
称轴为直线 ；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于 ．根据解析式直接
判断即可选择．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴ ，
∴抛物线开口向上，与y轴交点为 （位于x轴上方），对称轴为直线 （即为y轴），
∴只有A选项符合题意．
故选A．
4．将二次函数 图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加
下减”进行解析式的变换即可得到答案．
【详解】解：将二次函数 图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析
式是 ，
故选；D．
5．点 在抛物线 上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据题意可得：
抛物线的对称轴为直线 ，由 ， ，即可求解．
【详解】解： 抛物线为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
， ，点 在抛物线 上，抛物线开口向下，
，故选：B．
6．关于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过原点 B．开口向上
C．对称轴是直线 D．最高点是
【答案】D
【分析】本题主要考查了 的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、
对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可．
【详解】解：当 时， ，则图象经过 ，故A选项错误，不符合题意；
因为 ，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意；
C、对称轴是直线 ，故C选项错误，不符合题意；
D、顶点坐标为 ，即最高点是 ，故D选项正确，符合题意；
故选：D
7．已知二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与 轴的交点问题，先得出 ，再结合二次
函数 的图象与 轴有交点，得出 ，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴有交点，
∴ ， ，
解得 且 ，
故选：D．
8．二次函数 的图象如图所示，其对称轴为 ，则下列结论中错误的是
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，然后根据
对称轴判定 与0的关系以及 ，当 时， ，由此可得 ，然后由图
象与x轴有两个交点确定 ，由此即可求得答案．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
对称轴在 轴右侧，
，
，
抛物线与 轴交于正半轴，
，
，故A选项不符合题意；
∵当 时， ，
∴ ，故B选项不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故C选项不符合题意；
对称轴为直线 ，
，
，
将 代入 ，
得： ，故D选项符合题意，
故选D．
【点睛】此题考查图象与二次函数系数之间的关系．二次函数 系数符号由抛物线开口方
向、对称轴、抛物线与 轴的交点抛物线与 轴交点的个数确定，也考查了二次函数图象上的点的坐
标特征以及二次函数与一元二次方程的关系等相关知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题
的关键．
9．下面是某数学小组利用软件绘制的函数 的部分图象，根据学习函数的经验判断正确的
是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查从函数图象获取信息，由图象可得，当 时， 即可判断．
【详解】解：
由图象可得，当 时， ，
又当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
10．如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，
弹簧的初始长度为 ）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在
整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系
（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．若小球刚接触弹簧时的速度 ，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键
是熟练掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 小球从刚开始接触弹簧速度并未减速，该选项错误，故不符合题意；
B. 当弹簧被压缩了 时，小球的速度最大，该选项错误，故不符合题意；
C.抛物线的对称轴为直线 ，
所以 的对称点为 ，
假设抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时，函数值最大，最大值为 ，
所以，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 ，
该选项正确，符合题意；
D.当弹簧的长度为9cm时，被压缩了 ，此时，小球速度为0，与刚接触弹簧时的速度不相
同，该选项错误，故不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知二次函数 ，当 时，函数值 ．
【答案】0
【分析】本题考查了二次函数的性质，把 直接代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，把 代入 ，
得 ，
故答案为：0
12．某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点 ，请写出一个符合上述条件的函数表
达式： ．
【答案】 （答案不唯一）【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，根据题意设抛物线解析式为
，再代入 即可得到答案.
【详解】解：根据题意设抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴这个二次函数的解析式可以是： ，
故答案为： （答案不唯一）．
13．二次函数 的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式 的图象与性质是解题的关
键．
由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， 有最小值3，
故答案为：3．
14．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行
燃放，当发射角度与水平面成 度角时，烟花在空中的高度 （米）与水平距离 （米）接近于抛物
线 ，烟花可以达到的最大高度是 米．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图象与性
质即可求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由抛物线 得 ，
∵ ，
∴当 时，烟花可以达到的最大高度是 米，
故答案为： ．
15．如图，二次函数 的部分图象与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，则当函数
值 时，自变量 的取值范围是 ；【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数 有两个根，抛物线的两个
根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与
轴的另一个交点，进而得出答案．
【详解】解： 二次函数 的抛物线与 轴交于 ，对称轴是直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点为： ，
故当函数值 时，自变量 的取值范围是： ．
故答案为： ．
16．如图， 是抛物线 上两点，点 为 的中点，过 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，
．设 两点的横坐标分别为 ．则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点 的坐标是解题的关键．
将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，即可求解．
【详解】解：由题意得，点 的坐标分别为： ，则点 ，点
，将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得： ，
，
则 的值为 ，
故答案为： ．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线
与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得
出答案．先求得点A、C的坐标，再得到直线过定点 ，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线
相切时的k值，结合图象，即可得出答案．
【详解】解：令 ，由 解得 ， ，
令 ，则 ，
∴ ， ，
∵当 时， ，
∴直线 经过定点 ，
如图，当直线经过点C时，由 得 ，此时直线 与图象G有两个交点，
当直线 与抛物线 相切时，
由 得 ，
由 解得 ， ，
当直线经过点A时，由 得 ，此时直线 与图象G有一个交点，
由图可知，当 ，直线 与图象G有两个交点，
故答案为： ．
18．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ， ， 是线段 上
的动点（ 在 上方）．若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，勾股定理，二次函数的性质，将线段和进行转化是
解题的关键；根据抛物线的解析式得出 坐标，进而可得 是等腰直角三角形，作点 关于
的对称点 ，以 为邻边构造平行四边形 ，得出 的坐标，根据
，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵对于抛物线 ，令 ，则 ，即 ，
解得 或 ，所以 ．则 ，
令 ，则 ，所以 ．则 ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
如图，作点 关于 的对称点 ，以 为邻边构造平行四边形
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴ 到 为向左平移1个单位，向上平移1个单位，
∴ 到 为向左平移1个单位，向上平移1个单位，则
∴
∴当 在 上时，取得最小值
∴
即 的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．将二次函数 的图象向下平移 个单位长度可以得到一个新的抛物线．
(1)请你写出这个新抛物线的函数表达式；
(2)判断点 是否在这个新抛物线上．
【答案】(1)新抛物线解析式为 ；
(2)点 在这个新抛物线上．
【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二
次函数的平移规律．
（1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解；（2）将 点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上．
【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得：
的图象向下平移 个单位长度后得到的新抛物线解析式为 ；
（2）解：将 代入新抛物线解析式 可得 ，
即点 在抛物线上．
20．已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求 的值；
(2)求二次函数图象与 轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)二次函数图象与 轴的交点坐标为
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键．
（1）把点代入计算即可求解；
（2）二次函数 ，令 ，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点 ，
∴将 代入 ，
∴ ；
（2）解：二次函数 ，令 ，则有 ，
解得 ，
故二次函数图象与x轴的交点坐标为 ．
21．已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的
变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．（1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式；
（2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式．
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数 经过点 ，
所以该抛物线的对称轴为 ，
所以该抛物线的顶点坐标为 ，
设该二次函数表达式为
将 代入得： ；
即
将 代入 得：
（2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得
，
即 ．
22．如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点 的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得 最小，并求出C点的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行
求解，是解题的关键：
（1）分别令 ，进行求解即可；
（2）作点 关于对称轴的对称点 ，连接 ， 与对称轴的交点即为点 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，当 时， ；∴ ；
（2）解：∵ ，
∴对称轴为直线 ，
作点 关于对称轴的对称点 ，连接 ，则： 与对称轴的交点即为点 ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，
把 代入，得： ，
解得： ；
∴ ，
∴当 时， ；
∴ ．
23．明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一
级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中学科技小组同学
运用信息技术模拟火箭运行过程．如图2，以发射点为原点，地面为 轴，过原点且垂直于 轴的直线
为 轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为 时，距离地面 ，当火箭距离
发射点水平距离为 时，距离地面 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当火箭距离发射点的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多少千米？
【答案】(1)
(2) 千米
【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）设抛物线解析式为 ，将 代入即可求解；
（2）将 代入 即可．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线经过 ，
设抛物线解析式为 ，
代入 可得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：由（1）知， ，
当 时， ，
∴此时火箭距离地面 千米．
24．八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以 元/朵的价格
从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销
售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表：
销售单价x/元 10 12 14 16
日销售量y/朵 36 32 28 24
小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式：
(2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润；
(3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______．
【答案】(1)y关于x的函数解析式为
(2)当 时， 最大，最大值为 元
(3)日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次函数图象
的性质是关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可；
（2）销售单价x元，则每朵的利润为 元，设销售利润为 ，由此列式，根据二次函数图象的性
质求解即可；
（3）根据（2）中的利润，当 时， ，结合二次函数图象即可求解．【详解】（1）解：y与x是一次函数关系，设 ，
∴ ，
解得， ，
∴y关于x的函数解析式为 ：
（2）解：销售单价x元，则每朵的利润为 元，
设销售利润为 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 元；
（3）解：∵ ，
∴当 时， ，
整理得， ，
解得， ，即 ，
∵ ，函数图象开口向下，
∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为 ．
25．如图1，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 ，直线 经
过点 ，且与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)连接 ，求 的面积；(3)如图2，直线 与抛物线对称轴交于点 ，在 轴上有 两点（ 在 的右侧），且 ，
若将线段 在 轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形 的周长最小，求出此时周长的最
小值．
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，
解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）求出点E坐标，再求出 ，进而可得出答案；
（3）由E，F为定点，可得当 的和最小时，四边形 的周长最小，将点 向右平移2个
单位长度得到点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 ，过点 作 交
轴于点 ，则 ，而 三点共线，故此时 的值最小，可得
， ， ， ，从而求出 ，
，即知四边形 周长的最小值为2．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）∵直线经过点 ，
∴直线 的表达式为 ．
由 ，
解得 或 ，
∴ ．
∵直线 交 轴于点 ，在 中，令 ，则 ，
∴ ．
∴ ．（3）∵ 为定点，
∴线段 的长为定值，
∴当 的和最小时，四边形 的周长最小．
如解图，将点 向右平移2个单位长度得到点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于
点 ，过点 作 交 轴于点 ，则 ，
∵ 三点共线，
∴ ，
此时 的值最小．
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ．
∵ ， ，
∴直线 的表达式为 ．
∵点 为直线 与 的交点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ．
∴四边形 周长的最小值为 ．
26．如图，抛物线 与x轴交于点 两点，抛物线的顶点为点C．点P是抛
物线上的任意一点，横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，直接写出y的取值范围；
(3)当 时，抛物线上最高点的纵坐标为 ，求n的值；
(4)点Q在抛物线上，横坐标为 ，平面内有一点 ，作P，Q关于点R的对称点M，N，顺次
连接P，Q，M，N，得到 ．当 轴，直接写出此时点C到直线QN的距离d．
【答案】(1)
(2)
(3)2
(4) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合应用，中心对称的性质，平行四边形的性质等
知识点，
（1）将 ， 两点代入 中即可得解；
（2）先确定抛物线的顶点坐标为 ，再求得当 和 时，函数 的值，然后根据函数图
象即可得解；
（3）先确定 ，然后在抛物线对称轴两侧分类讨论即可得解；
（4）先用含m的代数式表示出Q，N点的坐标，再由 轴得出Q，N点的纵坐标相等，列方程求解即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 ， 两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ；
（3）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，即最高点的纵坐标为4，
∵当 时，抛物线上最高点的纵坐标为 ，
∴它必在对称轴的左侧或右侧，
∵ ，
∴ ，
当 时，由增减性质得，当 时，有最高点 ，
∴ ，
∴ 与 矛盾，
∴它不可能在对称轴的左侧，
当它在对称轴右侧时，由增减性质得，当 时，有最高点 ，
∴ ，
解方程得： ， （舍去），∴n的值为2；
（4）解：∵点Q在抛物线上，横坐标为 ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∵点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m，
∴点P的纵坐标为 ，
∵平面内有一点 ，P、Q关于点R的对称点M、N，
∴ , ,
即 , ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ， ，如图，此时与x轴重合，
∴此时点C到直线 的距离 ，
当 时， ， ，如图，此时点C到直线 的距离 ，
∴当 轴，此时点C到直线 的距离 或 ；
