第二十二章 二次函数·拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果函数y=(m−3)xm2−3m+2是二次函数，那么m的值一定是（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．1或2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根
据二次函数的定义可得m2−3m+2=2，且m−3≠0，再解一元二次方程即可得．
【详解】解：∵函数y=(m−3)xm2−3m+2是二次函数，
∴m2−3m+2=2，且m−3≠0，
解得m=0或m=3（舍去），
故选：A．
2．（3分）（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=x2−2ax+a−1，若对于a<x≤2范围内的
任意自变量x，都有y≤a−1，则a的取值范围是（ ）
A．1<a<2 B．1≤a≤2 C．1<a≤2 D．1≤a<2
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质
是关键．依据题意，由y=x2−2ax+a−1=(x−a) 2−a2+a−1，可得抛物线的对称轴是直线x=a，又抛
物线开口向上，故当x>a时，y随x的增大而增大，又对于a<x≤2范围内的任意自变量x，都有y≤a−1
，从而22−2a×2+a−1≤a−1，再结合a<x≤2，进而可以得解．
【详解】解：∵y=x2−2ax+a−1=(x−a) 2−a2+a−1，
∴抛物线的对称轴是直线x=a．
又抛物线开口向上，∴当x>a时，y随x的增大而增大．
又∵对于a<x≤2范围内的任意自变量x，都有y≤a−1，
∴22−2a×2+a−1≤a−1，
∴a≥1，
又a<2，
∴1≤a<2，
故选：D．
3．（3分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，函数y=ax2−2x+1和y=a(x−1)（a是常数，且
a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数及二次函数的图象与性质是
解题的关键．分别对各选项中二次函数的开口方向、对称轴及一次函数所经过的象限进行分析，即可判断
答案．
【详解】A、二次函数y=ax2−2x+1的图象开口向上，a>0，则一次函数y=a(x−1)的图象经过一、
三、四象限，故选项A错误；
对于B，C，D，由一次函数y=a(x−1)的图象可得a>0，则二次函数y=ax2−2x+1的图象应开口向上，
−2 1
对称轴是x=− = >0，应在y轴右侧，故B选项正确，C，D选项错误．
2a a
故选B．
4．（3分）（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为(1,−4)，且图象经过点
( 15)
(3,0)，将二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位，图象经过点 1,− ，在平移后的图象上，当
4
n−2≤x≤n+1时，函数的最小值为−3，则n的值是（ ）
1 9 1 9 1
A．− 或 B． 或 C．1 D．−
2 2 2 2 2
【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，
再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可．
【详解】解：原二次函数顶点为(1,−4)，设解析式为y=a(x−1) 2−4，
代入点(3,0)得a=1，即y=(x−1) 2−4，
向右平移m个单位后，解析式为y=(x−1−m) 2−4，
代入点 ( 1,− 15) 得方程− 15 =(1−1−m) 2−4，
4 4
1
解得m= (m>0)，
2
( 3) 2 3 (3 )
∴平移后函数为y= x− −4，对称轴为直线x= ，顶点坐标为 ,−4 ，
2 2 2
( 3) 2 1 5
解方程 x− −4=−3，得x= 或x= ，
2 2 2
∵当n−2≤x≤n+1时，函数的最小值为−3，
1 5 3
∴n−2≤x≤n+1必须包含x= 或x= ，且不跨越对称轴x= （否则最小值在顶点处为−4），
2 2 2
1 5
∴n+1= 或n−2= ，
2 2
1 9
解得n=− 或n= ，
2 2
故选：A．
5．（3分）（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们
的顶点B，E都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，D，C，F四点，若AD=2，CD=3
，CF=5，则BE的长度为（ ）
9 7
A．4 B． C．3 D．
2 2【答案】D
【分析】本题主要考查中点坐标公式，熟练掌握中点公式是解题的关键．设AG的长度为m，则x =m，
A
1 5 1
x =m+2，x =m+5，x =m+10，求出x = (x +x )=m+ ，x = (x +x )=m+6，即可得到答
D C F B 2 A C 2 E 2 D F
案．
【详解】解：设平行于x轴的直线与y轴交于点G．
设AG的长度为m，则x =m，x =m+2，x =m+5，x =m+10．
A D C F
1 5 1
由中点公式可得x = (x +x )=m+ ，x = (x +x )=m+6．
B 2 A C 2 E 2 D F
5 7
∴ BE=x −x =6− = ．
E B 2 2
故选：D．
6．（3分）（2024·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2mx+m2+m−4（m为常
数）的图象过点A(3,m)，且与x轴有两个交点，则该二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A．(1,3) B．(5,−1) C．(1,−3) D．(5,1)
【答案】C
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数
的性质，先把点A坐标代入解析式，求出m=1或m=5，再根据二次函数与x轴有两个交点可求出m<4，
则m=1，据此求出二次函数解析式，并化为顶点式求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2−2mx+m2+m−4（m为常数）的图象过点A(3,m)，
∴m=9−6m+m2+m−4，
解得m=1或m=5，
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴Δ=(−2m) 2−4(m2+m−4)>0，
∴4m2−4m2−4m+16>0，
∴m<4，∴m=1，
∴二次函数解析式为y=x2−2x+1+1−4=x2−2x−2=(x−1) 2−3，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,−3)，
故选：C．
7．（3分）（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）
和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x<1000）内，y与x近似成一次函
数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图
象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x=2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y=0.4时，x=600
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的
关键．
根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x=2000，进而判定B选
项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．
【详解】解：A．当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
1000+3000
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为x= =2000，即当x=2000时，y有最大值，则B选项
2
正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000，即C选项错误，不符合题意；
D．当y=0.4时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
8．（3分）（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线C :y=x2−4x(0≤x≤4)与x轴交于点O,A ，将抛
1 1
物线C 向右依次平移两次，分别得到抛物线C ,C ，与x轴交于点A ,A ,A ，直线y=m(−4<m<0)与
1 2 3 1 2 3这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出A
1
的坐标A (4,0)，得出抛物线C 向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答．
1 1
【详解】解：将y=0代入抛物线C :y=x2−4x(0≤x≤4)，
1
得x=0或x=4，即A (4,0)，
1
故抛物线C 向右每次平移距离为4，
1
设B ，B ，B ，B ，B ，B 的横坐标分别为x ，x ，x ，x ，x ，x ，
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
∵ B ，B 同时在抛物线C 和直线y=m(−4<m<0)上，
1 2 1
即B ，B 的横坐标为x2−4x−m=0的根，
1 2
b −4
∴x +x =− =− =4，
1 2 a 1
x +x =x +4+x +4=12，
3 4 1 2
x +x =x +4+x +4=x +4+4+x +4+4=20，
5 6 3 4 1 2
∴直线y=m(−4<m<0)与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和=36．
故选C．
9．（3分）（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发沿A→B
的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以2cm/s的速度运动．当点Q
到达点B时，点P，Q同时停止运动．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），下列能大致反映
y与x之间函数关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。
根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。
【详解】解：①当点Q在CD上时，如图
3
有DQ=2t,AP=t，0≤t≤ ，
2
1 3 3
∴y= ×3t= t（0≤t≤ ）．
2 2 2
此时y与x之间的函数为一次函数．②当点Q在CB上时，如图
3
有BC+CQ=2t,AP=t， <t<3，
2
∴DQ=6−2t，
1 3
∴y= t⋅(6−2t)=−t2+3t（ <t<3）．
2 2
此时y与x之间的函数为二次函数．
3 3
综上所述，符合当0≤t≤ 时，图像为一次函数； <t<3时，图像为二次函数，只有B选项．
2 2
故选B．
10．（3分）（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，其
部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2−4ac>0；
②2a−b=0；
③m(am+b)≤a−b（m为任意实数）；
( 7 ) ( 3 ) (5 )
④点 − ,y ， − ,y ， ,y 是该抛物线上的点，且y <y <y ．
2 1 2 2 4 3 1 2 3
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系．由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式
可知b2−4ac与0的关系，可判断①；根据对称轴推理a、b关系，可判断②；根据当x=−1时，抛物线有
最大值，即得出对于任意实数m均有a−b+c≥am2+bm+c，可判断③；根据抛物线的递增情况，判断函
数值的大小，可判断④．
【详解】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2−4ac>0，正确；
b
②抛物线的对称轴为直线x=−1，即− =−1，
2a
∴2a−b=0，正确；
③图象开口向下，对称轴为直线x=−1，
∴x=−1时，y=a−b+c有最大值，对于任意实数m均有a−b+c≥am2+bm+c，即a−b≥m(am+b)，
正确；
(5 ) ( 13 )
④∵ ,y 在抛物线上的对称点为 − ,y ，
4 3 4 3
7 13 3
∵− <− <− ，
2 4 2
∴y >y >y ，错误；
2 3 1
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级上·浙江·期中）二次函数y=ax2+bx+c的函数值y自变量x之间的部分对应值
如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当x=5时，y= ．
x …… −1 0 1 4 ……
y …… 4 −1 −4 −1 ……
【答案】 向上 4
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
依据题意，根据抛物线的对称性，x=0、x=4时的函数值相等，然后列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，∵x=0、x=4时的函数值都是−1相等，
0+4
∴此函数图象的对称轴为直线x= =2，即直线x=2．
2
又当x<2时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上．
∵抛物线的对称轴是直线x=2，
∴当x=−1时与当x=5时的函数值相等．∵当x=−1时，y=4，
∴当x=5时，y=4．
故答案为：向上，4．
12．（3分）（2025·山东临沂·二模）已知二次函数y=x2−4x(−1≤x≤m+1)，当x=−1时，函数取得最
大值；当x=2时，函数取得最小值，则m的取值范围是 ．
【答案】1≤m≤4
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
{
m+1≥2
)
先配方可得抛物线的性质，再根据题意得 −1+m+1 ，求出解集即可．
≤2
2
【详解】解：∵二次函数y=x2−4x=(x−2) 2−4，
∴抛物线开口向上，对称轴是x=2，当x=2时，有最小值，离对称轴越远函数值越大．
∵−1≤x≤m+1，当x=−1时，函数取最大值，当x=2时，函数取最小值，
{
m+1≥2
)
∴ −1+m+1 ，
≤2
2
解得1≤m≤4．
故答案为：1≤m≤4．
13．（3分）（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 y=ax2−4x+2的对称轴为直线x=2．
（1）a的值为 ．
（2）若抛物线 y=ax2−4x+2向下平移k(k>0)个单位长度后，在−1<x<4范围内与x轴只有一个交
点，则k的取值范围是 ．
【答案】 1 2≤k<7
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
−4
（1）由题意可知− =2，求出a的值即可；
2a
（2）由题意可知平移后函数解析式为y=x2−4x+2−k，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即
可求解．
−4
【详解】（1）由题意可知− =2，
2a
解得a=1，
故答案为：1；（2）由题意可知平移后函数解析式为y=x2−4x+2−k，
当顶点在x轴上时，(−4) 2−4×1×(2−k)=0，
解得k=−2，即需向上平移2个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于x=2对称，
∴抛物线在0<x<4内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与x轴交点只能在−1<x≤0，
故当x=0时，y=2−k≤0，解得k≥2，
当x=−1时，y=(−1) 2−4×(−1)+2−k=7−k>0，解得k<7，
∴k的取值范围是2≤k<7，
故答案为：2≤k<7．
14．（3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为
1
y=− x2+2，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的
2
距离为0.3m，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于0.3m，即图中AP≤0.3m，BQ≤0.3m，
则最多可安装支撑杆 条．
【答案】14
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答．
令y=0，求出x的值，然后结合实际情况得出结论．
1
【详解】解：令y=0，则− x2+2=0，
2
解得x=2或x=−2，
∴AB=4，
∵相邻支撑杆之间的距离为0.3m，AP≤0.3m，BQ≤0.3m，
∴在y轴右侧x=0.15，0.45，0.75，1.05，1.35，1.65,1.95，共7条，
同理在y轴左侧最多安装7条，∴最多可安装支撑杆14条，
故答案为：14．
15．（3分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，点E是正方形ABCD的边AB上的一个动点，AB=6
，连接CE，将线段CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接FD，ED,△EFD面积的最小值为
．
27
【答案】
2
【分析】本题考查的是二次函数的应用、正方形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解
题关键，过点F作FH⊥BA交BA延长线于点H，先证△CBE≌△EHF，设BE=HF=a，用含a的式子
表示S ，再根据二次函数性质求最值即可．
△EFD
【详解】解：过点F作FH⊥BA交BA延长线于点H，
∴∠H=90°
，
在正方形ABCD中，AB=AD=BC=CD=6,∠B=∠BAD=∠DAH=90°，
∴∠H+∠HAD=180°，
∴HF∥AD，
∴四边形HADF是直角梯形，
∵∠CEF=90°，
∴∠BEC=90°−∠HEF=∠EFH，
∵∠H=∠B=90°,CE=EF，
∴△CBE≌△EHF(AAS)，
∴BC=EH=6,BE=HF，设BE=HF=a，
∵EH=BC=AB=6，
∴BE=AH=a，
∴S =S +S −S −S
△EFD 梯形HADF 正方形ABCD △EFH 梯形EBCD
1 1 1
= (a+6)⋅a+62− ×6a− (a+6)×6
2 2 2
1
= a2−3a+18
2
1 27
= (a−3) 2+
2 2
1
∵ >0，
2
27
∴△EFD面积的最小值为 ，
2
27
故答案为： ．
2
16．（3分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且ab≠0)经过
(1,0),(x ,0)，一次函数y=|a)x+c经过(x ,0)，一次函数y=|b)x+c经过(x ,0)．已知
1 2 3
−5<x <−4,m<x <m+1，n<x <n+1，其中m,n为整数，则m+n的值为 ．
1 2 3
【答案】−7或5/5或−7
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交
点坐标列式计算即可．
【详解】解∶∵二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且ab≠0)经过(1,0),(x ,0)，
1
b 1+x 1 x
∴a+b+c=0，− = 1= + 1，
2a 2 2 2
∵−5<x <−4，
1
b 1 x 3
∴−2<− = + 1<− ，
2a 2 2 2
b
∴−4<− <−3，
a
b 1 a 1
∴3< <4， < < ，
a 4 b 3∵一次函数y=|a)x+c经过(x ,0)，一次函数y=|b)x+c经过(x ,0)．
2 3
c c
∴x =− ，x =− ，
2 |a) 3 |b)
当a>0,b>0时，
c c −a−b b c c −a−b a
x =− =− =− =1+ ，x =− =− =− = +1，
2 |a) a a a 3 |b) b b b
b 5 a 4
∴4<x =1+ <5， <x = +1< ，
2 a 4 3 b 3
∵m<x <m+1，n<x <n+1，m,n为整数，
2 3
∴m=4, n=1，
此时m+n=5；
b 1 a 1
当a<0,b<0时，3< <4， < < ，
a 4 b 3
c c −a−b b c c −a−b a
x =− = = =−1− ，x =− = = =− −1，
2 |a) a a a 3 |b) b b b
b 4 a 5
∴−5<x =−1− <−4，− <x =− −1<− ，
2 a 3 3 b 4
∵m<x <m+1，n<x <n+1，m,n为整数，
2 3
∴m=−5, n=−2，
此时m+n=−7；
故答案为：−7或5
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线
y=2ax2+(3a+1)x+c(a>0)，设该抛物线的对称轴为x=t．
(1)若a=1，求该抛物线的对称轴；
(2)已知A(x ,y )，B(x ,y )抛物线上，若对于x =2t+1，|x −x )>1，都有y >y ，求t的取值范围．
1 1 2 2 1 2 1 2 1
【答案】(1)直线x=−1
3 1
(2)− ≤t≤−
2 2【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）把a=1代入，再将函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）根据题意，得抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为x=t，由抛物线的性质得当x>t时，y 随x增大
而增大，当x<t时，y 随x增大而减小，再根据x =2t+1，|x −x )>1，则当点A在点B左侧时，则
1 2 1
x >x +1=2t+2，当点A在点B右侧时，则x <x −1=2t．然后分类讨论即可求解．
2 1 2 1
【详解】（1）解：当a=1时，y=2ax2+(3a+1)x+c=2x2+4x+c=2(x+1) 2+c−2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1．
（2）解：∵a>0
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线x=t，
∴当x>t时，y随x增大而增大，当x<t时，y随x增大而减小，
∵x =2t+1，|x −x )>1，
1 2 1
当点A在点B左侧时，即x <x ，
1 2
∴x >x +1=2t+2，
2 1
当点A在点B右侧时，即x >x ，
1 2
∴x <x −1=2t．
2 1
①当x =2t+1≥t，即t≥−1时，此时点A在对称轴右侧或顶点处，
1
当点A在点B左侧时，即x <x ，
1 2
由图象知，y >y 恒成立，
2 1
即t≥−1时符合题意；
当点A在点B右侧时，即x >x ，
1 2则x <x −1=2t，
2 1
∵A(2t+1,y )关于对称轴x=t的对称点(−1,y )，
1 1
此时要使y >y ，应有：t−x >t−(−1)，
2 1 2
化简得：x <−1，
2
又∵x <2t，
2
∴应有2t≤−1，
1
即t≤− ；
2
1
综上，−1≤t≤− ；
2
②当x =2t+1<t，即t<−1时，此时点A在对称轴左侧，
1
当点A在点B左侧时，即x <x ，
1 2
则x >x +1=2t+2，
2 1
∵A(2t+1,y )关于对称轴x=t的对称点(−1,y )，
1 1
此时要使y >y ，应有：x −t>−1−t，
2 1 2
化简得：x >−1，
2
又∵x >2t+2，
2
∴2t+2≥−1，
3
即t≥− ；
2
当点A在点B右侧时，即x >x ，
1 2
由图象知，y >y 恒成立，
2 1
∴t<−1；3
综上：− ≤t<−1；
2
3 1
由①②得，− ≤t≤− ．
2 2
18．（6分）（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+2ax−3a经过
A(−2,3)，与y轴交于点B，连接OA，AB．
(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线L′，设平移后点A，B的对应点分别为A′，B′，若平移后抛物线L'的顶点
3
落在x轴上，且S = S ，求平移后抛物线L′的表达式．
△A′OB 2 △ABB′
【答案】(1)a=−1，B(0,3)
(2)y=−(x+3) 2或y=−(x−5) 2
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解
题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，将点A(−2,3)代入抛物线y=ax2+2ax−3a中，则可得a的值，进而可得抛物线的表达
式为y=−x2−2x+3，然后令x=0，则y=3，进而可得B的坐标；
（2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为 ，可得抛物线 的顶点坐标为
y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4 L
(−1,4)，又平移后抛物线L的顶点落在x轴上，故抛物线L向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线L′的
表达式为 ，结合 ，可得点 的纵坐标均为 ，故点 的横坐标为
y=−(x+ ℎ) 2 A(−2,3)，B(0,3) A′，B′ −1 A′
−ℎ−1，点B′的横坐标为−ℎ +1，从而
1 3 1 3
S = OB⋅|x ′)= |−ℎ−1|，S = AB|y −y ′)=4，又S = S ，则
△A′OB 2 A 2 ΔABB′ 2 B B △A′OB 2 △ABB′3
|−ℎ−1|=6，求出
ℎ
后即可判断得解．
2
【详解】（1）解：由题意，将点A(−2,3)代入抛物线y=ax2+2ax−3a中，
∴4a−4a−3a=3，
∴a=−1，
∴抛物线的表达式为y=−x2−2x+3，
∴令x=0，则y=3，
∴B(0,3)；
（2）由题意，∵抛物线的表达式为y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴抛物线L的顶点坐标为(−1,4)，
∵平移后抛物线L′的顶点落在x轴上，
∴抛物线L向下平移了4个单位，
∴可设平移后抛物线L′的表达式为y=−(x+ ℎ) 2，
∵A(−2,3)，B(0,3)，
∴点A′，B′的纵坐标均为−1，
∴点A′的横坐标为−ℎ−1，点B′的横坐标为−ℎ +1，
1 3 1
∴S = OB⋅|x ′)= |−ℎ−1|，S = AB|y −y ′)=4，
△A′OB 2 A 2 ΔABB′ 2 B B
3
又∵S = S ，
△A′OB 2 △ABB′
3
∴ |−ℎ−1|=6，
2
∴ℎ =3或−5，
∴平移后抛物线L′的表达式为y=−(x+3) 2或y=−(x−5) 2．
1
19．（8分）小朋在学习过程中遇到一个函数y= |x)(x−3) 2 ．
2
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最
小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：1 3 5 7
x 0 1 2 3 4 …
2 2 2 2
25 27 5 7
y 0 2 1 0 2 …
16 16 16 16
1
结合上表，画出当x≥0时，函数y= |x)(x−3) 2 的图像；
2
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
1
若关于x的方程 |x)(x−3) 2=kx−1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小
2
数点后一位）．
【答案】(1)最小；0
(2)见解析
(3)4.2
1
【分析】（1）根据解析式 |x)(x−3) 2 ≥0，即可求解；
2
（2）根据描点法画函数图像；
1
（3）根据图像法求解即可，作经过点(0,−1),(2,1)的直线，与y= |x)(x−3) 2 的另一个交点的横坐标即
2
为方程的解
1
【详解】（1）解：∵ |x)(x−3) 2 ≥0，
2
∴y有最小值，这个值是0；故答案为：最小；0
（2）根据列表，描点连线，如图，
1
（3）依题意， |x)(x−3) 2=kx−1有一个实数根为2，
2
则过点(2,1)
1 1
∵ |x)(x−3) 2=kx−1的解即为y= |x)(x−3) 2 与y=kx−1的交点的横坐标，
2 2
且y=kx−1过点(0,−1)
1
如图，作过点(0,−1),(2,1)的直线，与y= |x)(x−3) 2 交于点A
2
根据函数图像的交点可知点A的横坐标约为4.2
则该方程其它的实数根约为4.2故答案为：4.2
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图像，根据函数图像的交点求方程
的解，数形结合是解题的关键．
20．（8分）（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点
A(−1,0)和B(0,3)，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积；
(3)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大
值，并求出最大值；
(4)当−2≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)9
3 25
(3)m= 时，AN+MN最大值为
2 4
(4)1≤n≤4
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论
的思想求解是解题的关键．
（1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线x=1，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可；
（2）求出C、D的坐标，连接OD，根据S =S +S +S 列式求解即可；
四边形ACDB △AOB △OBD △OCD
（3）求出AN，MN的长，进而求出AN+MN的长，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）分−2<n<1，1≤n≤4，n>4，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和
最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点A(−1,0)和B(0,3)，且顶点横坐标为1，
∴¿，{a=−1
)
解得 b=2 ，
c=3
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3．
（2）解：令y=0，则−x2+2x+3=0，解得x =−1，x =3，
1 2
∴C(3,0)，
当x=1时，y=−1+2+3=4，
∴D(1,4)，
如图所示，连接OD，
1 3 1 3 1
∵S = ×1×3= ，S = ×3×1= ，S = ×3×4=6，
△AOB 2 2 △OBD 2 2 △OCD 2
3 3
∴S =S +S +S = + +6=9．
四边形ACDB △AOB △OBD △OCD 2 2
（3）解：当x=m时，y=−m2+2m+3(0<m<3)，
∴MN=−m2+2m+3，AN=m+1，
∴AN+MN=m+1−m2+2m+3=−m2+3m+4，
∵−1<0，
3 (3) 2 3 25
∴当m= 时，AN+MN有最大值，最大值为− +3× +4= ．
2 2 2 4
（4）解：∵对称轴为直线x=1，
∴抛物线上横坐标为−2的点关于直线x=1的对称点的横坐标为4，
①当−2<n<1时，
当x=n时，最大值为−n2+2n+3，
当x=−2时，最小值为−5，
∴−n2+2n+3−(−5)=9，解得n =n =1（舍）．
1 2
②当1≤n≤4时，当x=1时，最大值为4，当x=−2时，最小值为−5，
∴4−(−5)=9，
∴1≤n≤4；
③当n>4时，
当x=1时，最大值为4，当x=n时，最小值为−n2+2n+3，
∴4−(−n2+2n+3)=9，
∴n=4（舍），n =−2（舍）
2
综上所述，n的取值范围为1≤n≤4．
21．（10分）（2025·福建龙岩·模拟预测）已知二次函数y=−ax2−bx+3a（a，b为常数，a≠0）．
(1)求证：若该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
(2)若b=4a，a>0，该函数图象经过A(2m−9,y )，B(m+2,y )两点，若A，B分别位于抛物线对称轴
1 2
的两侧，且y <y ，求m的取值范围．
1 2
(3)若该二次函数满足：当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且图象经过点(2,−5)，求a−b2的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2)−4<m<1；
(3)5．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，二次函数的最值，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（1）由a≠0，Δ=(−b) 2−4×(−a)×3a=b2+12a2>0，即可求解；
（2）若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y <y ，则应用数形结合和分类讨论，得到①当
1 2
2m−9<−2<m+2时，−2−(2m−9)>m+2−(−2)>0，可求解得−4<m<1；② m+2<−2<2m−9
时，2m−9−(−2)>−2−(m+2)>0，可求解得无解集；从而得出−4<m<1；
（3）通过数形结合和分类讨论，得到当x≥0时，总有y随x的增大而减小，则a>0，b≥0；由该抛物线经
过点(2,−5)得到a=−2b+5；从而得到a−b2=−2b+5−b2=−(b+1) 2+6，即(a−b2)是关于b的二次函
数，进而用二次函数的图像与性质求解a−b2的最大值．
【详解】（1）证明：∵a≠0，Δ=(−b) 2−4×(−a)×3a=b2+12a2>0，
∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点；（2）解：∵b=4a，a>0，
∴−a<0，
−b −4a
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=− =− =−2，
2×(−a) 2×(−a)
∵A(2m−9,y )，B(m+2,y )分别位于抛物线对称轴的两侧，且y <y ，
1 2 1 2
∴①点A在点B的左侧时，
∴2m−9<−2<m+2，
解得−4<m<3.5，
∵y <y ，
1 2
∴−2−(2m−9)>m+2−(−2)>0，
即−2m+7>m+4，
解得：m<1，
∴−4<m<1；
②当点A在点B的右侧时，即m+2<−2<2m−9，解得m<−4且m>3.5，无解集，
∴点A在点B的右侧，不成立，
综上可得m的取值范围为−4<m<1；
−b b
（3）解：由抛物线y=−ax2−bx+3a的对称轴为直线x=− =− ，
2×(−a) 2a
①当−a>0，即a<0时，抛物线的开口向上，
b
∴当x≥− 时，y随x的增大而增大，
2a
∴当x≥0时，总是存在有y随x的增大而增大，结论不成立；
②当−a<0，即a>0时，抛物线开口向下，
b
∴当x≥− 时，y随x增大而减小，
2a
∵当x≥0时，总有y随x的增大而减小，
b
∴抛物线的对称轴不在y轴右侧，即x=− ≤0，
2a
∴a>0，b≥0，
∵抛物线y=−ax2−bx+3a(a≠0)过点(2,−5)，
∴−4a−2b+3a=−5，即a=−2b+5，
∴a−b2=−2b+5−b2=−(b+1) 2+6，即(a−b2)是b的二次函数(a−b2)=−(b+1) 2+6，其图象为一条抛物线，这条抛物线的开口向下，对称轴为直线b=−1
∴当b≥−1时，(a−b2)随b的增大而减小，
∵b≥0，
∴当b=0时，a−b2的最大值为−(0+1) 2+6=5，
∴当仅当b=0，a=5时，a−b2的最大值是5．
22．（10分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项
近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约80%的
目
火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未
背
然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
景
调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在
△AOB中，OA=OB=2❑√3米，喷嘴O到地面的距离OC=3米．
素
材
1
模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发
生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学
校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水
柱最外层的形状为抛物线．
学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形OABC，创新小组以
点O为坐标原点，墙面OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为2.5米，即
素
AM=2米，OA=2.5米，水喷射到墙面D处，且OD=0.5米．
材
2
素 问题解决：已知车棚宽度OC为8米，电动车的电池距离地面高度为0.2米．创新
材 小组想在喷淋头M的同一水平线AB上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水
3 柱可以覆盖所有电动车电池．任务解决
任
务 （1）求图2中地面有效保护直径AB的长度；
1
任 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
务
2
（3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为多少米？
任
务 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
3
【答案】（1）2❑√3；（2）y=− 1 (x−2) 2+2.5；（3）(2+❑√5)米；（4） ( 6− ❑√115) 米
2 5
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三线合一定理可得AB=2AC，利用勾股定理求出AC的长即可得到答案；
（2）由题意得，点M的坐标为(2,2.5)，D(0,0.5)，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即
可；
（3）根据（2）所求，求出当函数值为0时的自变量的值即可得到答案；
（4）根据题意可得点N在点M右侧，设二者相距t米，则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式
1 1
为y=− (x−2−t) 2+2.5，求出当抛物线y=− (x−2−t) 2+2.5恰好经过(8,0.2)时，t的值即可得到答
2 2
案．
【详解】解：（1）∵OA=OB=2❑√3，OC⊥AB，
∴AB=2AC，
在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=❑√OA2−OC2=❑√(2❑√3) 2 −32=❑√3米，
∴AB=2❑√3米，
∴图2中地面有效保护直径AB的长度为2❑√3；
（2）由题意得，点M的坐标为(2,2.5)，D(0,0.5)，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为y=a(x−2) 2+2.5(a≠0)，
1
把D(0,0.5)代入y=a(x−2) 2+2.5(a≠0)中得：0.5=a(0−2) 2+2.5，解得a=− ，
2
1
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为y=− (x−2) 2+2.5；
21 1
（3）在y=− (x−2) 2+2.5中，当y=− (x−2) 2+2.5=0时，解得x=2+❑√5或x=2−❑√5，
2 2
∴E(2+❑√5,0)，
∴OE=(2+❑√5)米，
∴喷淋头M的地面有效保护直径OE为(2+❑√5)米；
（4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米，
1
则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为y=− (x−2−t) 2+2.5，
2
1
当抛物线y=− (x−2−t) 2+2.5恰好经过(8,0.2)时，
2
1
则0.2=− (8−2−t) 2+2.5，
2
❑√115 ❑√115
解得t=6− 或t=6+ （舍去），
5 5
( ❑√115)
∴喷淋头N距离喷淋头M至少为 6− 米．
5
1
23．（12分）（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)
2
，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为
m．
(1)请直接写出b，c的值；
(2)如图，当∠PBC=∠OBC时，求m的值；
(3)过点P作y轴的平行线交BC于点M，点N在BC上，且PN=MN，PN的长记为l．
①求l关于m的函数解析式；
②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l
的值；若不存在，请说明理由．3
【答案】(1)b=− ，c=−2；
2
5
(2)
3
❑√5 15❑√5
(3)①l=❑√5m− m2，②存在，
4 16
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行线
的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
(3 )
（2）在OB上截取BE=CE，连接CE，在Rt△OCE中，(4−OE) 2=4+OE2，求出E ,0 ，再由
2
∠ECB=∠CBP，得到CE∥BP，直线BP与抛物线的交点即为所求；
（3）①由题意可知MP的中点纵坐标与N点纵坐标相同，求出N (1 m2−m, 1 m2− 1 m−2 ) ，则
2 4 2
PN=l= ❑√5( 2m− 1 m2) =❑√5m− ❑√5 m2 ；
2 2 4
❑√5 ❑√5 3
②设其中两个点的横坐标分别为s，t，且s<t，则t=s+1，根据❑√5s− s2=❑√5t− t2求出s= ，即
4 4 2
可求l的值．
1
【详解】（1）解：将A、B代入y= x2+bx+c，
2
{1
−b+c=0)
∴ 2 ，
8+4b+c=0
{ b=− 3 )
解得 2 ；
c=−2
1 3
（2）由（1）可得y= x2− x−2，
2 2
在OB上截取BE=CE，连接CE，
∵OB=4，∴CE=BE=4−OE，
在Rt△OCE中，(4−OE) 2=4+OE2，
3
解得OE= ，
2
(3 )
∴E ,0 ，
2
∵∠OBC=∠PBC，∠EBC=∠BCE，
∴∠ECB=∠CBP，
∴CE∥BP，
设直线CE的解析式为y=kx−2，
3
∴ k−2=0，
2
4
解得k= ，
3
4
∴直线CE的解析式为y= x−2，
3
4 16
∴直线BP的解析式为y= x− ，
3 3
4 16 1 3 5
当 x− = x2− x−2时，解得x=4或x= ，
3 3 2 2 3
(5 28)
∴P ,− ；
3 9
（3）①∵PN=MN，PM∥y轴，
∴MP的中点纵坐标与N点纵坐标相同，
1
直线BC的解析式为y= x−2，
2
∵P ( m, 1 m2− 3 m−2 ) ，
2 2
( 1 )
∴M m, m−2 ，
2
∴PM的中点坐标为P ( m, 1 m2− 1 m−2 ) ，
4 2
∴N (1 m2−m, 1 m2− 1 m−2 ) ，
2 4 2∴PN=l= ❑√5( 2m− 1 m2) =❑√5m− ❑√5 m2 ；
2 2 4
②存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1，理由如下：
设其中两个点的横坐标分别为s，t，且s<t，
∴t−s=1，
∴t=s+1，
❑√5 ❑√5
∵❑√5s− s2=❑√5t− t2 ，
4 4
❑√5 ❑√5
∴❑√5s− s2=❑√5(s+1)− (s+1) 2 ，
4 4
3
解得s= ，
2
15❑√5
∴l= ．
16
24．（12分）（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(4,−1)，与y
轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点是点C，且点C的横坐标与纵坐标相等．
(1)求该抛物线的表达式；
AD⋅BD
(2)直线x=m与抛物线交于点P，与线段AB交于点D（不与点A、B重合），那么 的值是否随m
PD
的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化；
(3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点M，y轴上存在点N，使得四边形ACMN是菱形，求新抛物
线的表达式．
【答案】(1)y=−x2+3x+3；
AD⋅BD AD⋅BD
(2) 的值不变，且 =2，理由见解析
PD PD
(3)新抛物线的解析式为y′=−x2+3x+6或y′=−x2+3x+8．
【分析】（1）由题意求得B(0,c)，C(c,c)，再利用待定系数法求解即可；AD⋅BD AD⋅BD
（2） 的值不变，且 =2，先求得直线AB的解析式为y=−x+3，求得D(m,−m+3)，
PD PD
P(m,−m2+3m+3)，再用m表示出AD，BD和PD的长，代入求解即可；
（3）设平移后的解析式为y′=−x2+3x+3+p，再设M(m ,−m 2+3m +3+p)，N(0,n)，由四边形
0 0 0
ACMN是菱形，则其对角线AM和CN相互平分，且AC=AN，利用中点坐标公式和两点之间的距离公式
列式计算即可求解．
【详解】（1）解：对于y=−x2+bx+c，
当x=0时，y=c，
∴B(0,c)，
∵点B关于抛物线对称轴的对称点是点C，
∴y = y =c，又点C的横坐标与纵坐标相等，
C B
∴y =x =c，
C C
∴C(c,c)，
将C(c,c)代入y=−x2+bx+c得c=−c2+bc+c，
整理得c(c−b)=0，
∴c=0或c=b，
当c=0时，B(0,0)，C(0,0)，此时B和C重合，不符合题意；
∴c=b，
∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(4,−1)，
∴−1=−42+4b+c，即5b=15，
解得b=c=3，
∴B(0,3)，C(3,3)，
∴该抛物线的表达式为y=−x2+3x+3；
AD⋅BD AD⋅BD
（2）解： 的值不变，且 =2，理由如下，
PD PD
如图，∵直线x=m与与线段AB交于点D（不与点A、B重合），
∴0<m<4，
设直线AB的解析式为y=kx+3，
将A(4,−1)代入得，−1=4k+3，
解得k=−1，
∴直线AB的解析式为y=−x+3，
当x=m时，y=−m+3，
∴D(m,−m+3)，
当x=m时，y=−m2+3m+3，
∴P(m,−m2+3m+3)，
∴PD= y −y =−m2+3m+3−(−m+3)=−m2+4m，
P D
∵A(4,−1)，D(m,−m+3)，B(0,3)，
∴AD=❑√ (m−4) 2+[(−m+3)−(−1)) 2 =❑√2(m−4) 2，
∵0<m<4，
∴m−4<0，
∴AD=❑√2(4−m)，BD=❑√ (m−0) 2+[(−m+3)−(−1)) 2 =❑√2m2=❑√2m，
AD⋅BD ❑√2(4−m)⋅❑√2m
∴ = =2；
PD −m2+4m
（3）解：设平移后的解析式为y′=−x2+3x+3+p，
∵点M在y′=−x2+3x+3+p上，点N在y轴上，
∴设M(m ,−m 2+3m +3+p)，N(0,n)，
0 0 0
∵四边形ACMN是菱形，∴其对角线AM和CN相互平分，且AC=AN，
∵A(4,−1)，C(3,3)，
(m +4 −m 2+3m +3+p−1)
∴AM的中点为 0 , 0 0 ，
2 2
(3+0 n+3)
CN的中点为 , ，
2 2
m +4 3 −m 2+3m +3+p−1 n+3
∴ 0 = ， 0 0 = ，
2 2 2 2
解得m =−1，
0
−m 2+3m +3+p−1 n+3
将m =−1代入 0 0 = ，
0
2 2
并整理得p−2=n+3，
∴n=p−5，
由两点之间的距离公式得AC=❑√ (4−3) 2+[3−(−1)) 2 =❑√17，
AN=❑√(4−0) 2+(−1−n) 2=❑√16+(n+1) 2，
∵AC=AN，
∴AC2=AN2，
∴16+(n+1) 2=17，即n+1=±1，
当n+1=1时，n=0，
则0=p−5，
∴p=5，
∴y′=−x2+3x+8；
当n+1=−1时，
n=−2，
则−2=p−5，
∴p=3，
∴y′=−x2+3x+6；
综上，新抛物线的解析式为y′=−x2+3x+6或y′=−x2+3x+8．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性
质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性
质是解题的关键．
