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热点专题 08 锐角三角函数
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在 中， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也叫做 的邻
边， 所对的边 记为 ，叫做 的对边，也是 的邻边，直角 所对的边 记为 ，叫做斜
边．
B
c
a
A C
b
锐角 的对边与斜边的比叫做 的正弦，记作 ，即 ；
锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 ，即 ；
锐角 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 ，即 .同理 ； ； ．
注意：
（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的
比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2） 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，不能
理解成 与 ， 与 ， 与 的乘积．书写时习惯上省略 的角的记号“∠”，但对三个
大写字母表示成的角(如 )，其正切应写成“ ”，不能写成“ ”；
另外, 常写成 .
（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
（ 4 ） 由 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 知 ： 当 角 度 在 间 变 化 时 ，
考点二、特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3
考点三、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在 中， 所对的边分别为 ，则有：
①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系： .
③边角之间的关系：
④ ， 为斜边上的高.
注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为 )，是已知值.
（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点四、解直角三角形的类型和解法
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
已知两直角边 A C
邻边
已知斜边和一条直角边
考点五、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出
几何图形，建立数学模型；
（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的
问题；
（3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
1.坡度坡角
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表
示，则 ，如图，坡度通常写成 的形式.
2.仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，
如图.
3.方位角问题
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向 PA，
的方位角分别为是 .（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角，叫做方向角，如图②中的
目标方向线 的方向角分别表示北偏东 ，南偏东 ，南偏西 ，北偏西 .特别
如：东南方向指的是南偏东 ，东北方向指的是北偏东 ，西南方向指的是南偏西 ，西北方向指
的是北偏西
注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，
最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来
解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，
进而根据条件选择合适的方法求解.
题型一 利用定义求三角函数值
【例1】如图，在 中，已知 ， ， ，那么 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【例2】如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正
南方照射的光线与水平线的夹角为 ，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【变式1-1】在 中， ，则 边的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在边长为 的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上， ，
相交于点P．
(1)求线段 的长；
(2)求 的值．
【变式1-3】如图所示，在菱形 中， ， ，垂足为 ，若 ，则菱形周长为
．
题型二 比较三角函数值的大小
【例3】如果 ，那么 与 的差（ ）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【例4】s ， ， 的大小关系是( )
A． B．
C． D．
【变式2-1】已知 ，关于角α的三角函数的命题有：① ，② ，③
，④ ，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】三角函数 、 、 之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】化简 等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
题型三 特殊角三角函数值的计算
【例5】 的数值大小为（ ）
A． B． C． D．
【例6】计算：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【变式3-1】计算：
(1) ；
(2) ．
【变式3-2】计算：
(1)
(2)
【变式3-3】已知 为锐角，且 ，求 的值．
题型四 由特殊角的三角函数值求角度
【例7】在 中， ， 为锐角， ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【例8】如图， 是一正方形纸片．E、F分别为 ， 的中点，沿点D的折痕将A角翻折，使点A
落在 上的 处，折痕交 于G，则 度．【变式4-1】已知 ，则锐角α的度数是 ．
【变式4-2】计算：已知α是锐角，且 ，计算
【变式4-3】如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，D为弧 的中点，过点D作
于点E，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
题型五 新定义问题
【例9】如图，在 中， ，定义：斜边与 的对边的比叫做 的余割，用“ ”表示．
如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则 ，那么下列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
【例10】定义一种运算 ，计算 ．
【变式5-1】若定义等腰三角形顶角的 值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即 顶角
，若等腰 ， ，且 ，则 ．
【变式5-2】定义一种运算： ， ，则
的值为 ．
【变式5-3】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的
比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之
间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对 ．如图1，在 中， ，
顶角 的正对记作 ，这时 底边 腰 ．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相
互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)计算： ______；
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______；(3)如（3）图，已知 ， ，其中 为锐角，试求 的值．
题型六 同角三角函数的关系
【例11】已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【例12】在 中， ， 是 边上的高，如果 ， ，那么 的长为（
）
A． B．
C． D．
【变式6-1】如图，点A，B，C，D在 上， ， ， ，则 的长为 ．
【变式6-2】已知 ，则 的值为 ．
【变式6-3】计算： ．
题型七 互余两角三角函数的关系
【例13】已知 ，则锐角 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【例14】如图，在 中， ，点 在边 上，满足 ，若
，则图中等于 的角有 个．
【变式7-1】计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：
．
【变式7-2】在 中， ，则 的值为 ．
【变式7-3】如图，在 中， ，再添加一个条件就能够证明 是直角三角形．
(1)给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ，其中可以选
择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
题型八 解直角三角形【例15】如图，四边形 内接于 ， ， ， ，C为 的中点，则
的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【例16】如图，将 绕点C顺时针旋转得到 ，点 落在斜边 中点上，连接 ，若
，则 的长为 ．
【变式 8-1】如图，点 D、E、F分别在边长为 4的等边 的三边 上，且 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．【变式8-2】如图，在 中， ， ， 的平分线 ，求 的度数及边
， 的长．
【变式8-3】定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角
形”．
(1)如图①，在 中， ， ，求证： 是“好玩三角形”；
(2)如图②，若等腰三角形 是“好玩三角形”， ，求腰长和底边长的比．
题型九 解非直角三角形
【例17】如图，已知在 中， ， ，将 翻折，使点 与点 重合，折痕
交边 于点 ，交边 于点 ，那么 的值为 ．
【例18】如图，在 中， ，求 和 的长．【变式9-1】如图， 是 的内接三角形， 为 的直径，过点 的直线交 的延长线于点 ，
连接 ，且 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求 的值．
【变式9-2】如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m
的 处，测得一辆汽车从 处行驶到 处所用的时间为 .已知 ， ，那么这辆汽车速度
是 .（参考数据： ， ）
【变式9-3】如图，在矩形 中， ，连接 ，点 在 上， 平分
．题型十 解直角三角形的应用
【例19】如图，某一时刻旗杆 的影子落在水平地面上的部分影长 为5米，落在斜坡上的部分影长
为4米．已知斜坡 的坡度 ，此时太阳光线与斜坡的夹角 ,则旗杆 的高度约为
米．（结果精确到 米．参考数据 ）
【例20】舂（ ）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图1），一口石臼（ ）上架
着用一根木头做成的“碓（ ）身”，“碰”的头部下面有杵（ ）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横
杆，就像“翘翘板”中间支撑部位，“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碰头翘得更高，提高舂米效率．
舂米时，谷类放到内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高拍起来．碓尾落于深坑底部时，此时示意图
（如图2），测得碓头A所在位置仰角为 ，已知坑深 ，碰身长 ，求碓头 离地面的高度．
（结果精确到 参考数据： ， ，
【变式10-1】我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神
舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚
运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得 距离是5000m，仰角为 ，9s
后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为 （参考数据： ，
， ）(1)求点P离地面高度 的长；
(2)求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到 ）
【变式10-2】如图，小丽家住在河畔的电梯公寓 内，河对岸新建了一座大厦 ．为了测量大厦的高
度，小丽在她家的楼底 处测得大厦顶部 的仰角为 ，楼顶 处测得大厦顶部 的仰角为 ．已知小
丽所住的电梯公寓 高 ，请你帮助小丽算一算大厦的高度 及两楼之间 的距离．
【变式10-3】如图，父子两人驾驶渔船同时从点A处出发，父亲驾船沿正北方向航行一段时间到达C处，
之后向西调转 ，继续航行2海里到达D处，并在D处停船捕鱼，儿子驾船沿正西方向航行6海里到达
B处，并在B处停船捕鱼，此时父亲在儿子的东北方向上．为方便联系，父子两人均携带有专用对讲机，
且对讲机信号的覆盖半径为5海里．两人均停船捕鱼时，父亲用对讲机跟儿子联系，儿子能否收到父亲的
呼叫信号？请说明理由．（参考数据 ， ， ， ）一、单选题
1．（2024·广东中山·一模）在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
2．（2023·浙江温州·一模）如图，是梯子两梯腿张开的示意图， ，梯腿与地面夹角
，则梯子两梯脚之间的距离 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林长春·一模）如图， 是某大桥主塔的正面示意图， ，则
桥面宽度 （单位： ）是（ ）A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在 中，D 为 BC 的中点，若 ， ．则
的值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2024·山东济南·模拟预测）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知
道 ， ， 角的三角函数值，现在来求 的值：如图，在 中，
，延长 使 ，连接 ，得 ．设 ，则 ，AB=
，所以 ，类比这种方法，计算 的值为（ ）
A． B． C． D．6．（2024·新疆伊犁·一模）如图，在 中， ， 以点A为圆心，适当长为半径画弧，
分别与 交于点 ．再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，画射
线 ，交 于点 ．则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西·二模）在 中， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北武汉·一模）如图，在扇形 中， ，D为 上一点，且 ， ，
则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为E，若 ，
，则 的半径为 ．10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为
，看这栋楼底部的俯角为 ，热气球A处与地面距离为 ，则这栋楼的高度是 ．
11．（2023·湖北荆州·三模）计算： ．
12．（2024·河南开封·一模）已知 ， ， 是 边上一点，当 是以 为腰的等腰
三角形时， 的长为 ．
13．（2024·安徽·一模）如图，正方形 约边长为4，点 ， 分别是 ， 上的动点，且
，将 沿 翻折，得到 ，连接 .
（1）线段 与 的长度关系是 ；
（2）当点 运动到 的中点时， 的长为 .14．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点E为正方形 的边 上一点，连接 ， ，且 与
相交于点M．若 ，则 ．
15．（2024·湖北武汉·一模）利用光的折射原理，叉鱼时应瞄准鱼的下方．如图所示，当人看到水中的
“鱼”在水面下方 处时，应对准“鱼”的下方 处叉鱼（结果根据“四舍五入”法保留小数点后
两位）．（参考数据： ， ， ， ）
16．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在 中， ，点D是边 上
一点（不含B、C两个端点），将 沿 折叠到 ，当 所在的直线与 的一边垂直时
点D到边 的距离是 ．
三、解答题
17．（2024·云南·模拟预测）计算：18．（2024·湖北武汉·一模）如图， 为 的直径，C为 外一点， 交 于点D，E为 的中
点，且 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 的值．
19．（2023·四川成都·模拟预测）丘迟《与陈伯之书》：“暮春三月，江南草长，杂花生树，群莺乱
飞．”三四月份，各类风筝在成都某湿地公园的上空争奇斗艳！最令人瞩目的龙风筝引起了小月和同伴的
注意，中午12点左右他们在A处测得龙头M的仰角为 （龙头的大小不计，眼睛距地面的高度 为
），龙头正下方参照物C处的俯角为 ．求此时龙头风筝的高度（结果精确到 ）．（参考数据：
， ， ， ， ）．
20．（2024·陕西西安·一模）如图， 与☉ 相切于点 ，半径 ， 与☉ 相交于点 ，连接
．(1)求证： ；
(2)若 的半径为 ， ，求 的长．
21．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在 中， ， 平分 交 于点D，过点
D作 交 于点E，F是 上的一点，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)若 ，求 的面积．
