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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
第二十二章 二次函数单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第22章 二次函数，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2019·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）下列各式中表示二次函数的是（ ）
A．y＝x2+ B．y＝2﹣x2
C．y＝ D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】
解：A、y＝x2+ ，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；
C、y＝ ，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的定义是解题关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，
再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2＋2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x＋2）2﹣2 D．y＝（x＋2）2＋2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象的平移规律，可得答案．【详解】
解：将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=（x-2）
2+2．
故选：A．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3．（2022·湖南长沙·九年级期末）由二次函数 ，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，直接根据 的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【详解】
解：由二次函数 ，可知：
． ，其图象的开口向上，故此选项错误；
． 其图象的对称轴为直线 ，故此选项错误；
．其最小值为1，故此选项正确；
．当 时， 随 的增大而减小，故此选项错误．
故选： ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．
4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，正方形 边长为4， 、 、 、 分别是 、 、 、
上的点，且 ．设 、 两点间的距离为 ，四边形 的面积为 ，则 与
的函数图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三
角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4- x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
5．（2022·江苏扬州·九年级期末）若关于 的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
则二次函数 的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x
1
＋x
2
＝− ＝2．
∴二次函数 的对称轴为x＝− ＝ ×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
6．（2019·湖北鄂州·中考真题）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ( 为实数)．其中结论正确的个数为
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由抛物线开口方向得到 ，对称轴在 轴右侧，得到 与 异号，又抛物线与 轴正半轴相交，得到
，可得出 ，选项①错误；
②把 代入 中得 ，所以②正确；
③由 时对应的函数值 ，可得出 ，得到 ，由 ， ， ，得到
，选项③正确；
④由对称轴为直线 ，即 时， 有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴ ，
∵抛物线的对称轴在 轴右侧，∴ ，
∵抛物线与 轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，①错误；
②当 时， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
把 代入 中得 ，所以②正确；
③当 时， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 时，函数的最小值为 ，
∴ ，
即 ，所以④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．当 时，抛物线
向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同
号时，对称轴在 轴左；当 与 异号时，对称轴在 轴右．常数项 决定抛物线与 轴交点：抛物线与
轴交于 ．抛物线与 轴交点个数由判别式确定： 时，抛物线与 轴有2个交点；
时，抛物线与 轴有1个交点； 时，抛物线与 轴没有交点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2020·江苏常州·二模）二次函数 图像的对称轴是直线___________．
【答案】【解析】
【分析】
将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，本题得以解决．
【详解】
解：∵二次函数y=−2x2+4x−6=-2（x-1）2-4，
∴该函数的对称轴是直线x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2020·江苏徐州·九年级期中）若抛物线 的图像与 轴有交点，那么 的取值范围是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线 的图像与 轴有交点可知 ，从而可求得 的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线 的图像与 轴有交点
∴令 ，有 ，即该方程有实数根
∴
∴ ．
故答案是：
【点睛】
本题考查了二次函数与 轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一次不等式，能由已知条
件列出关于 的不等式是解题的关键．
9．（2022·贵州遵义·二模）已知二次函数 （a，b，c为常数， ）的部分图象如图所示，
则下列结论正确的有______．（填序号）① ；② ；③ ；④若当 时， ，则有 ．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据开口方向确定 的正负，根据对称轴的位置确定 的正负，根据抛物线与 轴的交点确定 的正负，由
此判断①；由抛物线的对称轴为 可求得 与 的等量关系，由此判断②；根据 与 时函数值
的正负判断③；由 与 时的函数值正负求出 的取值范围，由此判断④．
【详解】
解： 抛物线开口向下，对称轴在 轴左侧，与 轴交于正半轴，
， ， ，
， ， ，
，①错误；
抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ，
，②正确；
由图可知，当 时， ，当 时， ，
，即 ，
，③错误；
若当 时， ，则 ，
又 ，
该抛物线的表达式为 ，
由图可知，当 时， ；当 时， ．，解得 ，④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数 的部分图象如图所示，由图象可知，方程
的解为___________________；不等式 的解集为___________________．
【答案】 ， 或
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数
与不等式解集的关系求得答案．
【详解】
∵抛物线的对称轴为 ，抛物线与x轴一个交点为（5，0）
∴抛物线与x轴另一个交点为（-1，0）
∴方程 的解为： ，
由图像可知，不等式 的解集为： 或 ．
故答案为： ， ； 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问
题的关键．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过
点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．【答案】1
【解析】
【分析】
由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求得抛物线
的顶点坐标即可求得答案．
【详解】
解：∵AC⊥x轴，
∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，
∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x−1）2＋1，
∴顶点坐标为（1，1），
∴AC的最小值为1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．
12．（2020·江苏盐城·模拟预测）如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于
点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相
交于P，Q两点，则线段PQ的长为_____．【答案】2
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可
求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点
的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．
【详解】
解：当y＝0时，﹣ x2+ x+2＝0，
解得：x＝﹣2，x＝4，
1 2
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
当x＝0时，y＝﹣ x2+ x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝2时，﹣ x2+ x+2＝2，
解得：x＝0，x＝2，
1 2
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：
解得：
∴直线AD的解析式为y＝ x+1．
当x＝0时，y＝ x+1＝1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y＝1时，﹣ x2+ x+2＝1，
解得：x＝1﹣ ，x＝1+ ，
1 2
∴点P的坐标为（1﹣ ，1），点Q的坐标为（1+ ，1），∴PQ＝1+ ﹣（1﹣ ）＝2 ．
故答案为：2 ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次
函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·北京·潞河中学九年级阶段练习）已知抛物线 ．
(1)该抛物线的对称轴为 ；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，设点M（m，y），N（2，y）在该抛物线上，若 ，求m的取值范围．
1 2
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数解析式求对称轴公式即可求得．
（2）由第一问求得顶点的横坐标代入等于0即可求得a值，进而得到二次函数解析式．
（3）根据 ，直接代入横坐标列出不等式求解即可．
(1)解：对称轴
故对称轴为： ．
(2)
解：∵抛物线顶点在x轴上
∴当 时，
得
则抛物线解析式为：
(3)
由（2）得解析式
∵
∴
解得： 或 ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像性质，求解一元二次不等式，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
14．（2019·全国·九年级单元测试）已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐
标.
【答案】(1)-1;(2) (0，－3)与(2，－3).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点的纵坐标是−2，可以求得m的值；
（2）根据当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，可以求得这两个定
点的坐标．
【详解】
解：(1)∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线的顶点的纵坐标是－2，∴－m－3＝－2，
解得m＝－1，
即m的值是－1；
(2)∵当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，
当m＝1时，y＝x2－2x－3；当m＝2时，y＝2x2－4x－3，
∴x2－2x－3＝2x2－4x－3.
∴x2－2x＝0.
∴x＝0，x＝2.
1 2
∴这两个定点为(0，－3)与(2，－3).
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想和二次函数的性质解答．
15．（2021·河南南阳·九年级期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长
为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边 的长为 米（要求 ），矩形 的面
积为 平方米．
(1)求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
(2)要想使花圃的面积最大， 边的长应为多少米？
【答案】(1)S=-2x2+36x(0＜x＜12)．
(2)AB边的长为9米
【解析】
【分析】
（1）因为AB=x米，所以BC为（36-2x）米，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）2+k，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函
数有最大值，即当x=h时，取得最大值．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，
∴CD=AB=x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为36米，∴BC=36-2x（米）．
∴S=x（36-2x）=-2x2+36x．
∵0＜x＜36-2x,
∴自变量x的取值范围是0＜x＜12．
(2)
∵S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，且x=9在0＜x＜12的范围内，
∴当x=9时，S取最大值．
即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大
（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方
法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解
比用公式法简便．
16．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）如图，已知二次函数的图象经过点 、
和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为 ，并与直线OA
交于点C．
(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当 时，探索是否存在点P，使得 为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)y=-x2+4x
(2)(3)存在，点P的坐标为 或 或（5，-5）或（4，0）
【解析】
【分析】
（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，
，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案．
(1)
解∶∵二次函数的图象经过点 和原点O．
∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4），
把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4），
解得：a=-1，
∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x；
(2)
解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD，
设直线OA的解析式为 ，
把点A（3，3）代入，得：3=3k，
解得：k=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上，
∴P（m，-m2+4m），C（m，m），
∴PD=-m2+4m，CD= m，
∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ，
∴当 时，线段PC最大，最大；值为 ；
(3)
解：存在，理由如下：
∵C（m，m），P（m，-m2+4m），∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，
， ，
当0<m<3时，仅有OC=PC，
由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m，
∴ ，解得： 或0（舍去），
∴此时 ；
当m≥3时，点C在点D的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m，
当OC=PC时， ，
解得： 或0（舍去），
∴此时点 ；
当OC=OP时，有OC2=OP2，
∴ ，
解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），
∴此时点P（5，-5），
当PC=OP时，
，
解得：m=4或0（舍去），
∴此时点P（4，0）；
综上所述，存在，点P的坐标为 或 或（5，-5）或（4，0）．
【点睛】
本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知
识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定
的难度．
17．（2021·全国·九年级单元测试）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写
板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：进价（元/个） 售价（元/个） 销量（个/日）
A型 600 900 200
B型 800 1200 400
根据市场行情，该销售商对A手写板降价销售，同时对B手写板提高售价，此时发现A手写板每降低5就
可多卖1，B手写板每提高5就少卖1，要保持每天销售总量不变，设其中A手写板每天多销售x，每天总
获利的利润为y
（1）求y、x间的函数关系式并写出x取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B手写板，就捐a元给 因“新冠疫情”影响的困难家庭，当
时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
【答案】（1） （ ），且x为整数；（2） ，且x为整数；
（3）a=30
【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；
（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得，
，
解得 ，
故 的取值范围为 且 为整数；
（2） 的取值范围为 ．
理由如下： ，当 时， ，
， ，
解得： 或 ．
要使 ，
得 ；
，
；
（3）设捐款后每天的利润为 元，
则 ，
对称轴为 ，
，
，
抛物线开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 最大，
，
解得 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，列函数关系式等等，最大销售利润的问题常利用函
数的增减性来解答．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·贵州遵义·中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和
销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售
单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【答案】（1） ；（2）最大利润为3840元
【解析】
【分析】
（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．
【详解】
解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），
则 ，
解得： ，
∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴ ；
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点睛】
点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性
质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，
才能求得利润的最大值．
19．（2019·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求 的值和图象的顶点坐标．
（2）点 在该二次函数图象上.
①当 时，求 的值；
②若 到 轴的距离小于2，请根据图象直接写出 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）① 11；② .
【解析】
【分析】
（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】
（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 .
∵ ，∴顶点坐标为 .
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
20．（2021·全国·九年级专题练习）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210
件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过
80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y
件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意先分类讨论，当售价超过50元但不超过80元时，上涨的价格是 元，就少卖
件，用原来的210件去减 得到销售量；当售价超过80元，超过80的部分是 元，就少卖
件，用原来的210件先减去售价从50涨到80之间少卖的30件再减去 得到最终的销售量．
（2）根据利润=（售价-成本） 销量，现在的单件利润是 元，再去乘以（1）中两种情况下的销售
量，得到销售利润关于售价的式子．
【详解】
（1）当 时， ，即 ．当 时， ，即 ，则
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为
【点睛】
本题考查二次函数实际应用中的利润问题，关键在于根据题意列出销量与售价之间的一次函数关系式以及
熟悉求利润的公式，需要注意本题要根据售价的不同范围进行分类讨论，结果要写成分段函数的形式，还
要标上 的取值范围．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2019·北京门头沟·九年级期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为
P，且与y轴交于点A，与直线 交于点B，C（点B在点C的左侧）.
（1）求抛物线 的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.
①当 时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）顶点P的坐标为 ；（2）① 6个；② ， ．
【解析】
【分析】
（1）由抛物线解析式直接可求；（2）①由已知可知A（0，2），C（2+ ，-2），画出函数图象，观察图象可得；
②分两种情况求：当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a= ，
则 ＜a≤1；当a＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=- ，
则-1≤a<- ．
【详解】
解：（1）∵y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，
∴顶点为（2，-2a）；
（2）如图，①∵a=2，
∴y=2x2-8x+2，y=-2，
∴A（0，2），C（2+ ，-2），
∴有6个整数点；
②当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，
抛物线定点经过（2，-1）时，， ；
∴ ．
当 时，抛物线顶点经过点（2，2）时， ；抛物线顶点经过点（2，1）时， ；
∴ ．
∴综上所述： ， ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
22．（2018·全国·九年级单元测试）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点M从点A开始沿AB
边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动. 若M, N分
别从A， B点同时出发，设移动时间为t (0<t<6)，△DMN的面积为S.
(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；
(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.
【答案】（1）27（2）
【解析】
【分析】
（1）根据t秒时，M、N两点的运动路程，分别表示出AM、BM、BN、CN的长度，由S =S －
DMN 矩形ABCD
S －S －S 进行列式即可得到S关于t的函数关系式，通过配方即可求得最小值△；
ADM BMN CDN
（△2）当 △DMN为直△角三角形时，由∠MDN<90°，分∠NMD或∠MND为90°两种情况进行求解即可得.
【详解】△
(1) 由题意，得AM=tcm，BN=2tcm，则BM=(6－t)cm，CN=(12－2t)cm，
∵S =S －S －S －S ，
DMN 矩形ABCD ADM BMN CDN
△ △ △ △
∴S=12×6－ ×12t－ (6－t)·2t－ ×6(12－2t)=t2－6t+36=(t－3)2+27，
∵t=3在范围0<t<6内，∴S的最小值为27cm2；
(2) 当 DMN为直角三角形时，∵∠MDN<90°，∴可能∠NMD或∠MND为90°，
当∠N△MD=90°时，DN2=DM2+MN2，∴(12－2t)2+62=122+t2+(6－t)2+(2t)2，解得t=0或－18，不在范围0<t<6内，
∴不可能；
当∠MND=90°时，DM2=DN2+MN2，
∴122+t2=(12－2t)2+62+(6－t)2+(2t)2，解得t= 或6，(6不在范围0<t<6内舍)，
∴S=( －3)2+27= cm2.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，涉及矩形的性质、三角形面积、二次函数的性质、勾股定理的应用等知识，
熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
六、（本大题共12分）
23．（2021·上海·中考真题）已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线 上且在第一象限内，过A作 轴于B，以 为斜边在其左侧作等腰直角 ．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1） ；（2）①1；②点C的坐标是
【解析】
【分析】(1)将 两点分别代入 ，得 ,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直
线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐
标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】
解：（1）将 两点分别代入 ，得
解得 ．
所以抛物线的解析式是 ．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点 重合时， ，
作 于H．
∵ 是等腰直角三角形，
∴ 和 也是等腰直角三角形，
∴ ，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由 ，得
解得
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∴ ，
所以 ．
所以 ．
将点 代入 ，
得 ．
整理，得 ．
因式分解，得 ．
解得 ，或 （与点P重合，舍去）．
当 时， ．
所以点C的坐标是 ．
【点评】
本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，
熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
