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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
第二十二章 二次函数单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第22章 二次函数，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2019·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）下列各式中表示二次函数的是（ ）
A．y＝x2+ B．y＝2﹣x2
C．y＝ D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】
解：A、y＝x2+ ，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；
C、y＝ ，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的定义是解题关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，
再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2＋2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x＋2）2﹣2 D．y＝（x＋2）2＋2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象的平移规律，可得答案．【详解】
解：将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=（x-2）
2+2．
故选：A．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3．（2022·湖南长沙·九年级期末）由二次函数 ，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，直接根据 的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【详解】
解：由二次函数 ，可知：
． ，其图象的开口向上，故此选项错误；
． 其图象的对称轴为直线 ，故此选项错误；
．其最小值为1，故此选项正确；
．当 时， 随 的增大而减小，故此选项错误．
故选： ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．
4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，正方形 边长为4， 、 、 、 分别是 、 、 、
上的点，且 ．设 、 两点间的距离为 ，四边形 的面积为 ，则 与
的函数图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三
角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4- x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
5．（2022·江苏扬州·九年级期末）若关于 的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
则二次函数 的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x
1
＋x
2
＝− ＝2．
∴二次函数 的对称轴为x＝− ＝ ×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
6．（2019·湖北鄂州·中考真题）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ( 为实数)．其中结论正确的个数为
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由抛物线开口方向得到 ，对称轴在 轴右侧，得到 与 异号，又抛物线与 轴正半轴相交，得到
，可得出 ，选项①错误；
②把 代入 中得 ，所以②正确；
③由 时对应的函数值 ，可得出 ，得到 ，由 ， ， ，得到
，选项③正确；
④由对称轴为直线 ，即 时， 有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴ ，
∵抛物线的对称轴在 轴右侧，∴ ，
∵抛物线与 轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，①错误；
②当 时， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
把 代入 中得 ，所以②正确；
③当 时， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 时，函数的最小值为 ，
∴ ，
即 ，所以④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．当 时，抛物线
向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同
号时，对称轴在 轴左；当 与 异号时，对称轴在 轴右．常数项 决定抛物线与 轴交点：抛物线与
轴交于 ．抛物线与 轴交点个数由判别式确定： 时，抛物线与 轴有2个交点；
时，抛物线与 轴有1个交点； 时，抛物线与 轴没有交点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2020·江苏常州·二模）二次函数 图像的对称轴是直线___________．
【答案】【解析】
【分析】
将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，本题得以解决．
【详解】
解：∵二次函数y=−2x2+4x−6=-2（x-1）2-4，
∴该函数的对称轴是直线x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2020·江苏徐州·九年级期中）若抛物线 的图像与 轴有交点，那么 的取值范围是
________.
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线 的图像与 轴有交点可知 ，从而可求得 的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线 的图像与 轴有交点
∴令 ，有 ，即该方程有实数根
∴
∴ ．
故答案是：
【点睛】
本题考查了二次函数与 轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一次不等式，能由已知条
件列出关于 的不等式是解题的关键．
9．（2022·贵州遵义·二模）已知二次函数 （a，b，c为常数， ）的部分图象如图所示，
则下列结论正确的有______．（填序号）① ；② ；③ ；④若当 时， ，则有 ．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据开口方向确定 的正负，根据对称轴的位置确定 的正负，根据抛物线与 轴的交点确定 的正负，由
此判断①；由抛物线的对称轴为 可求得 与 的等量关系，由此判断②；根据 与 时函数值
的正负判断③；由 与 时的函数值正负求出 的取值范围，由此判断④．
【详解】
解： 抛物线开口向下，对称轴在 轴左侧，与 轴交于正半轴，
， ， ，
， ， ，
，①错误；
抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ，
，②正确；
由图可知，当 时， ，当 时， ，
，即 ，
，③错误；
若当 时， ，则 ，
又 ，
该抛物线的表达式为 ，
由图可知，当 时， ；当 时， ．，解得 ，④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数 的部分图象如图所示，由图象可知，方程
的解为___________________；不等式 的解集为___________________．
【答案】 ， 或
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数
与不等式解集的关系求得答案．
【详解】
∵抛物线的对称轴为 ，抛物线与x轴一个交点为（5，0）
∴抛物线与x轴另一个交点为（-1，0）
∴方程 的解为： ，
由图像可知，不等式 的解集为： 或 ．
故答案为： ， ； 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问
题的关键．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过
点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．【答案】1
【解析】
【分析】
由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求得抛物线
的顶点坐标即可求得答案．
【详解】
解：∵AC⊥x轴，
∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，
∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x−1）2＋1，
∴顶点坐标为（1，1），
∴AC的最小值为1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．
12．（2020·江苏盐城·模拟预测）如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于
点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相
交于P，Q两点，则线段PQ的长为_____．【答案】2
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可
求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点
的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．
【详解】
解：当y＝0时，﹣ x2+ x+2＝0，
解得：x＝﹣2，x＝4，
1 2
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
当x＝0时，y＝﹣ x2+ x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝2时，﹣ x2+ x+2＝2，
解得：x＝0，x＝2，
1 2
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：
解得：
∴直线AD的解析式为y＝ x+1．
当x＝0时，y＝ x+1＝1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y＝1时，﹣ x2+ x+2＝1，
解得：x＝1﹣ ，x＝1+ ，
1 2
∴点P的坐标为（1﹣ ，1），点Q的坐标为（1+ ，1），∴PQ＝1+ ﹣（1﹣ ）＝2 ．
故答案为：2 ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次
函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·北京·潞河中学九年级阶段练习）已知抛物线 ．
(1)该抛物线的对称轴为 ；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，设点M（m，y），N（2，y）在该抛物线上，若 ，求m的取值范围．
1 2
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数解析式求对称轴公式即可求得．
（2）由第一问求得顶点的横坐标代入等于0即可求得a值，进而得到二次函数解析式．
（3）根据 ，直接代入横坐标列出不等式求解即可．
(1)解：对称轴
故对称轴为： ．
(2)
解：∵抛物线顶点在x轴上
∴当 时，
得
则抛物线解析式为：
(3)
由（2）得解析式
∵
∴
解得： 或 ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像性质，求解一元二次不等式，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
14．（2019·全国·九年级单元测试）已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐
标.
【答案】(1)-1;(2) (0，－3)与(2，－3).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点的纵坐标是−2，可以求得m的值；
（2）根据当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，可以求得这两个定
点的坐标．
【详解】
解：(1)∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线的顶点的纵坐标是－2，∴－m－3＝－2，
解得m＝－1，
即m的值是－1；
(2)∵当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，
当m＝1时，y＝x2－2x－3；当m＝2时，y＝2x2－4x－3，
∴x2－2x－3＝2x2－4x－3.
∴x2－2x＝0.
∴x＝0，x＝2.
1 2
∴这两个定点为(0，－3)与(2，－3).
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想和二次函数的性质解答．
15．（2021·河南南阳·九年级期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长
为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边 的长为 米（要求 ），矩形 的面
积为 平方米．
(1)求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
(2)要想使花圃的面积最大， 边的长应为多少米？
【答案】(1)S=-2x2+36x(0＜x＜12)．
(2)AB边的长为9米
【解析】
【分析】
（1）因为AB=x米，所以BC为（36-2x）米，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）2+k，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函
数有最大值，即当x=h时，取得最大值．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，
∴CD=AB=x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为36米，∴BC=36-2x（米）．
∴S=x（36-2x）=-2x2+36x．
∵0＜x＜36-2x,
∴自变量x的取值范围是0＜x＜12．
(2)
∵S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，且x=9在0＜x＜12的范围内，
∴当x=9时，S取最大值．
即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大
（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方
法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解
比用公式法简便．
16．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）如图，已知二次函数的图象经过点 、
和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为 ，并与直线OA
交于点C．
(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当 时，探索是否存在点P，使得 为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)y=-x2+4x
(2)(3)存在，点P的坐标为 或 或（5，-5）或（4，0）
【解析】
【分析】
（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0
