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2022—2023 学年九年级上学期第二单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（4分）抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6先向右平移2个单位，再向上平移6个单位即可得到抛物线
y＝﹣5x2．
故选：D．
3．（4分）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y
＝﹣3；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y＝0时，x＝1
或x＝3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线 x＝1和x＝4时y＝﹣3得到x＝0时的函数值．
【解答】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y＝0时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，当x＝4时y＝﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，故③正确，符合题意；
故选：C．
4．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x 、x ，且x ≠x ，则下列结论中错误
1 2 1 2
的是（ ）
A．二次函数y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
1 2
B．当m＞0时，2＜x ＜x ＜3
1 2
C．m＞﹣
D．当m＝0时，x ＝2，x ＝3
1 2
【分析】由二次方程的根与系数的关系，结合二次函数的图象可判断 A；由二次不等式的解法可判断
B；由二次函数的配方可得最小值，即可判断C；由m＝0，解二次方程可判断D．
【解答】解：关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x ，x ，且x ＜x ，可得x ，x 为方
1 2 1 2 1 2
程x2﹣5x+6﹣m＝0的两根，
可得x +x ＝5，x x ＝6﹣m，
1 2 1 2
二次函数y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+m，即为y＝x2﹣（x +x ）x+x x +m＝x2﹣5x+6，
1 2 1 2 1 2
其图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0），故A正确．
由m＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0，解得x＞3或x＜2，即有x ＜2＜3＜x ，故B错误；
1 2
由y＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6＝（x﹣ ）2﹣ ≥﹣ ，当x＝ 时，取得最小值﹣ ，由于x ＜
1
x ，可得m＞﹣ ，故C正确；
2
由m＝0可得（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得x ＝2，x ＝3，故D正确；
1 2
故选：B．
5．（4分）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 ，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【分析】根据实心球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：在 中，令y＝0得：
﹣ x2+ x+ ＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
6．（4分）函数y＝ax+1与y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断．
【解答】解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线
的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ，在y轴的左侧，
A、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项不合题意；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项不合题意；
C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＞0，且交于y轴上同一点，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＜0，故选项不合题意；
故选：C．7．（4分）二次函数y＝2 x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在
函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣1， ） D．（﹣1， ）
【分析】连接BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD＝60°，利用含30度的直角三
角形三边的关系得OD＝ BD，设BD＝t，则OD＝ t，B（t， t），利用二次函数图象上点的坐
标特征得2 t2＝ t，得出BD＝ ，OD＝ ，然后根据菱形的性质得出C点坐标．
【解答】解：连接BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB＝30°，
∴∠OBD＝60°，
∴OD＝ BD，
设BD＝t，则OD＝ t，
∴B（t， t），
把B（t， t）代入y＝2 x2得2 t2＝ t，解得t ＝0（舍去），t ＝ ，
1 2
∴BD＝ ，OD＝ ，
故C点坐标为：（﹣ ， ）．故选：B．
8．（4分）关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k，0），下列正确的是（
）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
【分析】求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，根据Δ＝0，一元二次方程
有两个相等的实数根，求出a、b的数量关系，再进一步求出k的值，进而选出正确答案．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k，0），
令y＝0，
∴ax2+2ax+b+1＝0，
∴（2a）2﹣4a（b+1）＝0，
∴4a2﹣4ab﹣4a＝0，
4a（a﹣b﹣1）＝0，
∵关于x的二次函数，
∴a≠0，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a＝b+1，
∴（b+1）x2+2（b+1）x+b+1＝0，
∵因为方程有两个相等的实数根，
∴x+x＝﹣ ＝﹣2，
解得x ＝x ＝﹣1，
1 2
∴k＝﹣1，＝ ，
A、当﹣1＜a＜0时，a﹣1＜0，a（a﹣1）＞0，
∴ ﹣ ＞0，
∴ ＞ ，
当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，
﹣ ＜0，
∴ ＜ ，
∴无法确定大小，
∴A、C错误；
当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，
＜ ，
∴B、错误；D、正确；
故选：D．
9．（4分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）
近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋
转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气
的旋钮的旋较角度约为（ ）度．
A．36 B．45 C．50 D．42
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可知，物线开口向上，
从18和72两个点可以看出对称轴x＜ ，所以最终对称轴的范围是36＜x＜45，
即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间，
所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°．
故选：D．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点
E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于
以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠EOF始终是90°；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
【分析】由题意可证明△BOE≌△COF，从而可证明∠EOF＝90°，且OE＝OF，所以四边形OECF的
面积始终等于△BOC的面积4，当OE⊥BC（OE＝2）时，△OEF面积取最小值2．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBE＝∠OCF＝45°，
∵BE＝CF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，
即∠EOF＝∠BOC＝90°，
且S△COE +S△COF ＝S△COE +S△BOE ，
即S四边形OECF ＝S△BOC ＝ S正方形ABCD ＝ ×4×4＝4，
由垂线段最短可得，
当OE⊥BC时，OE＝ BC＝ ×4＝2，
△OEF面积取最小值为 ×2×2＝2，
∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，
故选：A．11．（4分）已知点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）均在抛物线y＝﹣ x2+2mx+n上，其中y ＝
1 1 2 2 3 3 2
2m+n，下列说法正确的是（ ）
A．若y ＞y ≥y ，则|x ﹣x |＜|x ﹣x |
1 3 2 1 2 2 3
B．若y ＞y ≥y ，则|x ﹣x |＞|x ﹣x |
1 3 2 1 2 2 3
C．若|x ﹣x |≤|x ﹣x |，则y ＞y ≥y
1 2 3 2 2 3 1
D．若|x ﹣x |≥|x ﹣x |，则y ＞y ≥y
1 2 3 2 2 3 1
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B为顶点，由m＜0抛物线开口向
上可判断C，D选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断A，B．
【解答】解：∵y＝﹣ x2+2mx+n，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
把x＝2代入y＝﹣ x2+2mx+n得y＝2m+n，
∴B（x ，y ）为抛物线顶点，x ＝2，
2 2 2
当m＜0时，抛物线开口向上，y 为函数最小值，
2
∴选项C，D错误．
若y ＞y ≥y ，则抛物线开口向上，距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
1 3 2
∴|x ﹣x |＞|x ﹣x |，选项A错误，选项B正确．
1 2 2 3
故选：B．
12．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对
称轴为直线x＝2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
② ；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x＜﹣1．
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点情况以及a的符号即可判断②；由16a+4b+c＝c即可判断③；由x＝5时，y＜0，即可判断④；由抛物线与x轴
的交点即可判断⑤．
【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又﹣ ＝2，所以b＝﹣4a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴ ＞0，故②正确；
∵16a+4b+c＝16a﹣16a+c＝c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正确；
当x＝5时，y＝25a+5b+c＜0，
∴25a﹣20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x＜0，故⑤错误．
故选：B．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应
的位置上）
13．（4分）形状与开口都与抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1相同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线对应的函数解
析式为 ．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x+h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将顶点坐标代入解析式就
可以求出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1
相同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2﹣5，
故答案为：y＝﹣2x2﹣5．14．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝2交于A、B两点，则AB＝ ．
【分析】抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝2交于A、B两点横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝2的两个
解，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝2交于A、B两点横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝2
的两个解，
， ，
则AB＝x ﹣x ＝2 ，
1 2
故答案为：2 ．
15．（4分）二次函数y＝（x+1）2﹣5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值是2m，最大值是2n，则m
﹣n＝ ．
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m、n的值，然后即可求出m﹣n
的值．
【解答】解：∵m≤x≤n，且mn＜0，
∴m＜0，n＞0，
∵二次函数y＝（x+1）2﹣5，
∴当x＝﹣1时，取得最小值，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当﹣1＜m＜0时，x＝m时取得最小值2m，x＝n时取得最大值2n，
即 ，
解得m＝±2（不合题意，舍去），n＝±2（不合题意，舍去）；
当m≤﹣1时，x＝﹣1时，取得最小值2m，x＝n时取得最大值2n或x＝﹣1时，取得最小值2m，x＝m
时取得最大值2n，
即2m＝﹣5，（n+1）2﹣5＝2n或2m＝﹣5，（m+1）2﹣5＝2n，
解得m＝﹣ ，n＝2或n＝﹣2（不合题意，舍去）；m＝﹣ ，n＝﹣ （不合题意，舍去），
由上可得，m＝﹣ ，n＝2，
∴m﹣n＝﹣ ﹣2＝﹣ ，故答案为：﹣
16．（4分）如图，已知点A ，A ，…，A 在函数y＝x2位于第二象限的图象上，点B ，B ，…，B
1 2 2014 1 2 2014
在函数y＝x2位于第一象限的图象上，点 C ，C ，…，C 在y轴的正半轴上，若四边形 OA C B 、
1 2 2014 1 1 1
C A C B ，…，C A C B 都是正方形，则正方形C A C B 的边长为 ．
1 2 2 2 2013 2014 2014 2014 2013 2014 2014 2014
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得 OB 与y轴的夹角为45°，然后表示出OB 的解析式，再
1 1
与抛物线解析式联立求出点B 的坐标，然后求出OB 的长，再根据正方形的性质求出OC ，表示出
1 1 1
C B 的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，再求出C C 的长，然后表示出C B
1 2 2 1 2 1 2 2 3
的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
3 2 3
【解答】解：∵OA C B 是正方形，
1 1 1
∴OB 与y轴的夹角为45°，
1
∴OB 的解析式为y＝x，
1
联立方程组得： ，
解得 或 ，
∴B点的坐标是：（1，1）；
OB ＝ ＝ ，
1
同理可得：正方形C A C B 的边长C B ＝2 ；
1 2 2 2 1 2
…依此类推，正方形则正方形C A C B 的边长为2014 ．
2013 2014 2014 2014
故答案为：2014 ．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解
答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）已知y＝（m﹣4） +2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
【分析】（1）根据形如y＝kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣4） +2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4） +2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝ ；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或 或﹣1时，它是y关于x的二次函数．18．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．
（1）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x为何值时，函数y＝﹣x2+2x+2取得最大值，请求出这个最大值．
【分析】（1）利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+3，然后根据二次函数的性质解决问题；
（2）根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）；
（2）由（1）可知，当x＝1时，函数y＝﹣x2+2x+2取得最大值，最大值是3．
19．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左边），与y轴
交于点C．
（1）直接写出A，B，C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M与点A，点B不重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点
E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q
的左侧，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．
【分析】（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y＝0，解方程得出方程
的解，即可求得A、B的坐标；
（2）设M点横坐标为m，则PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣
2m﹣2，矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据
二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x＝m
代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知点C（0，3），
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；
（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4可知，对称轴为直线x＝﹣1，
设点M的横坐标为m，则PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）＝﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴当m＝﹣2时矩形的周长最大．
∵点A（﹣3，0），C（0，3），
∴设直线AC：y＝kx+3，代入（﹣3，0）得0＝﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线AC的函数表达式为y＝x+3，
当x＝﹣2时，y＝﹣2+3＝1，则点E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴△AEM的面积＝ AM•EM＝ ．
20．（10分）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），（﹣3，0），（0，﹣2）三点．
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（2，3），（﹣2，﹣5）两点，并且以x＝1为对称轴．
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过一次函数y＝﹣ x+3图象与x轴、y轴的交点，且过（1，
1）．
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3），代入（0，﹣2）求得a即可；
（2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入y＝ax2+bx+c中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方
程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．
【解答】解：（1）设y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，﹣2）代入得：﹣2＝﹣3a，
解得：a＝ ，
则抛物线的解析式为y＝ （x+3）（x﹣1）＝ x2+ x﹣2；
（2）根据题意可知： ，
解得 ，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）当x＝0时，y＝﹣ x+3＝3，则直线与y轴的交点坐标为（0，3），
当y＝0时，﹣ x+3＝0，解得x＝2，则直线与x轴的交点坐标为（2，0），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把（0，3），（2，0），（1，1）代入得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为y＝ x2﹣ x+3．
21．（12分）浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降．某
景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
（1）求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
（2）该景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN（墙DM长为27米，
墙DN足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并
在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．
①当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？
②当AB＝ 米时，游乐场的面积达到最大，最大为
平方米．
【分析】（1）设2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率为x，利用2021年的单
价＝2019年的单价×（1﹣平均每年降低的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合
题意的值即可得出结论；
（2）根据矩形和等腰直角三角形的性质得出AB＝x米，AD＝BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米，①根据矩
形和三角形的性质列方程即可得到结论；②再由矩形和三角形的面积公式可得y关于x的函数解析式，
由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率x，
依题意得：2.25（1﹣x）2＝1.44，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝ （不合题意，舍去），
1 2
答：2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率为20%；
（2）设AB＝x米，
∵四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE，∠ADE＝∠DEC＝90°，
∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠EDC＝∠DCE＝45°，∴CE＝DE＝（x﹣2）米，
∴BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米＝（60﹣3x）米，
①根据题意得：x（60﹣3x）＝320，
解得x ＝8，x ＝16，
1 2
∵60﹣3x≤20，
∴11≤x≤20，
答：当AB为8米或16米时，游乐场的面积为320平方米；
②设面积为y平方米，
根据题意得：y＝x（60﹣3x）+ x2＝﹣ x2+60x＝﹣ （x﹣12）2+360，
∵60﹣3x≤20，
∴11≤x≤20，
∴当x＝12时，y有最大值，最大值为360．
故答案为：12，360．
22．（12分）“水都数学建模”兴趣小组对某超市一种热卖的商品做了市场调查，发现该商品的进价为每
件30元，开始到3月底的一段时间，超市以每件40元售出，每天可以卖出120件．从4月1日开始，
该商品每天比前一天涨价1元，销售量每天比前一天减少2件；从5月1日起到5月30日当天，该商品
价格一直稳定在每件70元，销售量一直持续每天比前一天减少2件，设从4月1日起的第x天的销售量
为y件，销售该商品的每天利润为w元．
（1）第x（1≤x≤30）天的销售价为每件 元，这段时间每天的销售量y（件）与x（天）的
函数关系式为 ；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2000元？
【分析】（1）第x（1≤x≤30）天的销售价为每件（40+x）元，销售量y（件）与x（天）的函数关系
式为y＝120﹣2x；
（2）根据每件利润乘以销售量为总利润可得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，
由二次函数性质可得从4月1日起，销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润2450元；
（3）当1≤x≤60时，y＝120﹣2x，分两种情况：①当1≤x≤30时，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000可
得当10≤x≤30时，每天销售利润不低于2000元，共21天；②当31≤x≤60时，由（70﹣30）×（120
﹣2x）≥2000可得当31≤x≤35时，每天销售利润不低于2000元，共5天；即得该商品在销售过程中，
共有26天，每天销售利润不低于2000元．【解答】解：（1）根据题意得：第x（1≤x≤30）天的销售价为每件（40+x）元，
这段时间每天的销售量y（件）与x（天）的函数关系式为y＝120﹣2x，
故答案为：（40+x），y＝120﹣2x；
（2）根据题意得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴x＝25时，w取最大值2450，
答：从4月1日起，销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润2450元；
（3）∵从5月1日起到5月30日当天，销售量一直持续每天比前一天减少2件，
∴当1≤x≤60时，y＝120﹣2x，
①当1≤x≤30时，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000得：x ＝10，x ＝40，
1 2
∴当10≤x≤30时，每天销售利润不低于2000元，共21天；
②当31≤x≤60时，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000得：x≤35，
∴当31≤x≤35时，每天销售利润不低于2000元，共5天；
综上所述，该商品在销售过程中，共有26天，每天销售利润不低于2000元．
23．（12分）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）
两点，其中m为常数．
（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；
（3）设（a，y ）、（a+2，y ）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，请比较y ﹣y 与0的大小，并说明理由．
1 2 2 1
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合抛物线的性质列出方程即可；
（3）利用分类讨论的方法结合抛物线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，
∴ ，
解得： ．
∴b＝2，c＝m2+2m+2；
（2）∵y＝x2+2x+m2+2m+2＝（x+1）2+（m+1）2，
∴抛物线y＝x2+bx+c的顶点为（﹣1，（m+1）2），∵（m+1）2≥0，1＞0，
∴抛物线y＝x2+bx+c在x轴上火x轴的上方，
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴有公共点，
∴（m+1）2＝0，
∴m＝﹣1．
（3）∵y＝x2+2x+m2+2m+2＝（x+1）2+（m+1）2，
∴抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1．
∴当a＜﹣2时，点（a，y ）在点（a+2，y ）的上方，
1 2
此时，y ＞y ，
1 2
∴y ﹣y ＞0；
1 2
当a＝﹣2时，点（a，y ）与点（a+2，y ）关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
1 2
此时，y ＝y ，
1 2
∴y ﹣y ＝0；
1 2
当a＞﹣2时，点（a，y ）在点（a+2，y ）的下方，
1 2
此时y ＜y ，
1 2
∴y ﹣y ＜0．
1 2
综上，当a＜﹣2时，y ﹣y ＞0，当a＝﹣2时，y ﹣y ＝0，当a＞﹣2时，y ﹣y ＜0．
1 2 1 2 1 2
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x ，
2
0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，
N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由 A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，
即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；
（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设点 M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为
（m， ），利用MN＝CD，可得到关于m的方程，从而求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a＝ ，
∴y＝ ．
令y＝0，得 ＝0
解得：x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
（2）如图，
由y＝ ，
可得对称轴为： ，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．
∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
∴ ，解得 ，
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m， ），
∴ ，
即 ，
当 时，
解得 ，
此时点M的坐标为：（ ， ）或（ ， ），
当 时，
解得m＝0（舍去），综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（ ，
）或（ ， ）．
