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第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．圆的周长C与半径r
B．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x
C．正三角形的面积S与边长a
D．匀速行驶的汽车，路程s与时间t
【答案】C
【解答】解：A．C＝2 r，是一次函数的关系；
B．弹簧的长度y是随着π物体的质量x增大而增长的，是一次函数关系；
❑√3a2
C．正三角形的面积S= ，是二次函数关系；
4
D．S＝vt，故匀速行驶的汽车，路程s与时间t之间是一次函数关系．
故选：C．
2．对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0，y随x的增大而减小
B．当x＝1时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点（﹣1，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
【答案】B
【解答】解：把二次函数化为顶点式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3，根据顶点式即可对各选项进行判断如下：
∴顶点坐标为（1，﹣3），开口向下，对称轴为x＝1，当x＞1时y随x的增大而减小，故A选项错误；
当x＝1时，y有最大值﹣3，与x轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确，
故选：B．
3．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，它的顶点坐标是（1，2）．
将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），所以新抛物线的解析式是：y＝（x+1）2+3．
故选：C．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（ ）
1
A．a=
2
B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
b
∴− =−2，4a﹣2b+3＝﹣1，
2a
解得a＝1，b＝4，故选项A错误，不符合题意；
当x＝﹣2时，二次函数有最小值为﹣1，故选项B错误，不符合题意；
当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
由上可得，y＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3），
∴当y＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
5．若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1
【答案】C
【解答】解：根据题意得m2﹣2m﹣3＝0，
所以m＝﹣1或m＝3，
又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，
所以m＝3．
故选：C．
6．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价
为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游
客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：结论①：定价增加30元，即定价为220+30＝250元，
每增加10元，空闲房间数增加1个，
故增加30元对应空闲3个，居住房间数为50﹣3＝47个，故①结论正确；
结论②：设定价增加10x元，则定价为（220+10x）元，房间数为（50﹣x）个．
∴（220+10x﹣20）（50﹣x）＝12000，
经计算可得：x＝10或x＝20．
当x＝20时，对应定价为220+10x＝220+10×20＝420元（超过360元上限），
∴x＝10，故②结论错误；
结论③：设利润为w，w＝（220+10x﹣20）（50﹣x）＝﹣10x2+300x+10000，
∵﹣10＜0，
300
由题意可得：对称轴为直线x=− =15，
2×(−10)
∵220+10x≤360，
∴x≤14，
∴当x＝14，w＝﹣10x2+300x+10000＝12240，
故③结论错误．
故选：B．
7．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y ），B（m，y ），C（n，y ），且|m﹣3|＜|n﹣3|
1 2 3
＜2，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
【答案】B
【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝3，开口向上，
∵|m﹣3|＜|n﹣3|＜2，
∴点B离对称轴水平距离最近，其次是点C，点A离对称轴最远，
∴y ＜y ＜y ，
2 3 1
故选：B．
8．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S
与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，
∴∠AOB＝∠A＝45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD＝∠A，
∴∠AOD＝∠OCD＝45°，
∴OD＝CD＝t，
1
∴S△OCD = ×OD×CD
2
1 1
= t2（0≤t≤3），即S= t2（0≤t≤3）．
2 2
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0≤t≤3、开口向上的二次函数图象；
故选：D．
9．如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线
的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（ ）❑√3 1
A． B．❑√2 C． D．1
3 2
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
由条件可知AD＝3，CD=3❑√3，C（3，k）．
∵当x＝0时，y＝9a+k，
∴A（0，9a+k），
∴9a+k−k=3❑√3，
❑√3
∴a= ．
3
故选：A．
10．函数y＝|x|﹣1的图象如图所示，类似地，函数y＝x2﹣4|x|﹣2的图象为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解答】解：当x＜0时，函数解析式为y＝x2﹣4（﹣x）﹣2＝x2+4x﹣2，
当x≥0时，y＝x2﹣4x﹣2，
4
∴当x＜0时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=− =−2，
2
−4
当x≥0时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=− =2，
2
故函数y＝|x|﹣1的图象如图所示，类似地，函数y＝x2﹣4|x|﹣2的图象，
故选：C．
11．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或− D．﹣5或−
8 8 8
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，
解得：m＝5；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，
5
解得：m=− ；
8
故选：C．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其
中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论：
①a﹣c＞0；
②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根；
8
③− ＜b＜﹣2；
3
a+b+c
④ ＞0．
b−a
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），图象开口向上，
b 3−1
∴对称轴直线为− = =1，a＞0，
2a 2
∴b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝5两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3，
∴当x＝0，y＝c＝m，
∴﹣4＜c＜﹣3，
3
∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，c= b，
2
3 8
∴−4＜ b＜−3 解得，− ＜b＜−2故③正确；
2 3
当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a，
∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0，
a+b+c
∴ ＞0，故④正确；
b−a综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．二次函数y＝x2+12x+10的顶点坐标为 （﹣ 6 ，﹣ 2 6 ） ．
【答案】（﹣6，﹣26）．
【解答】解：∵a＝1，b＝12，c＝10，
b 12 4ac−b2 4×1×10−122
∴− =− =−6， = =−26，
2a 2×1 4a 4×1
∴二次函数y＝x2+12x+10的顶点坐标为（﹣6，﹣26）．
故答案为：（﹣6，﹣26）．
14．若 是关于x的二次函数，则m的值为 2 ．
y=(m−4)xm2−6m+10+2x+5
【答案】2．
【解答】解：由题意得，{m2−6m+10=2)，
m−4≠0
解得：m＝2，
故答案为：2．
15．已知二次函数 y＝x2﹣2x+c的图象上 A，B，C三点的坐标分别为（m﹣1，y ），（m，﹣4），
A
（m+1，y ）．若y ＝y ，则c的值为 ﹣ 3 ．
C A c
【答案】﹣3．
【解答】解：由条件可知（m﹣1，y ），（m+1，y ）关于对称轴对称，
A C
∵y＝x2﹣2x+c，
m−1+m+1 −2
∴ =− ，
2 2
∴m＝1，
∴点B的坐标为（1，﹣4），
把（1，﹣4）代入y＝x2﹣2x+c，得：
1﹣2+c＝﹣4，解得：c＝﹣3．
故答案为：﹣3．
a 4
16．若二次函数y＝x2﹣3x﹣5+a与x轴有两个不同交点，且关于y的分式方程 + =3的解为非负
y−2 2−y整数，则所有满足条件的整数a值之和是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：由题意可得：（﹣3）2﹣4（﹣5+a）＞0，
29
即a＜ ，
4
a 4 a+2
解关于y的分式方程 + =3，可得y= 且y≠2，
y−2 2−y 3
∵解为非负整数，
a+2
∴ ≥0，a≠4，a+2为3的倍数，
3
解得：a≥﹣2，
∴a＝﹣2或1或7，
∴满足条件的所有a值的和为：﹣2+1+7＝6，
故答案为：6．
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，5），（4，5），将线
段MN向下平移k（k＞0）个单位长度后与抛物线有两个交点，则k的取值范围是 3 ＜ k ≤ 7 ．
【答案】3＜k≤7．
【解答】解：由条件可知直线MN的解析式为y＝5，
将线段MN向下平移k（k＞0）个单位长度后得到的解析式为y＝5﹣k，
∵平移后与抛物线有两个交点，
∴联立方程得，﹣x2+4x﹣2＝5﹣k，整理得，x2﹣4x+7﹣k＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（7﹣k）＞0，
解得k＞3，
在二次函数y＝﹣x2+4x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴当线段MN平移到二次函数与y轴交点处仍有两个交点，即k＝7，
∴3＜k≤7，
故答案为：3＜k≤7．
18．若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是 ﹣ 1 ＜ s ＜ 0 ．
【答案】﹣1＜s＜0．
【解答】解：根据题意“倍值点”一定在直线y＝2x图象上，
令（t+1）x2+（t+2）x+s＝2x，
整理得：（t+1）x2+tx+s＝0，
∵若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，
∴Δ＝t2﹣4（t+1）•s＞0，
令w＝t2﹣4（t+1）•s＝t2﹣4st﹣4s，
∵w＞0，
∴Δ＝16s2+16s＜0，即s（s+1）＜0，
解得：﹣1＜s＜0．
故答案为：﹣1＜s＜0．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣m（m为常数）．
（1）求证：函数与x轴有两个交点；
（2）若当x≥3时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）m≤8．
【解答】（1）证明：∵判别式Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4，
又∵m2≥0，
∴m2+4＞0，
∴二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣m与x轴有两个交点．
m−2
（2）解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣m的对称轴为x= ，开口向上，
2
又∵y随x的增大而增大，
m−2
∴ ≤3，
2
解得：m≤8，
∴当x≥3时，y随x的增大而增大，m的取值范围是m≤8．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝x2﹣（a+1）x﹣a的图象经过点N（3，2）．
（1）求a的值和该二次函数的顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求函数y的取值范围．【答案】（1）a的值为1，该二次函数的顶点坐标为（1，﹣2）；
（2）当0＜x＜3时，函数y的取值范围是﹣2≤y＜2．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣（a+1）x﹣a的图象经过点N（3，2），
∴2＝32﹣（a+1）×3﹣a，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），
由上可得，a的值为1，该二次函数的顶点坐标为（1，﹣2）；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝2，当x＝1时，该函数取得最小值﹣2，
∴当0＜x＜3时，函数y的取值范围是﹣2≤y＜2．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）4．
{a+2a+c=0)
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得 ，
c=3
{a=−1)
解得 ，
c=3
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y有最大值4，
当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4，
∴m＝4，n＝0，∴m﹣n＝4﹣0＝4．
22．（8分）某商店销售一种商品，已知该商品每件的成本价为40元，当该商品每件的售价为50元时，
每天可以售出100件．市场调研表明，每件的售价每上涨5元，每天的销售量就会减少10件．设该商
品每件的售价为x元，每天销售量为y件，每天的总利润为W元．
（1）求销售量y与售价x之间的函数关系式；
（2）求当售价x为多少元时，每天的总利润W最大？最大利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
x−50
【解答】解：（1）根据题意得：y=100−10⋅ =−2x+200；
5
（2）根据题意得，
W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
∴当x＝70时，W最大，W最大 ＝1800，
答：当售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是1800元．
3
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知B（0，2），C(1，− )，点A在x轴正半轴上，且OA
2
＝2OB，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A，C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n
的关系．
1
【答案】（1）y= x2−2x；
2
（2）m+2n＝6．
【解答】解：（1）解：∵B（0，2），OA＝2OB，
∴OB＝2，OA＝4，
∴A（4，0），3
∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（4，0），C(1，− )，
2
∴ { a+b=− 3 ) ，
2
16a+4b=0
解得 { a= 1 ) ，
2
b=−2
1
∴二次函数的表达式是y= x2−2x；
2
1 1
（2）由（1）知抛物线的解析式为y= x2−2x可化为y= (x−2) 2−2．
2 2
∴其顶点坐标为（2，﹣2）
∵抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，
1
∴平移后得到抛物线y= (x−2−m) 2−2+n，其顶点坐标是（2+m，﹣2+n）．
2
设直线AB的函数表达式y＝kx+d（k≠0），
∵A（4，0），B（0，2），
{ d=2 )
∴ ，
4k+d=0
{
d=2
)
解得： ，
1
k=−
2
1
∴直线AB的函数表达式是y=− x+2．
2
1
∴− (2+m)+2=−2+n，
2
∴m+2n＝6．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴正半轴，y轴负半轴分别相交于点A，B，且OA＝OB，点
G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个
单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（不含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标y 的取值范围．
Q【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，G（1，﹣4）；
（2）﹣4≤y ＜12或5＜y ＜12．
Q Q
【解答】解：（1）取x＝0，则y＝c，
∴B（0，c），
∴A（﹣c，0），
把点A代入抛物线的解析式，
得：0＝（﹣c）2﹣2×（﹣c）+c，
解得c＝0（舍去）或c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴G（1，﹣4）；
（2）∵点M到对称轴的距离为3个单位，
∴x ＝1﹣3＝﹣2或x ＝1+3＝4，
M M
∴y ＝5，
M
∴M（﹣2，5）或M（4，5），
∵点N到对称轴的距离为4个单位，
∴x ＝1﹣4＝﹣3或x ＝1+4＝5，
N N
∴y ＝12，
N
∴N（﹣3，12）或N（5，12），
又∵M在N的左侧，
∴M，N的坐标为（﹣2，5），（5，12）或（4，5），（5，12），
若M，N的坐标为（﹣2，5），（5，12），
则﹣4≤y ＜12，
Q
若M，N的坐标为（4，5），（5，12），
则5＜y ＜12．
Q25．（10分）【探究】某校人工智能科技小组，用电脑模拟飞行器实验，以点 O为原点，以水平直线OA
为x轴，以过点O且垂直OA的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，从点O向右上方发射飞行器，
15
飞行器的飞行路线是抛物线y＝ax2+bx（a＜0），在离点O水平距离为 时，飞行器达到最大高度，最
2
15
大高度为 ，在飞行到B点时，智能科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线 y＝
4
kx+8.1，直至落在x轴上的点A处．
（1）求a、b、k的值；
（2）在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离．
【拓展】在上述情境中，从O点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，使抛物线y＝axx+bx（a＜0）中
b的值保持不变，当飞行器的水平距离为9时，飞行器的飞行路线变轨为直线y＝kx+m，此时k的值不
变，若OA＞15，求a的取值范围．
1 1
【答案】（1）− ，1，− ；
15 2
2
（2）8.4；【拓展】− ＜a＜0．
27
15 2 15
【解答】解：探究：（1）设抛物线为y=a(x− ) + ，
2 4
15 2 15
∴0=a(0− ) + ，
2 4
1
∴a=− ，
15
1 15 2 15 1
∴y=− (x− ) + =− x2+x，
15 2 4 15
∴b＝1．
1 1 18
∵x＝9时，y=− x2+x=− ×92+9= ，
15 15 5
18
∴B(9， )，
5∵点B在直线y＝kx+8.1上，
18
∴ =9k+8.1，
5
1
∴k=− ；
2
1
（2）∵2.4=− x2+x，整理得：x2﹣15x+36＝0．
15
解得：x ＝12＞9（不合题意，舍去），x ＝3．
1 2
1
∵y=− x+8.1．
2
1
∴2.4=− x+8.1
2
解得：x＝11.4，
∴11.4﹣3＝8.4．
答：距离为8.4．
拓展：
当x＝9时，y＝ax2+x＝81a+9，
∴B（9，81a+9），
9
{81a+9=− +m)
∴ 2 ，
1
0=− ×15+m
2
2
{a=− )
∴ 27 ，
15
m=
2
2
∴− ＜a＜0时，OA＞15．
27
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不
存在，说明理由（4个坐标）．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3），
{
a−b+c=0
)
∴ c=3 ，
4a+2b+c=3
{a=−1
)
解得 b=2 ，
c=3
所以，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
{−k+b=0)
则 ，
2k+b=3
{k=1)
解得 ，
b=1
所以，直线AB的解析式为y＝x+1，
设点P的横坐标为x，∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为x，
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1），
＝﹣x2+x+2，
1 9
＝﹣（x− ）2+ ，
2 4
∵点P在线段AB上，
∴﹣1≤x≤2，
1 9
∴当x= 时，线段PQ的长度最大，最大值为 ；
2 4
（3）由（1）可知，抛物线对称轴为直线x＝1，
①AB是直角边时，若点A为直角顶点，则直线AM的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
此时，点M的坐标为（1，﹣2），
若点B为直角顶点，则直线BM的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝1时，y＝﹣1+5＝4，
此时，点M的坐标为（1，4），
②AB是斜边时，设点M的坐标为（1，m），
则AM2＝（﹣1﹣1）2+m2＝4+m2，BM2＝（2﹣1）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，
由勾股定理得，AM2+BM2＝AB2，
所以，4+m2+1+（m﹣3）2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，
整理得，m2﹣3m﹣2＝0，
3±❑√17
解得m= ，
2
3+❑√17 3−❑√17
所以，点M的坐标为（1， ）或（1， ），
2 2
3+❑√17 3−❑√17
综上所述，抛物线的对称轴上存在点M（1，﹣2）或（1，4）或（1， ）或（1， ），
2 2
使△ABM为直角三角形．
