文档内容
第七章 相交线与平行线
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 对同位角、内错角、同旁内角辨别不清............................................................................................1
易错题型二 平行线的判定和性质多结论题............................................................................................................3
易错题型三 旋转使两直线平行的多解题................................................................................................................8
易错题型四 角的边平行的多解问题......................................................................................................................15
【压轴题型】...............................................................................................................................................................17
压轴题型一 平行线的判定和性质综合问题..........................................................................................................17
压轴题型二 根据平行线的判定与性质探究角的关系..........................................................................................23
压轴题型三 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题..............................................................................29
压轴题型四 根据平行线的判定与性质接解决光线问题......................................................................................37
压轴题型五 根据平行线的判定与性质探解决平移问题......................................................................................43
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 对同位角、内错角、同旁内角辨别不清
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（ ）
A． 与 互为内错角 B． 与 互为内错角
C． 与 互为同旁内角 D． 与 互为同位角
巩固训练
1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 和 是同旁内角 B． 和 是内错角
C． 和 是同位角 D． 和 是同旁内角
2．（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）如图， 的同位角是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·广东·期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A． 与 是同旁内角 B． 与 是同位角
C． 与 是内错角 D． 与 是对顶角
易错题型二 平行线的判定和性质多结论题
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，垂足为 ， 、 分别
是 和 的平分线，则下列五种说法：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中一定正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
巩固训练
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学科网（北京）股份有限公司1．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图， ，F为 上一点， ，且 平分 ，
过点F作 于点G，且 ，则下列结论：① ；② ；③
平分 ；④ 平分 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形 中，已知 ， ，
．对于下列五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 与 互
补．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图， ， 平分 ，下
列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤若
，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
易错题型三 旋转使两直线平行的多解题
例题：（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含 角
的三角尺 固定不动，将含 角的三角尺 绕顶点 顺时针转动(转动角度小于 )，当 与
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学科网（北京）股份有限公司三角尺 的其中一条边所在的直线互相平行时， 的度数是（ ）
A． 或 或 B． 或 或
C． 或 或 D． 或 或
巩固训练
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，
， ， ， ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）若将三角形 绕点 转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则 的度数为 ．
2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图， ，点 ， 分别是 ， 上的一点，射线 绕点
顺时针旋转，速度为每秒 度，射线 绕点 顺时针旋转，速度为每秒 度，旋转至与 重合便立
即回转，当射线 旋转至与 重合时， 与 都停止转动．若射线 先转动 秒，射线 才开
始转动，则射线 转动 秒后， 与 平行．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中
），固定三角尺 ，将三角尺 以每秒 的速度绕点B按逆时针方向旋
转 停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺 的一边与三角尺 的某一
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学科网（北京）股份有限公司边平行（不共线）．
易错题型四 角的边平行的多解问题
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角
的4倍少30度，则角α的度数为 ．
巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）画一画：在图①中，以P为顶点画 （ 为锐角），使
的两边分别与 的两边平行；再在图②中，以P为顶点画 （ 为钝角），使 的两边分
别与 的两边平行．
（2）量一量：量出 与 的度数，它们之间的数量关系是_______．
（3）猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角的数量关系是_______．
（4）做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为 ，求另一个角的大小．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 平行线的判定和性质综合问题
例题：（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图， 于点D， 于点F，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数．
(2)求证： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在 中， ， 、 是 、 上的两点，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数．
2．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，直线 ， 交于点 ，点 在 的左侧，且满足
， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， 于点 ， ，求 的度数．
3．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在三角形 中，D、E、F分别是 、 、 上的点，
且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，试判断 与 是否垂直，并说明理由；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知 ．
(1)感知与探究：
如图1，已知 请求出 的度数；
(2)问题迁移：
如图2， 、 分别是 的角平分线， 的反向延长线与 相交于点F，猜想
与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展：
在（2）的条件下，若 ，则 的度数是_____________．
压轴题型二 根据平行线的判定与性质探究角的关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ．点 是射线 上一动点
（与点 不重合），CE，CF分别平分 和 交射线 于点E，F．
(1)求 的度数，若 ，请直接用含 的式子表示 ；
(2)随着点 的运动，设 ， ， 与 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出
此数量关系；若改变，请说明理由；
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学科网（北京）股份有限公司(3)当 时，请直接写出 的度数．
巩固训练
1．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图， ，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若 ， ，则 _______；
(2)如图2，试说明， ；
(3)如图3，若 的平分线与 的平分线相交于点F，判断 与 的数量关系，并说
明理由．
2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线 与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，
平分 交直线 于点 ， ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)点 是射线 上的一个动点（不与点 ， 重合）， 平分 交直线 于点 ，过点 作
交直线 于点 ．设 ， ．
①如图2，当点 在点 的左侧，且 时，求 的值；
②当点 在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
压轴题型三 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图1， 为直线 上一点，过点 在直线 的上方作射
线 ，使 ．将一块直角三角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边
在直线 的下方，其中 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)将图1中的三角板绕点 顺时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，求
的度数；
(2)将图1中的三角板绕点 按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，
边 恰好与射线 平行；第______ 时，直线 恰好平分锐角 ；
(3)将图1中的三角板绕点 顺时针旋转至图3，使 在 的内部，请探究 与 之间
的数量关系，并说明理由．
巩固训练
1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，图2，直线 ，将一副三角板中的两块直角三角尺
和三角尺 的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，
， ， ， ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图1，点H在 内部， ．若 ，求n的值；
(3)如图2，固定三角尺 的位置不变，转动三角尺 的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点
C，D重合，且点E在直线 的右侧，当三角尺 与三角尺 有一组边平行（不包括共线的情
况）时，直接写出 的度数的最大值与最小值的差．
2．（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
【实践操作】
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学科网（北京）股份有限公司(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在 上，且 ，求 的度数；
(2)如图2，小红将一个三角板 放在一组直线 与 之间，并使顶点A在直线 上，顶点C在
直线 上，现测得 ， ，请判断直线 ， 是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板 按图3方式摆放，使顶点C在直线 上，顶点A在直线 上，若 ，请
求出 与 之间的关系式．
3．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为
《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板 （ ，
），三角板 （ ， ）．
(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点 落在 上，点 与点 重合，且 ，
________．
(2)如图2，小亮将一个三角板 放在一组直线 与 之间，并使顶点 在直线 上，顶点 在
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学科网（北京）股份有限公司直线 上，现测得 ， ，请判断直线 ， 是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板 和三角板 按图3的方式摆放，使顶点 在直线 上，顶点 在直线 上，
，直角顶点 与 重合．
①若点 、 、 在同一直线上，则 与 之间的关系式为________；
②若点 、 、 不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则 、 与 之间的关系式
为________．
压轴题型四 根据平行线的判定与性质接解决光线问题
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜 放置在水平桌面
上，激光笔 与水平天花板 的夹角 为 ，激光笔发出的入射光线 射到 上后，
反射光线 与 形成 ．由光的反射定律可知， 、 与 的垂线 所形成的夹角始终
相等，即 ．
(1) 的度数为_____．
(2)如图2，点 固定不动，调节支架平面镜 ，调节角为 ．
①若 ，求 的度数；
②若反射光线 恰好与 平行，求 的度数．
巩固训练
1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境
适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3
是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架 、 为固定支撑杆，支架 可绕点 旋转，从
而调节灯光照射方向．已知灯体顶角 ， 的平分线 始终与 垂直．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数：
(2)如图2，当支架 旋转至水平位置时， 恰好与 平行，求支架 与水平方向夹角 的度数；
(3)若（2）中支架 与水平方向的夹角 的度数保持不变，将 绕点 旋转到如图3的位置，旋转
后 ，求此时 与水平方向 的夹角 的度数．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射
镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直， ， 代表两块平面
镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线． 是进入潜望镜的光线，它与
入射镜筒壁平行，与直管壁垂直， 是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于
反射角的原理，如： ， ．设 ， ．
(1)如图1，当 时，
①求证： ；
②若光线 与直管壁平行，则 的度数为________；
(2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁 处时，若在 处放置一块平面镜，使光线经
平面镜上的点C处反射到平面镜 上的点D处，并调整平面镜 的位置，使 ．则此时
与 满足怎样的数量关系？并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司压轴题型五 根据平行线的判定与性质探解决平移问题
例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1， ， ， ．
(1) __________度；
(2) 与 平行吗？ 与 平行吗？请直接写出判断的结果．
(3)将图1中的 平移到 ，交射线 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，如图2所示．若
，求 的度数．
巩固训练
1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形 的边 在数轴上，O为原点，长方形
的面积为30， 边长为5．
(1)数轴上点A表示的数为__________；
(2)将长方形 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 ，移动后的长方形 与原长方
形 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形 面积的一半时，数轴上点 表示的数为__________；
②设移动距离 ．
ⅰ）当 时， __________；
ⅱ）D为线段 的中点，点E在线段 上，且 ，当点D表示的数是点E表示的数的2
倍时，求x的值．
2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形 中， 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图 ，延长 交 的延长线于点 ，延长 至点 ，连接 ，使得 ，求
的度数；
(2)如图 ，连接 ， ，延长 至点 ，使得 平分 ．将三角形 沿射线 方向平
移，使点 的对应点 在 的延长线上，点 ，点 的对应点分别为点 ，点 ，作 于点
．
若 ，请在图中找出一条线段的长度与 相等，并说明理由；
当 ， ， 时，判断 和 的大小关系，
并说明理由．
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