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第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
1
A．y= B．y＝2x
x2
C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c
2．下列抛物线中，对称轴是直线x＝﹣1的是（ ）
A．y＝x2+4x B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2x2+4x D．y＝﹣2x2+4x
3．把抛物线y＝x2向右平移2个单位，然后向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣（x+2）2﹣3
C．y＝（x+2）2+3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3
4．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x …… ﹣2 0 1 3 ……
y …… 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 ……
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y随x值得增大而增大
5．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物
线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m﹣2，m+2时，
对应的函数值为y ，y ，则y ，y 满足（ ）
1 2 1 2
A．y ＜0，y ＜0 B．y ＞0，y ＞0 C．y ＞0，y ＜0 D．y ＜0，y ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
7．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元
二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣3 D．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线另一侧
于点B，点C，D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点，
则四边形CDFE周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．2❑√3−2 D．8❑√5−8
10．已知二次函数y＝x2﹣4x的图象过点A（3，y ），B（﹣1，y ），C（﹣2，y ），则y ，y ，y 的大小
1 2 1 1 2 3
关系为（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣ab
1，则过点M( ，b−2a)和N（c﹣a，4ac﹣b2）的直线一定不经过（ ）
c
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；
②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为 ．
y=(m−1)xm2+1+5x+3
14．将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是 ．
15．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度 h（单
位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最
高点所需的时间是 s．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+c与直线y＝mx+n交
于A（2，p），B（﹣4，q）两点，则不等式ax2﹣mx﹣n+c≤0的解
集是 ．17．当n≤x≤n+1时，二次函数y＝x2+2x+3的最大值与最小值的差为3，则n＝ ．
1
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 为函数y＝﹣x2+mx− m2+m的图象，抛物线C 为函数y＝x2
1 2
4
﹣2mx+m2﹣m的图象（m＞0），C 与x轴交于点A，B，C 与x轴交于点C，D，当CB＝BD时，m为
1 2
．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知y＝（k+2） 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
xk2+k−4
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
1
20．（8分）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线y= x+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，
2
3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
21．（8分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数图象抛物线的解析式；
（2）将函数图象向右平移几个单位，该函数图象恰好经过原点．
22．（8分）如图，某校劳动实践基地用总长为 80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为
38m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行
的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
（2）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？23．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B
（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM
的最大值及此时点P的坐标．
24．（10分）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润 y（万元）与每月减少
的碳排放量x（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为 0吨时，工厂利润为50万元；
之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经
过数据分析，发现利润y与减少碳排放量x之间满足二次函数关系：y＝﹣x2+20x+50．
（1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义．
（2）若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？
（3）根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下
个月利润的最大值．
25．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）的图象经过点（﹣4，﹣5）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若a＜0，点A（﹣1，y ），B（m，y ）在该函数图象上，且y ＞y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
（3）当x≥﹣4时，y≤﹣1，求该二次函数的解析式．
26．（10分）在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉
的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边 18米．随
着音乐的变化，抛物线的顶点在直线y＝kx（k≠0）上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物
线的统一形式为y＝ax2+bx（a＜0）．1
（1）若k= ，
2
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为4m，求a、b的值；
（2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线y＝x上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时a的取
值范围．
