单元测试第二十二章二次函数（夯实基础培优卷）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第3套）

【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教 版） 【单元测试】第二十二章 二次函数 （夯实基础培优卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共有 8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为x=1， ∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质． 2．已知二次函数 ， ，则下列结论一定正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数 ，若 ，则新的二次函数二次项系数 要大于0，并且 ，据此求解即可．【详解】解： ， 选项A：若 ，则 ， ，无法判断 的符号，故此选项不符合题意； 选项B：若 ，则 ， ，则 故此选项符合题意； 选项C：若 ，则 ，则 这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有 ，故此选项不符合题意； 同理选项D也不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 3．如图，已知OA所在直线解析式为 ，点P在线段OA上，PQ 轴且与抛物线 相交于点 Q，则当PQ＝3时，点Q的坐标为（ ） A．(1，-2) B．(1，-2)或(2，-2) C．(2，-2) D．(1，-2)或(3，0) 【答案】D 【分析】由OA所在直线解析式为 ，点P在线段OA上，设点P(x，x)，从而得Q(x， )，进而由 PQ＝3，可得方程x-( )=3，解该一元二次方程即可求解． 【详解】解：由OA所在直线解析式为 ，点P在线段OA上，设点P(x，x)， ∵PQ 轴且与抛物线 相交于点Q， ∴Q(x， )，∵PQ＝3，点P在线段OA上， ∴x-( )=3， 解得x=1或x=3， ∴点Q的坐标为(1，-2)或(3，0)． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的图像及性质、解一元二次方程以及坐标与图形，根据条件设出坐标点列出方 程是解题的关键． 4．要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2（x﹣1）2+3，则抛物线y＝2x2必须( ) A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【分析】由x到x-1是函数图像向右平移1个单位，在函数末尾+3是函数图像向上平移3个单位 【详解】解：函数中的由x到x-1是函数图像向右平移1个单位， 在函数末尾+3是函数图像向上平移3个单位 故选B 【点睛】本题考查二次函数的平移问题，记住左加右减，上加下减是本题关键． 5．如图，一次函数y＝kx+n（k≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6， 1 2 2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6 【答案】A 【分析】根据一次函数与二次函数的交点的横坐标结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+n（k≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B 1 2 （6，2）两点， 根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6．故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点求不等式的解集问题，数形结合是解题的关键． 6．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个 解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 【答案】B 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质． 【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取 值即可． 7．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标 为 ，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 【答案】C 【分析】根据题意待定系数法求解析式，再令 ，即可求解． 【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为 ，点A的坐标为 ，∴ ， 解得 ， ， 令 ， ， 即 ， 解得 （舍去） ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，掌握二次函数 的性质是解题的关键． 8．如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4 cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以 cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到 点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出 与 的长，以及 、 运动到终点所用的时间，将整个运动过程分为 两段，分别计算 与 时 的表达式，进而分析其函数图象．【详解】解： 是 的中点， ， 在 中， ， 同理， ． ． ①当 时，点 在 上，点 在 上， ， （如图①所示）， 由三角形高相同可得： ， 函数 的图象是一条开口向上的抛物线，故排除AC； ②当 时，点 与点 重合，点 在 上， （如图2所示）， ， 函数 的图象是一条直线，排除B．故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点 和 的位置不同确定三角形面积的表达式不同，解 决本题的关键是分类讨论思想的运用，以及函数关系式的建立． 二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分） 9．点 ， 在抛物线 上，则 ____________ （填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【分析】根据题意把x的值代入函数解析式进行计算，进行比较大小即可得到答案． 【详解】解：代入 ， ，可得： ， ， 因为 ，所以 . 故答案为：＜. 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的点的坐标都满足函数函数关系 式是解题的关键． 10．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A，B在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B的坐标为________． 【答案】（4，3） 【分析】根据A和B关于x=2对称，求得（0，3）关于x=2的对称点是关键． 【详解】解：点A的坐标为（0，3），关于x=2的对称点是（4，3）．即点B的坐标为（4，3）． 故答案是（4，3）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质，理解A和B关于x=2对称是关键． 11．如图，在正方形 中， ， 为对角线 上一动点， 为射线 上一点，若 ， 则 的面积的最大值为__________．【答案】16 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM=DM，设PM=DM=x，则AM=4 x，根据等腰三角形 的性质即可得出AF=2（4 x），由三角形面积公式得出 ，根据二次函数的性质即可求 得结果． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ． 是正方形 的对角线， ， 是等腰直角三角形， ． 设 ，则 ． ， ， ． ， ， 当 时， 有最大值，且最大值为16． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次 函数的性质是解题的关键．12．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝ 0的解是_________． 【答案】x＝﹣3，x＝1 1 2 【分析】根据抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），可得方程 ax2＝bx+c的解为x＝﹣3，x＝1，即可求解． 1 2 【详解】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3）， ∴方程ax2＝bx+c的解为x＝﹣3，x＝1， 1 2 ∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x＝﹣3，x＝1， 1 2 故答案为：x＝﹣3，x＝1． 1 2 【点睛】本题考查了一次函数与抛物线交点问题，理解交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 13．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱 笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与 x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __． 【答案】 【分析】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围． 【详解】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米， 则S与x的之间的函数表达式为： ；由题意可得： ， 解得： ． 故答案为： ， ． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是正确表示出长方形的长． 14．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 ， ，液体高度 ，将杯子绕 倾斜倒出部 分液体，当倾斜角 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ________ ，液面 到点 所在水平地面的距离是________ ． 【答案】 【分析】建立以抛物线对称轴为y轴，以DC为x轴的平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交 x轴于F点，过B作 于M点．分别求出抛物线、直线BE的解析式，以及E点坐标，利用长度公 式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案． 【详解】解：依题意建立如图平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作 于M点，依题意得： ，BM=12， 设抛物线的解析式为： 把A、B、C点坐标代入 得： ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵∴ 设直线BF的解析式为： 把B、M点坐标代入 得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴C到点BE的距离为：故图2中液面 到点 所在水平地面的距离是 故答案为： ， 【点睛】本题考查了二次函数与实际问题的应用，计算量较大，需要学生熟练掌握二次函数与一次函数交 点问题，以及利用勾股逆定理来判别直角三角形． 三、解答题（本大题共有9小题，共52分；第17-20小题每小题4分，第21-22小题每小题 5分，第23小题6分，第24小题8分，第25小题12分） 15．如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与 轴交点为 ，求 ． 【答案】(1)y=-x2+2x+8； (2)S BCD=6． 【分△析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，把点(4，0)代入可求得a=-1，据此即可求解； （2）过点C作CE⊥y轴于点E，利用S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD计算即可求解． 梯形 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为C△(1，9)， △ △ ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9， ∵抛物线与x轴交于点B(4，0)， ∴a(4-1)2+9=0， 解得：a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+9=-x2+2x+8； （2）解：过点C作CE⊥y轴于点E，∵抛物线与y轴交点为D， ∴D(0，8)， ∵B(4，0)，C(1，9)， ∴CE=1，OE=9，OD=8，OB=4， ∴S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD 梯形 △ △ △ = (1+4)×9- ×1×1- ×4×8 =6． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解析式 是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点 的坐标为 ，且与 轴交于 、 两点， 为抛物 线上任一点，直线 交抛物线于点F ．(1)求这个抛物线相应的函数表达式； (2)如图1，当E点的横坐标为2时，点P是直线EF下方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交直线 EF于点Q，求PQ的最大值； 0，2 l x E EH l H F D H (3)如图2，过点 作直线 平行于 轴，过点 作 于点 ，试说明 、 、 三点在同一条直 线上． yx21 【答案】(1) 25 (2) 24 (3)见解析 y=ax2-1 a 【分析】（1）利用顶点式，设抛物线的解析式为 ，利用待定系数法求出 即可； 3 （2）先确定点E2,3和直线 的解析式 y x ，然后通过解由二次函数解析式和正比例函数解析式建 EF 2 F   1 , 3  P  m,m21   1 m2   Q   2 m2 2 ,m21   立的方程组可确定  2 4，设  2 ，从而得出 3 3 ，得到 2 3 2 25 PQ m   3 4 24，最后利用二次函数的最值可求出PQ的最大值； 1 （3）设E  n,n21 ，根据题意可得出Hn,2，D0,1，确定直线 的解析式y x1和直线 DH n EFn21 y x 的解析式 n ，然后通过解由二次函数解析式和正比例函数解析式建立的方程组可确定  1 1  1 F , 1，再把点 的坐标代入直线 的解析式为y x1进行验证，即可得出结论．  n n2  F DH n 0，1 A1，0 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点 D 的坐标为 ，且与 x 轴交于 、B两点， y=ax2-1 设抛物线的解析式为 ， a1210 ∴ ， 解得：a1， yx21 ∴这个抛物线相应的函数表达式为 ． （2）∵点E的横坐标为2，且点E在抛物线上， x2 y2213 ∴当 时， ， E2,3 ∴ ， 设直线EO的解析式为ykx， E2,3 EO ∵点 在直线 上， ∴2k 3， 3 k= ∴ ， 2 3 3 y x y x ∴直线 的解析式为 ，即直线 的解析式为 ， EO 2 EF 2 ∵直线EO交抛物线于点F ，  3 y x ∴ 2 ，  yx21  1 x    2 2 解得：x 2， ，  1 y  3 y 3  2 4 1 1 3 F ,  ∴  2 4， ∵点P是直线EF下方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交直线EF于点Q， P  m,m21   1 m2   设  2 ， 2 2  ∴Q m2 ,m21， 3 3  2 2 2 2 2 3 2 25 PQm m2  m2m  m   ∴ 3 3 3 3 3 4 24， 3 25 ∴当m 4 ， PQ 最大 = 24 ． （3） 0，2 l x E EH l H ∵过点 作直线 平行于 轴，过点 作 于点 ， E  n,n21  设 ， Hn,2 ∴ ， D0,1 ∵ ， yk xb 设直线 DH 的解析式为 1 ， b1  ∴nk b2， 1  1 k  解得： 1 n ，  b1 1 ∴直线 的解析式为y x1， DH n yk x 设直线 EF 的解析式为 2 ， E  n,n21  ∵ ，nk n21 ∴ 2 ， n21 k  ∴ 2 n ， n21 y x ∴直线EF的解析式为 n ，  n21 y x ∵ n ，  yx21  1 x    2 n 解得：x n ， ，  1 y  1 1 y n21  2 n2 1  1 1  ∴F , 1，  n n2  1 ∵直线 的解析式为y x1， DH n 1 1  1 1 x y  1 1 当 n时， n  n n2 ， ∴点F 在直线DH 上， ∴F 、D、H 三点在同一条直线上． 【点睛】本题是二次函数和一次比例函数综合题，涉及到用待定系数法确定二次函数解析式、正比例函数 解析式、一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数和正比例函数图像上点的坐标特征，解方程（组） 等知识点．解题的关键掌握两点：（1）通过解方程组确定函数交点的坐标；（2）通过将点的坐标代入解 析式进行验证来确定点是否在图像上． 1 17．定义：若抛物线y 1 a 1 xh2k 1 与抛物线y 2 a 2 xh2k 2 ．同时满足a 2 4a 1 且k 2  4 k 1 ，则称 这两条抛物线是一对“共轭抛物线”． 1 (1)已知抛物线y 1  4 x2bxc与y x22x3是一对共轭抛物线，求y 的解析式； 2 1 4 2 (2)如图1，将一副边长为 的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立y y y y 平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为 1，经过A、B、C的抛物线为 2，请立接写出 1、 2的 解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线． 1 1 63 【答案】(1) y 1  4 x2 2 x 4 1 1 (2) y 1  8 x28，y 2  2 x22，y 、y 是一对共轭抛物线 1 2 y x22x3 a k 【分析】（1）将 2 化作顶点式，可求出 2， h 和 2的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出 a k y 1， h 和 1的值，进而求出 1的解析式； （2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点A，B，C，D，E的坐标， y y 分别求出 1和 2的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解． y x22x3x124 【详解】（1）解： 2 ， a 1 h1 k 4 ∴ 2 ， ， 2 ， 1 ∵抛物线y 1  4 x2bxc与y x22x3是一对共轭抛物线， 2 a 1 ∴a 1  4 2  4 ， h1 且k 4k 16， 1 1 1 1 1 63 y  x1216 x2 x ． 1 4 4 2 4 （2）解：如图，DF  AF 4 2 AGGF DGGF 4 EG2 HG2 BC 4 OF 2 由题意得， ，则 ， ， ， ， ， ∵点O为BC的中点，∴BOOC 2， B2,0 C2,0 A4,6 D4,6 E0,8 ∴ ， ， ， ， ， y a x4x46 y a x2x2 ∴可设抛物线 1 1 ，与抛物线 2 2 ， 1 1 ∴16a 1 68，4242a 2 6，解得：a 1  8 ， a 2  2 ， 1 1 ∴抛物线y  x4x46 x28， 1 8 8 1 1 抛物线y  x2x2 x22， 2 2 2 1 1 ∴a 1  8 ， h0 ，k 1 8， a 2  2 ， h0 ，k 2 2， 1 1 1 ∵ 4 ， 82， 8 2 4 1 ∴满足a 4a 且k 2  4 k 1 ， 2 1 y y ∴ 1、 2是一对共轭抛物线． 【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式， 一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键． 5 18．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0， ）． 3（1）求该抛物线的解析式； 2 （2）若直线y＝kx  （k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x，x，当x2+x2＝10时，求k 3 1 2 1 2 的值； 4m （3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值 ，求m的值． 3 1 2 9 【答案】（1）y 3 x223；（2）k 1 2,k 2  3 ,；（3）m 5或 4 .  5 A0,  【分析】（1）把  3代入抛物线的解析式，解方程求解即可； 1 2 （2）联立两个函数的解析式，消去 得： x223kx ,再利用根与系数的关系与 y, 3 3 x2x2 x x 22xx 10, 1 2 1 2 1 2 可得关于k的方程，解方程可得答案； m2, 2 m 8, m8, （3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜ ＜ 结合函数图象，利用函 数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.  5 【详解】解：（1）把 A  0, 3  代入 yax223 中， 5 4a3 , 3 1 a , 3 1 抛物线的解析式为：y x223.  3 （2）联立一次函数与抛物线的解析式得： 2 ykx   3  1 y x22 3  3 1 2  x223kx , 3 3 x243kx30, 整理得： x x 43k,xx 3, 1 2 1 2 x2x2 x x 22xx 10,  1 2 1 2 1 2 43k22343k2120, ∵x +x =4-3k，x •x =-3， 1 2 1 2 ∴x 2+x 2=（4-3k）2+6=10， 1 2 2 解得： k 2,k  , 1 2 3 2 ∴ k 2,k  , 1 2 3 （3）∵函数的对称轴为直线x=2， 4m 1 当m＜2时，当x=m时，y有最大值， =- （m-2）2+3， 3 3 5 5 解得m=± ，∴m=- ， 当m≥2时，当x=2时，y有最大值， 4m ∴ =3， 3 9 ∴m= ， 4 9 综上所述，m的值为- 或 ． 5 4 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，一元二次方程根 与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键. 1 19．如图，点A，B在函数y  x2 的图象上（非原点），直线AB与y轴交于点C，连接AO，BO， 4 AOBO ymxAOBO．设直线OA的解析式为 ymx （m＞0）． (1)求直线AB的解析式ykxb；（k，b可用含有m的式子表示） (2)求△ABO面积的最小值． m21 【答案】(1) y x4 m (2)16 OA P(1,m) P(1,m) O 90 P(m,1) 【分析】（1）设直线 上一点 ，将点 绕原点 逆时针旋转 得点 ，根据待定系 数法求得直线OB的解析式，然后分别与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组求得A、B的坐标，进 一步利用待定系数法即可求得直线AB的解析式； 8(m1)2 （2）求得 C 的坐标，然后利用 S S S 得到S ABO S ACO S CBO  m 16，根据二次函数的性 ABO ACO CBO 质即可求得ABO面积的最小值． OA P(1,m) P(1,m) O 90 P(m,1) 【详解】(1)解：设直线 上一点 ，将点 绕原点 逆时针旋转 得点 ． QAOB90， 点P(m,1)在直线OB上， 设直线OB的方程为：ykx， 将P(m,1)代入ykx得：1mk， 1 k  解得： ， m 1 直线 的解析式为 y x ，  OB m  1 y x2  4 由 ，  ymx A(4m,4m2) A(0,0) 得 ， （舍去）， 1 y x2   4  由 1 ， y x  m 4 4 B( ) 得 m ， m2 ，B(0,0)（舍去）， 设直线AB的解析式为ykxb， 4m2 4mkb  则 4 4 ，   kb m2 m 1 解得k m ， ， m b4 m21 y x4； m AB y C C(0,4) (2)解：设直线 与 轴交于点 ，则 ， 1 4 8(m21) 8(m1)2 S ABO S ACO S CBO  2 4[4m( m )] m  m 16，  m0， 当m1时，ABO的面积最小，最小值是16． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，待定 系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是求得A、B、C的坐标． 20．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三 边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门 不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米． (1)BC长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； ABCD 96m2 (2)若苗圃 的面积为 ，求x的值；(3)当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（36-3x） (2)8 22 308 (3)当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米 3 3 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC的 x 363x96  ABCD 长为（36-3x）米；（2）根据题意得， ，即可解得x的值；（3）设苗圃 的面积为 wx 363x3x62108 w，  ，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； x 363x96  （2）根据题意得， ， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃ABCD的面积为w， wx 363x3x62108  ， ∵4<36-3x14， 22 32 ∴ x ， 3 3 ∵-3<0，图象开口向下， 22 308 ∴当x 时，w取得最大值，w最大为 ； 3 3 22 308 答：当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米． 3 3 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 21．随着地铁和共享电动车的发展，“地铁+电动车”已成为很多市民出行的选择，小丽从文化宫站出发， 先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享电动车车回家，设她出地y 铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间 1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其 关系如下表： 地铁站 A B C D E x（千米） 8 10 11.8 13 15 y 1（分 10 11 11.9 12.5 13.5 钟） y (1)求 1关于x的函数表达式． 1 21 (2)小丽骑电动车的时间y （单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y 2  2 x2 2 x73来描述，请问： 2 小丽应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间． 1 【答案】(1) y 1 = 2 x6； (2)在B站出地铁，时间最短，为29min． 【分析】（1）根据数据表，运用待定系数法解答即可； y y 1 2 （2）设小丽从文化宫回到家所需的时间为 ，列出y与x的二次函数解析式，最后运用二次函数求最 值解答即可． y=kxb 【详解】（1）解：（1）设 1 ，将(8,10)，(10,11)代入得：  1 k= 8kb=10 ，解得 2 ，  10kb11  b6 1 ∴y = x6 1 2 （2）解：设小丽从文化宫回到家所需的时间为y，则： 1 1 21 1 1 y y  x6 x2 x73 x210x79 x10229 1 2 2 2 2 2 2 则当x=10时，y+y 取最小值29， 1 2 则应在B站出地铁，时间最短，为29min． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意，确定二次函数的解析式是解答本题的关键． 22．朝天城区某水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过讨价还价，实际价格每千克比 原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克． (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示 的一次函数关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)实际购进这种水果每千克20元 y11x440y (2)① ；②销售单价定为30元时利润最大，最大利润为1100元 【分析】（1）设实际购进这种水果每千克x元，则原来的价格为每千克（x+2）元，由题意列方程求解即 可； （2）①设一次函数的解析式为y=kx+b，结合图像，将点（25，165），（35，55）代入，利用待定系数法 求解即可；②设利润为w，根据题意列出利润关于销售单价的二次函数解析式，再根据二次函数的性质即 可获得结论． 【详解】(1)解：设实际购进这种水果每千克x元，由题意得 88x80(x2)， 解得：x=20， 即实际购进这种水果每千克20元； (2)①设一次函数的解析式为y=kx+b， 由图知，图像过点（25，165），（35，55），25kb165  将其代入函数解析式可得35kb55 ， k 11  解得b440， ∴y与x的函数关系式为y=-11x+440； ②设利润为w，由题意知 w(x20)y(x20)(11x440)， w11x2660x880011x3021100 即 ， 即销售单价定为30元时利润最大，最大利润为1100元． 【点睛】本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用，解题关键是找准等量关系 并正确列方程和函数的解析式． y =x2 A 23．已知，抛物线 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数点）从左到右依次为 1， A A A y =x2 l:yx M 2， 3，…， n．将抛物线 沿直线 向上平移，得到一系列抛物线，且满足①抛物线顶点 1， M M M l:yx A A A A 2， 3，…， n都在直线 上；②抛物线对应依次经过点 1， 2， 3，…， n． M M (1)顶点 1的坐标为______，求出顶点为 2的抛物线解析式； △PM M (2)在x轴上找一点P，使得 1 2的周长最小，求出P点的坐标，并求出周长的最小值； M (3)直接写出点 n的坐标．【答案】(1)(1，1)，y=(x-3)2+3； 2 52 2 (2) (3)(2n- 1，2n-1) y =x2 A 【分析】（1）抛物线 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数点）从左到右依次为 1， A A A A y =x2 l:yx 2， 3，…， n，可以求出 1的坐标，将抛物线 沿直线 向上平移，得到一系列抛物线，且 M M M M l:yx A A A 满足①抛物线顶点 1， 2， 3，…， n都在直线 上；②抛物线对应依次经过点 1， 2， 3， A A M …， n，可以得出平移后经过点 1的抛物线的解析式，即可求得 1的坐标，同样的方法，即可求得顶点 M 2 为 的抛物线解析式； （2）根据最短路径问题，作M 关于x轴的对称点G，连接GM ，与x轴的交点即为点P，此时的三角形的 1 2 周长最小，求解即可； （3）根据点的坐标规律和点在抛物线上，即可求得Mn的坐标． 【详解】(1)解：由题意知点 A 的坐标为(1，1)，设点M的坐标为(b，b)，则以点M为顶点的抛物线解析式 1 为y=(x-b)2+b， ∵点A(1，1)在抛物线y=(x-b)2+b上， 1 ∴1=(1- b)2+b， 解得b=1或b=0（舍去）， ∴M 的坐标为(1，1)； 1 同方法可得以点M 为顶点的抛物线解析式为y=(x-3)2+3； 2 (2)解：由（1）得M 的坐标为(1，1)，M 的坐标为(3，3)，作点M 关于x轴的对称点G(1，-1)，连接GM 1 2 1 2 交x轴于点P，如图，1kb  设直线GM 2 的解析式为ykxb，可得33kb， k 2  解得b3， ∴直线GM 的解析式为y=2x-3， 2 3 x 令 ，则 ， y0 2 3 ∴P( ，0)， 2 ∴△PMM 的周长的最小值为 1 2 PM PM M M GM M M  (31)2(31)2  (31)2(31)2 2 52 2 1 2 1 2 2 1 2 ； (3)解：∵抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A，A， 1 2 A，…，An， 3 ∴点An的坐标为(n，n2)， 设点Mn的坐标为（a，a）， 则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x-a)2+a， ∵点An(n，n2)在抛物线y=(x-a)2+a上， ∴n2=(n-a)2+a， 解得a=2n-1或a=0(舍去) ∴Mn的坐标为(2n- 1，2n-1)． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点式，点的坐标规律，以及最短路径问题，有一定的难度．