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第二十二章 二次函数（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当 时， ，那么当
成本为 元时，边长为（ ）
A． 厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设 ，
由待定系数法就可以求出解析式，把 代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】解：设 ，
当 时， ，
， ，
，
当成本为 元时，
有 ，
，
．
故选：B．
2．如表中列出的是一个二次函数的自变量 与函数 的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，
正确的是（ ）
0 3 4
0A．图象的开口向下 B．有最小值
C．图象与 轴的一个交点是 D．图象的对称轴是
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的
信息求得函数的解析式是解题的关键．
由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果．
【详解】解：设二次函数的解析式为 （ 、 、 为常数， ），
由题意可知 ，
解得 ，
二次函数的解析式为
，
函数的图象开口向上，顶点为 ，图象与 轴的交点分别为 和 ，
图象的对称轴是 ，函数有最小值 ，
选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
3．一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二
次函数 的图象相比是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符
合题意；
B、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意．
故选：B
4．坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点 、 皆在 轴上，且有一水平线与两图像相交于 、 、
、 四点，各点位置如图所示，若 ， ， ，则 的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
由 ， ， 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道， 和 ， 和 ， 和 横坐标的差，从
而推出 和 的横坐标之差，得到 的长度．
【详解】由 、 、 、 四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同
， ， ，
，
又
．故选：B．
5．如图是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为 ，且与x轴的一个交点在点 和
之间．则下列结论：① ；② ；③ ；④一元二次方程
有两个不相等的实数根；⑤若方程 的两根分别为 ，则 ．其
中正确结论的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口向下得到 ，
再根据顶点坐标结合对称轴公式得到 ，即 ，则可判断②；由对称性可得当 时，
，则可判断②；根据函数图象可知抛物线与直线 有两个交点，则可判断④；根据二
次函数与一元二次方程之间的关系可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵顶点坐标为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，
∴ ，②错误；
∵当 时 ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，①正确；
∵抛物线顶点纵坐标为n，
∴ ，∴ ，③正确；
由图象可得抛物线与直线 有两个交点，
∴ 有两个不相等的实数根，④正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，方程 的两根分别为 ，，
∴ ，
∴ ，⑤正确．
故选：B．
6．如图，在正方形 中，点B，C的坐标分别是 ， ，点D在抛物线 的图像上，
则b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作 轴， 轴，证明 ，进而求出
点坐标，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，作 轴， 轴，则： ，
四边形 是正方形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B，C的坐标分别是 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点D在抛物线 的图像上，
∴ ，
∴ ；
故选B．
7．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水
平距离x（m）满足关系式 ．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场
的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网
C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为 ，由此即
可判断A；求出当 时，y的值，再与 进行比较即可判断B；求出当 时，y的值，再与0比
较即可判断C、D．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴球运行的最大高度为 ，故A说法错误，不符合题意；在 中，当 时， ，
∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；
在 中，当 时，则 ，
∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；
故选D．
8．如图，抛物线 与抛物线 交于点 ，且分别与 轴交于点
D，E．过点 作 轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
②无论x取何值， 总是负数；
③当 时，随着x的增大， 的值先增大后减小；
④四边形 为正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①先求抛物线 的解析式，再根据抛物线 的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；
②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出 时，观察图像可知 ，
然后计算 ，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出 的坐标，根据正方形的判定
定理进行判断即可．
【详解】① 抛物线 与抛物线 交于点 ，，
即 ，
解得 ，
抛物线 ，
抛物线 的顶点 ，抛物线 的顶点为 ，
将 向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为 ，
即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，
故①正确；
② ，
，
，
无论 取何值， 总是负数，
故②正确；
③ ，
将 代入抛物线 ，
解得 ，
，
将 代入抛物线 ，
解得 ，
，
，从图像可知抛物线 的图像在抛物线 图像的上方，当 ，随着 的增大， 的值减小，
故③不正确；
④设 与 轴交于点 ，
，
，
由③可知
， ，
， ，
当 时， ，
即 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综
合运用以上知识．
9．设二次函数 （ ，m，k是实数），则（ ）
A．当 时，函数y的最大值为 B．当 时，函数y的最大值为C．当 时，函数y的最大值为 D．当 时，函数y的最大值为
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数 与
x轴的交点坐标是 ．得到二次函数的对称轴是直线 ．根据开口方
向进一步求出最值即可．
【详解】解：由题意，令 ，
∴ ，
∴ ．
∴二次函数 与x轴的交点坐标是 ．
∴二次函数的对称轴是：直线 ．
∵ ，
∴y有最大值．
当 ，y最大，
即
当 时，函数y的最大值为 ；
当 时，函数y的最大值为 ．
综上，C选项正确．
故选：C．
10．如图，已知点 ，点 ．若抛物线 （a为常数， ）与线段 有两个不
同的公共点，则a的取值范围是（ ）A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【分析】
本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线 的解析式，令 ，根据有两个
交点求出a的取值范围，再分 和 两种情况讨论即可得到答案；
【详解】解：设 所在直线为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，
∵二次函数与线段 有两个不同的公共点，
∴ ，
解得： ，
①当 时，
此时函数的开口向上，∴ ， ，
解得： ，
②当 时
此时函数的开口向下，
∴ ， ，
解得： ，
综上所述得： ， ，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度 之间的关系满足二次函数
，则当温度为 时，水的体积为 ．
【答案】106
【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
将 代入解析式求值即可．
【详解】解： ，
当 时， ，水的体积为 ．
故答案为：106．
12．已知二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，点 ， 在抛物线
上，则 （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线 的解析
式为 ，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解： ，
∵二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数 ，
的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系： ，求
出 与直线 的交点坐标为 ．【答案】 关于点 成中心对称 ，
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与一次函数的交点等知识．
（1）根据抛物线图像可求出 顶点坐标为 ，开口向下；抛物线 顶点坐标为 ，开口向上，
根据点坐标与二次函数的图像可得出答案．
（2）用待定系数法求出抛物线 的函数解析式，再令 ，进一步求解即可求出 与直
线 的交点坐标．
【详解】解：由图象可得抛物线 顶点坐标为 ，开口向下；
抛物线 顶点坐标为 ，开口向上，
∵点 与点 关于点 对称，
∴抛物线 与抛物线 关于点 成中心对称．
设抛物线 解析式为 ，由图象可得抛物线经过 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
令 ，
解得 ， ，
将 代入 得 ，
把 代入 得 ，
∴ 与直线 的交点坐标为 ， ，
故答案为： ， ．
14．如图，将抛物线 在 轴下方部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像 当直线
与图像 恰有两个公共点时， 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数， )与x轴的交
点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程 得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐
标，可写出图象 沿x轴翻折所得图象的解析式为
，然后求出直线 与 相切b的值，
直线 过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线 与此图象有且只有两个公共
点时b的取值范围．
【详解】解：当 时， ，解得 ，则 ，
，
则顶点坐标为 ，
把图象 沿x轴翻折所得图象的解析式为 ，
如图，
当直线 与 相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时
有两个相等的实数解，
方程整理得 ， ，
解得 ，
∴当 时，直线 与图像 恰有两个公共点，当直线 过 时， ，解得 ，
当直线 过 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与此图象有且只有两个公共点．
综上可知，当直线 与图像 恰有两个公共点时， 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
15．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙 于点O（如图），
其中 上的 段围墙空缺．同学们测得 m， m， m， m， m．班
长买来可切断的围栏 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须
尽量使用原来的围墙，观察图形，利用 和 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积
公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用 和 构成矩形，
设矩形在射线 上的一段长为 ，矩形菜地面积为 ，
当 时，如图，
则在射线 上的长为则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 的最大值为 ；
当 时，如图，
则矩形菜园的总长为 ，
则在射线 上的长为
则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而减少，
∴当 时， 的值均小于 ；
综上，矩形菜地的最大面积是 ；
故答案为： ．
16．如图，二次函数 的图象交 轴于点 （点 在点 的左侧），交 轴于点 ．
现有一长为 的线段 在直线 上移动，且在移动过程中，线段 上始终存在点 ，使得三条线
段 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段 左端点 的橫坐标为 ，则 的取值范围
是 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，先求出点A，点
B，点C坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象交 轴于点 （点 在点 的左侧），交 轴于
点
当 时， ，
当 时， ，
解得：
∴ ，对称轴为直线
如图所示，
∵线段 上始终存在点 ，使得三条线段 能与某个等腰三角形的三条边对应相等
∴ 或 或 ，
∵段 在直线 上移动，∴点 的纵坐标为 ,
设
①若 ，
∴
解得：
∴
∴
∵
∴不能构成三角形，舍去；
②若 ，
∴
解得：
∴
∵
∴能构成三角形，
③若
∴
解得：∴
∵ ，
∴ 能组成三角形；
∵点 在长为 的线段 上，
∴线段 左端点 的横坐标为 的取值范围为 ，即
故答案为： ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．已知二次函数的图像以 为顶点，且过点 ．
(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
【答案】(1)与 轴的交点坐标为 ；与 轴的交点坐标为
(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次
函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已
知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称
轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来
求解．
（1）设顶点式 ，然后把 代入求出 的值即可得出二次函数解析式；通过解方程
可得抛物线与 轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与 轴的交点
坐标；
（2）由于抛物线与 轴的交点坐标为 ，把点 向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解
析式 向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为 ；
当 时， ，
则抛物线与 轴的交点坐标为 ；
当 时， ，解得 ，
则抛物线与 轴的交点坐标为 ；
（2）解：因为抛物线与 轴的交点坐标为 ，
所以把抛物线解析式 向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
18．飞机降落后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 ，当
时， ；当 时， ．
(1)求该函数的解析式；
(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了
多远？
【答案】(1)
(2)图见解析， 米
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质及应用．
（1）用待定系数法即可得函数的解析式；
（2）把（1）中解析式化为顶点式即可得飞机停下来前进了多少米，描点连线即可画出函数图象．
【详解】（1）解： 当 时， ，当 时， ， ，解得： ，
；
（2） ，
时， 最大为 ，即汽车刹车后到停下来前进了 米，
在 中，当 时 ，当 时， ，当 时， ，当 时，
，
描点画出符合题意的函数图象如下：
19．已知一次函数 的图像上有两点 ，它们的横坐标分别是2、 ，若二次函数 的图像
经过 两点．
(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；
(2)若 ， 两点都在二次函数 的图像上，试比较 与 的大小．【答案】(1) ，见详解
(2)当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；当 ，即 时，
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数解析式、画一次函数和二次函数
图像等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先确定点 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；结合函数解析式，在坐标系中
绘制一次函数和二次函数图像即可；
（2）根据题意，可知 ， ，可得 ，然后分情况讨论，即可获得答案．
【详解】（1）解：对于二次函数 ，
令 ，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，即 ，
将点 ， 代入一次函数 ，
可得 ，解得 ，
∴该一次函数解析式为 ；
在平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如下图所示：（2）∵ ， 两点都在二次函数 的图像上，
∴ ， ，
∴ ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
20．在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C，点
在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范
围．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问
题是关键．
（1）利用待定系数法，将 ， 两点代入解析式得到方程组，求出 、 的值，从而确定抛物
线的表达式，再将其化为顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）分别求出 和 时的函数值，进而得出 四点坐标，再根据点P右侧的部分（不含
点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，得出点 在点 和点 之间的抛物线上（包含点 ，不包含
点 ），即可得到m的取值范围．
【详解】（1）解： 抛物线 交x轴于 ， 两点，
，解得： ，
抛物线的表达式为 ，
，
顶点坐标为 ；
（2）解：如图，
令 ，则 ，
解得： 或 ，
， ；
令 ，则 ，
解得： 或 ，
， ，
点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，
点 在点 和点 之间的抛物线上（包含点 ，不包含点 ），
．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是 ，直线 的解析式是 ，点
，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．
(1)求证： ；
(2)设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2) 的最小值为 ，此时点 的坐标为
【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等：
（1）设点P的坐标为 ，根据两点间距离公式求出 ，可证 ；
（2）由 可得 ，当E，P，N共线时，等号成立．
【详解】（1）证明： 点 是在该抛物线 上的动点，设点P的坐标为 ，
，
；
，直线 的解析式是 ，
，
；
（2）解： ，
点 在抛物线 的上方，
由（1）知 ，
，当E，P，N共线时，等号成立，如图：
，当 时， ，
的最小值为 ，此时点 的坐标为 ．
22．甲、乙两汽车出租公司均有 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 元，那么 辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每
增加 元，那么将少租出 辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计
元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润 月租车费 月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为 （单位：辆， ）的条件下，甲的利润用 表示（单位：元），乙的利润用 （单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？
(3)甲公司热心公益事业，每租出 辆汽车捐出 元（ ）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润
仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最
大，求 的取值范围．
【答案】(1) ； ；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润
相等
(2)甲公司最多比乙公司利润多18050元
(3)
【分析】（1）设每个公司租出的汽车为 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为 ， ，月利润差为 ，由（1）可得 和 的表达式，再列出 关于
的表达式，根据二次函数的性质，结合 的范围求出最值即可；
（3）根据题意得到利润差为 ，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为 辆，
结合 为整数可得关于 的不等式，即可求出 的范围．
【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为 辆，
由题意可得： ，
而 ，
两公司的月利润相等可得： ，
解得： 或 舍 ，
当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）解：设两公司的月利润分别为 ， ，月利润差为 ，
则 ，，
当甲公司的利润大于乙公司时， ，
，
∴当 时，函数有最大值18050，
∴甲公司最多比乙公司利润多18050元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为 ，
对称轴为直线 ，
只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关
系式，尤其（3）中要根据 为整数得到 的不等式．
23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的
直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表
所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直
直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口大小，该数
学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为 ．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函数
和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线段 的距离之
和为10，求a的值．
【答案】(1)图见解析， ；
(2)方案一：① ；② ；方案二：① ；② ；
(3)a的值为 或 ．
【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；（2）根据图形写出点 或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得 ， ， 的顶点坐标为 ，再求得 顶点距线段 的距
离为 ，得到 的顶点距线段 的距离为 ，得到 的顶点坐标为 或
，再分类求解即可．
【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为 ，
由题意得 ，
解得 ，
∴y与x的关系式为 ；
（2）解：方案一：①∵ ， ，
∴ ，
此时点 的坐标为 ；
故答案为： ；②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
方案二：①∵C点坐标为 ， ， ，
∴ ，
此时点B的坐标为 ；
故答案为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（3）解：根据题意 和 的对称轴为 ，
则 ， ， 的顶点坐标为 ，
∴ 顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点坐标为 或 ，
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
综上，a的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关
键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决
赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全
红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系 ．如果
她从点 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度
（单位：米）与水平距离 （单位：米）近似满足函数关系式 ．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 10 10 6.25
根据上述数据，直接写出 的值为________，直接写出满足的函数关系式：________；
(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度 与水平距离 近似满足函数关系 ，记她训练的入水点的水平距离为 ，比赛当天入水点的水平距离为 ，请通过计算比较 与 的大小；
(3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点 开始计时，若点 到水平面的距离为 ，则她到水面的距
离 与时间 之间近似满足 ，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的
270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【答案】(1)11.25，
(2)
(3)她当天的比赛不能成功完成此动作
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当 时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出 时的y值，进行判断即可．
【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：对于
当 时，解得： ， （不合题意，舍去）
∴ 米
对于 ，
当 时，
解得： ， （不合题意，舍去）
∴
∵
∴ ；
（3）解：
∴点 坐标为
∴
∴
当 时，
∵
即她在水面上无法完成此动作
∴她当天的比赛不能成功完成此动作
23．综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形 中， 分别是 上一点，且 ．
点 从点 出发，沿正方形 的边顺时针运动；点 同时从点 出发，沿正方形 的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时 两点都停止运动，设点 运动的
时间为 秒， 的面积为 ，探究 与 的关系．
初步感知
根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画
出．
（1） 的长为______， 的长为______．
（2） 的值为______， 的最大值为______．
延伸探究
（3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．
（4）求 的值，并求出当 时， 的取值范围．
【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3） ，画图见解析；（4） ，当 时，
．
【分析】（1）当 时， ，可得 ，由当 时， 运动到 ，可得 ；
（2）由图象可得：当 时， 与 重合，如图，此时， 的面积最大，可得 ，当 时，
与 重合，如图，此时 的运动时间为 ，可得 ；
（3）当 时，再运动 ，两点相遇，停止运动，可得函数图象过 ，且函数图象过，说明 是 的一次函数，设 ，再利用待定系数法求解解析式即可；
（4）当 时，如图，可得 ，解方程可得答案，当 时，如图，图象在 的上方，
此时第三段图象上存在 ，如图，此时 ，可得 ，
再解方程可得答案．
【详解】解：（1）由函数图象可得：当 时， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
由函数图象可得：当 时， 运动到 ，
∴ ，
（2）由图象可得：当 时， 与 重合，如图，
此时， 的面积最大，
∴ ，
当 时， 与 重合，如图，此时 的运动时间为 ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（3）∵ 时，
∴再运动 ，两点相遇，停止运动，
∴函数图象过 ，
而当 时， ，
∴函数图象过 ，
由此时三角形的高不变，
∴ 是 的一次函数，设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
画图如下：
（4）当 时，如图，∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
当 时，如图，图象在 的上方，
此时第三段图象上存在 ，如图，此时 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），结合图象可得：当 时， ．
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，一元二次方程的解法，正方形的性质，利用图象法解二次不
等式，二次函数的图象与性质，理解图象的含义是解本题的关键．
