第二十三章 旋转·培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）下列图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意。
故选：C．
2．（3分）（24-25七年级下·河南南阳·期末）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换
是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．以上选项都不对
【答案】D【分析】本题考查平移、对称、旋转的区别，关键在于这项图形的大小不会发生变化．
根据图表观察，结合选项即可得到答案.
【详解】解：根据平移，旋转和轴对称的图形的大小不会发生改变，得到图形中开口向上的两个“E”之
间，既不是平移，也不是旋转，也不是对称，
故选D
3．（3分）（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到
三角形EDC．若∠ACB=30°，∠BCE=100°，则α的值为（ ）
A．60° B．70° C．40° D．100°
【答案】B
【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到∠DCE=∠ACB=30°，
α=∠BCD，再利用α=∠BCD=100°−30°，计算即可．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△EDC，
∴∠DCE=∠ACB=30°，α=∠BCD，
∵∠BCE=100°，
∴α=∠BCD=∠BCE−∠DCE=100°−30°=70°，
故选：B．
4．（3分）已知❑√(a−2) 2+|b+1)=0，则点P(a,b)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(2,−1) B．(−2,−1) C．(−2,1) D．(2,1)
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性，先化简求出a，b的值，再结合关于原
点对称这个条件，即可作答． 正确掌握“关于原点对称的点的坐标：它们的坐标符号相反”是解题的关
键．
【详解】解：∵❑√(a−2) 2+|b+1)=0，
∴a−2=0，b+1=0，∴a=2，b=−1，
则点P(2,−1)，
则点P(2,−1)关于原点对称的点的坐标为(−2,1)
故选：C．
5．（3分）（24-25七年级下·吉林长春·期末）在2025年春晚舞台上，机器人的东北秧歌表演以刚柔并济
演绎了传统与未来的文化碰撞．机器人挥舞的手绢可以看作如图所示的一个八角形图案，它是一个旋转对
称图形．让这个图形绕着它的中心旋转α(0°<α<360°)后能与自身重合，则α的度数可以是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角．这个图形平均分成八部分，求出最小旋转角，只要旋转角
为最小旋转角的整数倍即可．
【详解】解：∵360°÷8=45°，
∴这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身完全重合，角α可以为45度．
故选：B．
6．（3分）（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多
种有创意的美丽图形．将下列正方形沿虚线剪开后，通过平移、旋转拼成的“鸟”的图案为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，平移、旋转的性质解答即可．本题考查了正方形的性质，平移、旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】
解：根据正方形的性质，平移、旋转性质，得到图案为 ．
故选：B．
7．（3分）（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、A′、B′和C′均在格点上，若△A′B′C′可由
△ABC绕点P旋转得到，则P的坐标为（ ）
A．(0,0) B．(−2,4) C．(−2,2) D．(−1,2)
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，理解旋转的对应点到旋转中心的距离相等．
根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：连接BB′,CC′，分别作两条线段的垂直平分线交于点P，如图所示：
∴点P即为旋转中心，坐标为(−2,4)，
故选：B
8．（3分）（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直
线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中心对称图形的性质
求解即可．
【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，且选项中各图形可看作是
由两个平行四边形构成的，
所以只要直线MN经过两个平行四边形的对称中心，即可这个图形分成面积相等的两个部分，观察可得，
选项BCD符合题意，
故选：A．
9．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线 ，抛物线 与 关于原
C :y=ax2+6ax+8a(a≠0) C C
1 2 1
点中心对称，抛物线C 与y轴的交点坐标为(0,−4)．记抛物线C 的顶点为M，抛物线C 的顶点为N，连
2 1 2
接MN，则MN的长为（ ）
A．❑√10 B．❑√37 C．6 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，中心对称，勾股定理，解题关键是根据中心对称的
性质求出相应点的坐标．
先根据抛物线C 与y轴的交点坐标为(0,−4)，得到关于a的方程求解，可得出抛物线的解析式，再求出其
1
顶点坐标，然后根据抛物线C 与抛物线C 关于原点中心对称，求出点N的坐标，再利用勾股定理求出MN
2 1
的长．
【详解】解：根据题意，抛物线C 与y轴的交点坐标为(0,−4)，
1
1
将其代入y=ax2+6ax+8a中，得8a=−4，即a=− ，
2
∴y=− 1 x2−3x−4=− 1 (x+3) 2+ 1 ，点M的坐标为： ( −3, 1) ．
2 2 2 2
( 1)
∵抛物线C 与抛物线C 关于原点中心对称，则点N的坐标为 3,− ，
2 1 2
．
∴MN=❑√62+12=❑√37故选：B．
10．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形AOB
的边OA与x轴正半轴重合，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A OB ，再作△A OB ，关于
1 1 1 1
原点O的中心对称图形，得到△A OB ，再将△A OB 绕点O逆时针旋转90°，得到△A OB ，再作
2 2 2 2 3 3
△A OB 关于原点O的中心对称图形，得到△A OB ，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋
3 3 4 4
转90°，再作关于原点O的中心对称图形，则点B 的坐标是（ ）
2026
A．(3 3❑√3) B．(3❑√3 3) C．( 3❑√3 3) D．( 3 3❑√3)
,− ,− − , − ,
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用题干中的操作顺
序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的
点B的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BC⊥x轴，过B 作B D⊥x轴，垂足分别为C、D，
1 1
由题意得∠BOC=60°=∠A OB ，OB=OB =3，
1 1 1
∴∠OBC=∠DOB =30°，
1
∴
OC=B D=
3，
BC=OD=❑
√
32−
(3) 2
=
3❑√3，
1 2 2 2
∴ (3 3❑√3)， ( 3❑√3 3)，
B , B − ,
2 2 1 2 2∴ (3❑√3 3)， (3 3❑√3)，
B ,− B ,
2 2 2 3 2 2
如图，B 与B 关于原点对称，
4 3
( 3 3❑√3)， (3❑√3 3)， ( 3❑√3 3)， ( 3 3❑√3)， (3 3❑√3)，
B − ,− B ,− B − , B − ,− B ,
4 2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2
( 3❑√3 3)， ，
B − , ⋯
9 2 2
观察可知点B 回到点B的位置后从点B 开始重复点B 到点B 的变换规律，
8 9 1 8
即由点B 到点B 为一个变换周期，
1 8
2026÷8=253……2，
即点 的坐标为(3❑√3 3)，
B ,−
2026 2 2
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点A、B、C
、D中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 °．
【答案】90
【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解．
【详解】解：如图，
旋转中心为点B，旋转角为90°
故答案为：90．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分
别为（－5，2）（－2，－2）（5，－2），则点D的坐标为
【答案】(2,2)
【分析】根据题意可知，点D与点B关于原点对称，即可求解．
【详解】解：根据旋转的性质可得，点D是由点B旋转180°得到的，
∴点D与点B关于原点对称
又∵B的坐标为（－2，－2）
∴点D的坐标为(2,2)
故答案为(2,2)
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中图形的旋转，熟练掌握旋转的性质确定点D与点B关于原点对称是
解题的关键．
13．（3分）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合（不考虑∠AOB和阴
影），若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】4
【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形
重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解．
【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，
1
∴图中阴影部分的面积为 ×(4+4+4)=4(cm2)，
3
故答案为：4．
14．（3分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，△A′B′C′是由△ABC经过图形的变换得到的，
△A′B′C′可以看作△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①一次旋转，一次轴对称；②一次平
移，一次轴对称；③2次轴对称；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题
型．
利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：先将△ABC绕点B旋转至如图所示的位置，
再将所得的三角形沿线段BB′的垂直平分线翻折，即可得到；①正确；
先将△ABC沿BC方向平移，使B和B′重合，然后将所得的三角形沿线段A A′的垂直平分线翻折，如图所
示：
即可得到；②正确；
两次轴对称不能将△ABC变换得到△A′B′C′．③不正确；
先将△ABC沿着直一条直线翻折，得如图所示的一个三角形再将所得的三角形沿一直线翻折，得如图所示的三角形，
④
最后将所得的三角形沿着一直线翻折，即可得到．
故答案为：①②④．
15．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接
EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是 .
【答案】3
【详解】试题分析：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC 为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
1
∴CD=CG= AB=3，∠ACD=60°，
2
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
FC=EC
{∠FCD=∠ECG，
DC=GC
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，
1 1
∴此时EG=DF= CD= BC=3．
2 4
考点：旋转的性质；等边三角形的性质．
16．（3分）（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是
点O，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接
AF,BG，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接AF，BG，
∵正方形ABCD的边长为8和正方形EFGH的边长为6，
∴正方形ABCD的面积为64，正方形EFGH的面积为36，
∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，
1
∴S = ×(64−36)=7．
阴影 4故答案为：7．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标
分别为A(1,3),B(4,2),C(2,1)．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A 的坐标为(2,−1)，画出平移后的△A B C ；
1 1 1 1
(2)画出△ABC关于原点的中心对称图形△A B C ．
2 2 2
(3)将△ABC绕原点逆时针旋转90°得△A B C ，画出△A B C ．
3 3 3 3 3 3
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．也考查了平移变换．
（1）利用点A和点A 的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点B、C的对应点，从
1
而得到△A B C ；
1 1 1
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
2 2 2
（3）利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点A ,B ,C ，从而得到△A B C ．
3 3 3 3 3 3
【详解】（1）解：如图，△A B C 为所作；
1 1 1（2）解：如图，△A B C 为所作；
2 2 2
（3）解：如图，△A B C 为所作．
3 3 3
18．（6分）（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，∠B=22°，∠ACB=45°，
AB=6cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求AE的长．
【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为113°；
(2)AE=3cm．
【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质．
（1）先求解∠BAC=113°，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可
得旋转角∠BAD的大小；
（2）由旋转的性质AD=AB=6cm，AE=AC，再根据C为AD的中点，据此求解即可．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠B=22°，∠ACB=45°，AB=6cm，
∴∠B+∠ACB=67°，
∴∠BAC=180°−67°=113°，
∵当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转中心为点A，旋转角的度数为113°；
（2）解：由旋转得，AD=AB=6cm，AE=AC，
∵C为AD的中点，
1
∴AC= AD=3cm，
2
∴AE=AC=3cm．
19．（8分）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴
影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图
①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；
（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．
20．（8分）（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，已知AB=6，
AC=4．
(1)画出△ACD关于点D的中心对称图形；
(2)根据图形说明线段AD长的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)1<AD<5
【分析】本题考查了画中心对称图形，三角形三边关系的应用，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可；（2）根据中心对称图形的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，△ACD关于点D的中心对称图形△MBD即为所求：
（2）解：由中心对称的性质可得，点A,D,M共线，MD=AD，BM=AC=6，
∴AM=AD+MD=2AD，
∵|AB−BM)<AM<AB+BM，
∴|6−4)<2AD<6+4，
∴1<AD<5．
21．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕
点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
(1)求证：BD=CE；
(2)若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAD=21°
【分析】（1）由旋转的性质可知∠BAC=∠DAE=42°，AD=AE，从而可求∠BAD=∠CAE，进
而可证△BAD≌△CAE(SAS)，即得出BD=CE；
（2）设DE、AC相交于点F，则∠AFD=90°．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出
∠ADE=69°，从而可求出∠DAF=21°，进而可得∠BAD=∠BAC−∠DAF=21°．
【详解】（1）证明：由题意可知∠BAC=∠DAE=42°，AD=AE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，即∠BAD=∠CAE．
又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）解：如图，设DE、AC相交于点F，
∴∠AFD=90°．
∵AD=AE，∠DAE=42°，
180°−42°
∴∠ADE= =69°，
2
∴∠DAF=90°−∠ADE=21°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAF=21°．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知
识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等
于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
22．（10分）（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分
别为：A(2,3)，B(1,1)，C(4,1)，D(5,3)．
(1)四边形ABCD是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
(2)若点F(a,3)在AD上，在BC上确定一点G，使得FG平分四边形ABCD的面积，则G点的坐标为
______．
【答案】(1)是中心对称，图见详解
(2)(6−a,1)
【分析】本题考查作图−旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．（1）证明四边形ABCD使得平行四边形可得结论；
（2）利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：是
∵A(2,3)，B(1,1)，C(4,1)，D(5,3)，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是中心对称图形，
如图，对角线的交点E(3,2)即为旋转中心．
（2）因为FG平分四边形ABCD的面积，
所以点E是FG的中点，
a+m
设G(m,1)，则有 =3，
2
∴m=6−a，
∴G(6−a,1)．
故答案为：(6−a,1)．
23．（12分） 已知：如图 1， △ABC中，AB=AC ∠BAC=60°，D、E分别是AB、AC上的点，
AD=AE，不难发现BD、CE的关系．
(1)将 △ADE绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出BD、CE的 数量关系 ；
(2)当 ∠BAC=90°时，将 △ADE绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3 的情形进行证明；②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数 ．
【答案】(1)BD=CE
(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明见解析，②45°或135°
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明△BAD≌△CAE(SAS)，即可作答；
（2）①同理先证明△BAD≌△CAE(SAS)，即有BD=CE，∠ABD=∠ACE，在△BAF和△CMF
中，根据∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠MFC，即有∠FMC=∠FAB，则有∠FMC=90°，问题得
解；②分两种情况：第一种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段CE上时，第二种：当点 C、
D、E 在同一直线上，且点E在线段DE上时，画出图形，结合在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，以
及BD⊥CE，即可作答．
【详解】（1）∵∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE；
（2）①BD=CE，BD⊥CE，
证明：如图，BD交AC于点F，交CE于点M，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
在△BAF和△CMF中，
∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠MFC，
∴∠FMC=∠FAB，∵∠BAC=90°，
∴∠FMC=90°，
∴BD⊥CE，
因此BD=CE，BD⊥CE；
②如图，
当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段CE上时，如图I所示，
在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∵BD⊥CE，
∴∠EDB=90°，
∴∠ADB=∠EDB−∠ADE=45°；
当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段DE上时，如图II所示，
在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∵BD⊥CE，
∴∠EDB=90°，
∴∠ADB=∠EDB+∠ADE=135°；
故∠ADB的度数为：45°或135°．
24．（12分）【综合实践】
△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC
，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形．【操作体验】
（1）若点P的对应点为点P′，画出旋转后的图形；
【深入探究】
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC边上一点（不与B，C重合），猜想
BP，CP，AP三条线段之间的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是△ABC内部的任意一点，连接
PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】（1）见详解（2）BP2+CP2=2AP2，理由见详解，（3）❑√41
【分析】（1）按要求作图即可
（2）根据全等三角形的性质得到BP=CE，∠ACE=∠B，得到∠PCE=90°，根据勾股定理计算即
可；
（3）如图4中，先由旋转的性质得出△ABP≌△DBE，则∠ABP=∠DBE，BD=AB=4，
∠PBE=60°，BE=PE，AP=DE，再证明∠DBC=90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD
的长度，即为PA+PB+PC的最小值；
【详解】（1）图即为所作，
（2）数量关系：BP2+CP2=2AP2，
理由如下：△ABP逆时针旋转90°
由题意得：如图，∵∠BAC=∠PAE=90°，
∴∠BAC−∠PAC=∠PAE−∠PAC，即∠BAP=∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAP=∠CAE ，
AP=AE
∴△BAP≌△CAE(SAS)，
∴BP=CE，∠ACE=∠B，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠PCE=∠ACE+ACB=∠ACB+∠B=90°，
∴CE2+CP2=EP2，
在Rt△APE中，AP2+AE2=EP2，AP=AE，
∴EP2=2AP2，
∴BD2+CP2=2AP2；
（3）解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，
∴△ABP≌△DBE，
∴∠ABP=∠DBE，BD=AB=4，∠PBE=60°，BE=PE，AP=DE，
∴△BPE是等边三角形，
∴EP=BP，
∴AP+BP+PC=PC+EP+DE，
∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD，
∵∠ABC=30°=∠ABP+∠PBC，∴∠DBE+∠PBC=30°，
∴∠DBC=90°，
，
∴CD=❑√BD2+BC2=❑√52+42=❑√41
故答案为❑√41．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋
转的性质构造全等三角形是本题的关键．
