文档内容
专题 07 利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题.................2
题型二：证明唯一零点问题...............................4
题型三：根据零点（根）的个数求参数.....................5
三、专项训练..............................................7
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的
零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)
有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得
，这个 也就是 的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思
想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函
数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线
学科网（北京）股份有限公司与 的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2024·广东梅州·二模）已知函数 ， ， （
）．
(1)证明：当 时， ；
(2)讨论函数 在 上的零点个数．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 为 的导函
数， ．
(1)求 的值;
(2)求 在 上的零点个数．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ，（ ）．
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，试判断函数 与 的图象的交点个数，并说明理由．
5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）给定函数.
(1)求 的极值;
(2)讨论 解的个数.
学科网（北京）股份有限公司题型二：证明唯一零点问题
1．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数 在区间 内恰有
一个极值点，其中 为自然对数的底数.
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： 在区间 内有唯一零点.
学科网（北京）股份有限公司3．（2024高三上·全国·专题练习）已知 ，函数 ， .证
明：函数 ， 都恰有一个零点.
4．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数 ， ，且函数
的零点是函数 的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明： 有唯一零点．
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数 .
(1) 时，证明： 时， ；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有两个零点，求a的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数 ．
(1)当 的图象与 轴相切时，求实数 的值；
(2)若关于 的方程 有两个不同的实数根，求 的取值范围．
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 ， ， 为自然对数的
底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)判断函数 能否有3个零点？若能，试求出 的取值范围；若不能，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二下·天津·阶段练习）若函数 ，当 时，函数 有极
值 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有3个不同的根，求实数 的取值范围．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有三个不同的实根，求 的取值范围．
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）设函数 .
学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.（其中 是自然对数的底数）
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点 处
的切线方程为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)证明：函数 有两个零点．
3．（2024·福建·模拟预测）已知函数 在 处的切线在 轴上的截距
为 ．
(1)求 的值；
(2)若 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
4．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数 ，曲线 在点
学科网（北京）股份有限公司处切线斜率为
(1)求 的值；
(2)求证： 有且只有一个极值点；
(3)求证：方程 无解．
5．（2024·辽宁·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 的平行于x轴的切线的切点横坐标；
(2)证明曲线 与x轴恰有两个交点．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，方程 有两个解，求参数 的取值范围.
7．（23-24高二下·浙江·期中）设
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若方程 有3个不同的实根， 求a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)若 的最小值为0，求 的值；
(2)当 时，证明：方程 在 上有解.
9．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数 在 处
取得极值．
(1)确定 的值并求 的单调区间；
(2)若关于 的方程 至多有两个根，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)关于x的方程 有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.
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