专题07函数的性质及其应用（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）2924143

专题07 函数的性质及其应用 [ π π] 1、【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ） 2 2 A． B． C． D． 【答案】A π π 【解析】令f(x)=(3x−3−x )cosx,x∈[− , ]， 2 2 则f(−x)=(3−x−3x )cos(−x)=−(3x−3−x )cosx=−f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除BD； π 又当x∈(0, )时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C. 2 故选：A. 2、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7． ❑ 22 若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑ ❑f(k)=（ ） k=1 A．−21 B．−22 C．−23 D．−24【答案】D 【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称， 所以g(2−x)=g(x+2)， 因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)， 因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5， 代入得f(x)+[7+f(x−2)]=5，即f(x)+f(x−2)=−2， 所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(−2)×5=−10， f (4)+f (6)+…+f (22)=(−2)×5=−10. 因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f (0)=1，所以f(2)=−2−f (0)=−3. 因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5， 联立得，g(2−x)+g(x+4)=12， 所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g(3)=6 因为f(x)+g(x+2)=5，所以f (1)=5−g(3)=−1. 所以 ❑ 22 ∑ ❑f(k)=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=−1−3−10−10=−24. k=1 故选：D 3、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则 22 ∑❑f(k)=（ ） k=1 A．−3 B．−2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】因为f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (y)，令x=1,y=0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令 x=0可得，f (y)+f (−y)=2f (y)，即f (y)=f (−y)，所以函数f (x)为偶函数，令y=1得， f (x+1)+f (x−1)=f (x)f (1)=f (x)，即有f (x+2)+f (x)=f (x+1)，从而可知f (x+2)=−f (x−1)， f (x−1)=−f (x−4)，故f (x+2)=f (x−4)，即f (x)=f (x+6)，所以函数f (x)的一个周期为6． 因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1， f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4， 22 所以∑f (k)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3． k=1 故选：A． 4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 ， 对于A， 不是奇函数； 对于B， 是奇函数； 对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 5、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.对于C， 在 为减函数，不合题意，舍. 对于D， 为 上的增函数，符合题意，故选：D. 6、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： ， 而 ，故 .故选：C. 7、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 是奇函数，所以 ①； 因为 是偶函数，所以 ②． 令 ，由①得： ，由②得： ，因为 ，所以 ， 令 ，由①得： ，所以 ． 思路一：从定义入手． 所以 ． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 的周期 ． 所以 ．故选：D． 8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数 ,则 （ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ， 所以函数 为奇函数． 又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，而 在 上单调递减，在 上单调递减， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增． 故选：A． 9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【答案】D 【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，排除B； 当 时， ， 在 上单调递减， 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确. 故选：D. 10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 是R的偶函数， ． ， 又 在(0，+∞)单调递减， ∴ ， ，故选C． 题组一 运用函数的性质进行图像的辨析1-1、（2022·江苏无锡·高三期末）已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为： ， ， 为 奇函数，图象关于原点对称，排除D. 时， ， ， ， 时， ， ， ， 时， . 故选：A. 1-2、（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征， 函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D； 又 ，排除C， 故选：A． 1-3、（2022·湖南娄底·高三期末）函数 的图象大致是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【解析】解：因为函数 ， 所以函数 为偶函数，图像关于y轴对称，所以排除D， 又 ，排除B，C， 故选：A. 1-4、（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士 颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项 链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得 出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函 数”图象的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则该函数的定义域为 ， ， 所以，函数 为偶函数，排除B选项. 由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立， 所以，函数 的最小值为 ，排除AD选项. 故选：C. 题组二 函数的性质 2-1、（2022·山东烟台·高三期末）若定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满 足 的x的取值范围是（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】由题意，定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 则 在 上单调递减，且 ， ， 因为 ， 当 时，即 ，此时满足不等式 ； 当 时，即 ，可得 ，且满足 ， 则 ，解得 ； 当 时，即 ，可得 ，且满足 ， 则 ，解得 ， 综上可得，不等式的解集为 . 故选：C. 2-2、（2022·江苏如皋·高三期末）“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数, 则 ， 化简得： ，故 ， 当 时，f(x)＝sinx是奇函数，因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”充要条件， 故选:C. 2-3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ， ， ， 所以， . 故选：B. 2-4、（2022·山东青岛·高三期末）已知 是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)=2x−2，则不等式 f (x)≤2的解集是_______； 【答案】 【解析】∵当x≥0时，f (x)=2x−2， ∴偶函数 在[0,＋∞)上单调递增，且f (2)=2， 所以f (x)≤2，即f (|x|)≤f (2)， ∴|x|≤2，解得−2≤x≤2. 故答案为： . 2-5、（2022·江苏海门·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x)=__________． f x fx0 ① 为偶函数；②f (x x )=f (x )+f (x )；③当x∈(0,+∞)时， . 1 2 1 2 【答案】−ln|x|（答案不唯一） f x 0, 【解析】由题意可知函数 为偶函数且在 上为减函数，可取f (x)=−ln|x|， 对于①，函数f (x)=−ln|x|的定义域为{x|x≠0}，f (−x)=−ln|−x|=−ln|x|=f (x)，故函数 f (x)=−ln|x|为偶函数； x x 对于②，对任意的非零实数 1、 2，f (x x )=−ln|x x |=−ln|x |−ln|x |=f (x )+f (x )； 1 2 1 2 1 2 1 2f x 0, 对于③，当x∈(0,+∞)时，f (x)=−lnx，则函数 在 上为减函数. 综上所述，函数f (x)=−ln|x|满足条件. 故答案为：−ln|x|（答案不唯一） 题组三、函数性质的综合运用 f x 3-1、（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在R上的函数 的图象连续不断，有下列四个命题： f x 甲： 是奇函数； f x x1 乙： 的图象关于直线 对称； f x 1,1 丙： 在区间 上单调递减； f x 丁：函数 的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】 f x 1,1 由连续函数 的特征知：由于区间 的宽度为2， f x 1,1 f x 所以 在区间 上单调递减与函数 的周期为2相互矛盾， 即丙、丁中有一个为假命题； f xf x f x1 f 1x 若甲、乙成立，即 ， ， f x2 f x11 f 11x f xf x 则   ， f x4 f x22f x2 f x f x 所以 ，即函数 的周期为4， 即丁为假命题. 由于只有一个假命题，则可得该命题是丁， 故选：D. 3-2、（2022·江苏无锡·高三期末）（多选题）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，又称为取整函数.如： ， .则下列结论正确的是（ ） A．函数 是 上的单调递增函数 B．函数 有 个零点 C． 是 上的奇函数 D．对于任意实数 ，都有 【答案】BD 【解析】对于A， ， ， ， 在 上不是单调增函数，所以A错. 对于B，由 ，可得 ，所以 ，若函数 要有零点，则 ，得 ，因为 要想为 ，必须 也为整数，在这个范围内，只有 两 个点，所以B正确， 对于C， ， ， 不是奇函数，所以C错， 对于D，如果我们定义 这样一个函数，就会有 ，同时有 ，当 时，会有 ，当 时， ，所以 D正确， 故选：BD. 3-3、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知函数 ，实数 满足不等式，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为 ， 所以 为奇函数， 因为 ， 所以 上单调递增， 由 ， 得 ， 所以 ， 即 ， ， 因为 在R上是增函数，所以 ，故A正确； 因为 在 上是增函数，所以 ，故C正确； 因为 在R上是增函数，所以 ，故D错误； 令 ，可验证B错误. 故选：AC 3-4、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值 域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数f (x)=x4不是“伙伴函数”是（ ） x2 x2 A．y=2|x|−1 B．y= C．y= +cosx−1 D．y=ln|x| 1+x2 2 【答案】BD0, ,0 【解析】函数f (x)=x4的定义域为 R ，单调递增区间为 ，递减区间为 ，该函数为偶函数，值 0, 域为 . R 对于A选项，令f (x)=2|x|−1，该函数的定义域为 ， 1 { 2x−1,x≥0 0, ,0 f 1 (x)= (1) x −1,x<0 ，函数f 1 (x)=2|x|−1的单调递增区间为 ，递减区间为 ， 2 0, 因为f (x)=2|x|−1≥20−1=0，即函数f (x)=2|x|−1的值域为 . 1 1 ∵f (−x)=2|−x|−1=2|x|−1=f (x)，即函数f (x)=2|x|−1为偶函数，A满足条件； 1 1 1 x2 y y 对于B选项，由y= 可得x2=− ≥0，即 ≤0，解得0≤ y<1， 1+x2 y−1 y−1 x2 故函数y= 的值域为[0,1)，B不满足条件； 1+x2 x2 对于C选项，令f (x)= +cosx−1，该函数的定义域为R， 2 2 f' (x)=x−sinx，令φ(x)=x−sinx，则φ'(x)=1−cosx≥0且φ'(x)不恒为零， 2 R 所以，函数f' (x)=x−sinx在 上单调递增， 2 当 x0 时，f' (x)f' (0)=0，此时函数 2 单调递增，∴f (x)≥f (0)=0， 2 2 2 2 f x 0, 故函数 2 的值域为 ， (−x) 2 x2 f x 因为f (−x)= +cos(−x)−1= +cosx−1=f (x)，即函数 2 为偶函数，C满足条件； 2 2 2 2 对于D选项，函数y=ln|x|的定义域为{x|x≠0}，D不满足条件. 故选：BD.1、（2022·山东济南·高三期末）已知函数 的定义域为 ，则“ 是偶函数”是“ 是偶函 数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】偶函数的图像关于 轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若 是偶函数，则 是偶函数，若 是奇函数， 也是偶函数，所以“ 是偶函数”是“ 是偶函数”的 充分不必要条件 故选：A 2、（2022·山东德州·高三期末）已知函数 ，则函数 的大致图象为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知：函数定义域为 ， ， 所以 ，故该函数为奇函数，排除A,C又 ，所以排除B, 故选：D 3、（2022·江苏海安·高三期末）（多选题）下列函数在区间 上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A： 为开口向上的抛物线，对称轴为 ，所以 在区间 上单调递 减，故选项A不正确； 对于B： 的定义域为 ，将 的图象向右平移一个单位可得 ， 因为 在 上单调递增，向右平移一个单位可得 在 上单调递增，所以 在 区间 上单调递增，故选项B正确； 对于C： ，所以 在区间 上单调递增，故选项C正确； 对于D： 是由 和 复合而成，因为 单调递减， 在区 间 上单调递增，所以 在区间 上单调递减，故选项D不正确； 故选：BC. x x 4、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数f (x)= − 为偶函数，则（ ） 2x+1 a A．a=2 f x 0, B． 在区间 上单调递增f x C． 的最大值为0 1 D．f (x)>− 的解集为(−1,1) 6 【答案】ACD x x 【解析】函数f (x)= − 为偶函数，所以f (−1)=f (1)， 2x+1 a −1 −1 1 1 即 − = − ，解得a=2， 2−1+1 a 21+1 a x x f x 所以f (x)= − ，x∈R，经检验a=2时 为偶函数，故A正确； 2x+1 2 x x x x ( ) ( ) 设x >x >0，f (x )−f (x )= 1 − 1 − 2 − 2 1 2 1 2 2x 1+1 2 2x 2+1 2 = ( x 1 − x 1 ) − ( x 2 − x 2 ) = (x 1 −x 2 )(1−2x 1 +x 2)+(x 1 +x 2 )(2x 2−2x 1) ， 2x 1+1 2 2x 2+1 2 2(2x 1+1)(2x 2+1) 因为x >x >0，所以x −x >0，2x 1>2x 2>1， 1 2 1 2 所以(x −x )(1−2x 1 +x 2)<0,(x +x )(2x 2−2x 1)<0， 1 1 1 1 (x −x )(1−2x 1 +x 2)+(x +x )(2x 2−2x 1) 即 1 2 1 2 <0， 2(2x 1+1)(2x 2+1) x x 所以f (x )− 得f (x)>f (1)， 2+1 2 6 6 f x 因为 在(0,+∞)上是单调递减函数，在(−∞,0)单调递增函数，f (0)=0， 可得−11 x 【答案】1 【解析】x∈(−∞,1]时，f (x)=ex−1单调递增，f (x)≤f (1)=e1−1=1； 1 1 时，f (x)= −x+1单调递减，f (x)< −1+1=1. x 1 所以 的最大值为1． 故答案为：1．