文档内容
专题 06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：等差型...................................................2
题型二：无理型...................................................5
题型三：指数型...................................................8
题型四：通项裂项为“ ”型.......................................11
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练..........................13
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
1 1 1 1
① = ( − )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1 1 1
特别注意k=1, = − ;k=−1, = −
n(n+1) n n+1 n(n−1) n−1 n
②
1 1 1 1 1
如： = ( − )（尤其要注意不能丢前边的 ）
4n2 −1 2 2n−1 2n+1 2
类型二：无理型
1 1
① = (√n+k−√n)
√n+k+√n k如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“ ”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有 乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在① ， ，② 这三个条件中任
选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
(1)已知数列 的前n项和为 ，______，求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，
.
(1)判断数列 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列 的前10项和为361，记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列 的前n项和为
，已知 ，且 ．
(1)求 和 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
题型二：无理型
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比
数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)当数列 的公差不为0时，记数列 的前n项和为 ，求证： .例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列 中， ，且
成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求不等式 的解集．
例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列 的前 项和为
，且对于任意 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前99项和.
例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ．题型三：指数型
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列 为等差数列，且
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列 满足
（ 且 ），且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： .
题型四：通项裂项为“ ”型
例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前20项和 .例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列 满足： ，
.
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)令 ，求 的前n项和 .
例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列 的前n项和为 ，已知 ，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列 的通项公式为，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列 中， ，数列
， 的前n项和为 ，则满足 的n的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号．用他名字定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过x的最大整数．已知正项数列
的前n项和为 ，且 ，令 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．17 D．18
4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数 的图象在点
处的切线的斜率为 ，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列 是公差不为 的等差数列， ， ， 成等比数
列 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 各项均为正数，首项与公差相等， ，则
的值为（ ）
A．9069 B．9079 C．9089 D．9099
7．（2023秋·江苏·高二专题练习）记数列 前 项和为 ，若1， ， 成等差数列，且数列
的前 项和 对任意的 都有 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．二、多选题
8．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列 的前 项和 满足 ，
，且 ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C． D．
9．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列 满足
， ， 为数列 的前 项和.若对任意实数 ，都有
成立.则实数 的可能取值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ，且 ，则数列 的前n
项和 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若
，则数列 的前n项和 .
12．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列 中， ，其前n项和为 ，则
．
四、解答题
13．（2023春·陕西西安·高二校考期中）设数列 满足 ， .
(1)计算 ， ，猜想 的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列 的前 项和为 ，证明： .14．（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期中）已知数列 为等差数列，数列 为正项等比
数列，且满足 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
15．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知 是数列 的前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
16．（2023·全国·高二专题练习）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求证： .17．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
