文档内容
专题 02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：累加法.........................................2
题型二：累乘法.........................................6
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练..................9
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列
{a } n+1 n {a }
n n
{a }的通项时，利用恒等式
n
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
学科网（北京）股份有限公司二、累乘法（叠乘法）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
通项时，利用a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
【分析】（1）当 时，求得 ，当 时，得到 ，两式相减
化简得到 ，结合叠加法，即可求得数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，
则 ，
叠加可得， ，则 ，
而 时也符合题意，
所以数列 的通项公式为 ．
2．（2024·云南大理·模拟预测）在数列 中， ，且数列 是等
差数列.
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
【分析】（1）利用等差数列的基本量，求得 ，再利用累积法即可求得 ；
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以数列 是首项为4，公差为2的等差数列，
所以 .
当 时，
，
当 时， 也满足上式，所以 .
3．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）在数列 中， .
(1)证明： 是等比数列.
(2)求 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将已知等式变形为 ，根据等比数列的定义，即可证明
学科网（北京）股份有限公司结论；
（2）由（1）可得 ，利用累加法，即可求得 的通项公式.；
【详解】（1）证明：在数列 中， ，故 ，
又 ，即 ，故 ，
故 是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得 ，
故 时，
，
也适合该式，故 ；
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知公差不为零的等差数列 的前9项和
，且 ， ， 成等比数列．
(1)若数列 满足 ， ，求数列 ， 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由题意，根据等差数列前n项求和公式和等比中项的应用可得 ，
结合等比数列的通项公式得 ，再利用累加法求数列 的通项公式；
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 得， ，化简得 ．
由 成等比数列，得 ，
化简得 ，又 ，所以 ，
所以 ，
故数列 的通项公式 ，
，
当 时，
，
当 时， ，符合上式，
学科网（北京）股份有限公司故 的通项公式为 ；
5．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 .在数
列 中， ， .
(1)求 ， 的通项公式；
【答案】(1) ，
【分析】（1）直接利用 与 的关系求解 ，利用累加法求解 ；
【详解】（1）由题知，当 时， ，
当 时， ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
则
，
时符合，故 ，
综上， ， .
6．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列 满足 ，且对任意正整数 都有
， .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）利用累加法可求得数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为数列 满足 ，且对任意正整数 都有 ， ，
则 ，
所以， ， ， ， ， ，
上述 个等式全加得 ，
所以， ，
故当 时， ， 也满足 ，
故对任意的 ， .
题型二：累乘法
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 可得 ，两式相减由累乘法
可求出 的通项公式；
【详解】（1）因为 ，令 得 ，
因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
即 ．
所以 ，
所以 ，
即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，
又 ，所以 ．
2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设 为数列 的前 项和，已知
，且 为等差数列．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助等差数列的性质与 与 的关系计算即可得；
（2）借助累乘法可计算出数列 ，借助裂项相消法可得 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，即 ，①
因为 ，所以由 ，得 ．②
由①、②解得 ，所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，上式也成立，
所以 ，所以数列 是等差数列；
（2）由（1）可知 ，
当 时， ，
因为 满足上式，所以 ．
．
3．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列 中 ， （ ，
）.
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式．
【答案】(1)
【分析】
（1）根据题意，由迭代法代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为 （ ， ），所以当 时， ，
所以当 时，
，
当 时， 也成立，
所以数列 的通项公式为 .
4．（23-24高三上·贵州安顺·期末）记 为数列 的前n项和，已知 ，且
， .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）构造 是等差数列，结合 与 的关系，利用累乘法计算即可；
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴数列 是首项为1，公差为 的等差数列，
则 ，
即 ， ，
两式作差得 ，
即 ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司即 ， ，
∵ 符合上式，∴ .
5．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列 满足
，求 的通项公式.
【答案】
【分析】利用项与和的关系化简条件式，结合累乘法求出通项.
【详解】因为 ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
两式相减得， ，即 ，
且 ，即 ，
所以 ；
且 满足上式， 不满足上式，
所以数列 的通项公式为 .
6．（2023高二上·全国·专题练习）已知数列 满足 ，求数列
的通项公式.
【答案】
【分析】利用累乘法求数列通项.
【详解】因为 ，
所以 ，则 ，
故
学科网（北京）股份有限公司.
所以数列 的通项公式为
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
1．（2024·湖北·模拟预测）数列 中， ， ，且 ，
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到 为等差数列，即可得
到 ，再利用累加法计算可得；
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以数列 是公差为 的等差数列，其首项为 ，
于是 ，
则 ， ， ，
， ，
所以 ，
所以 ；而 符合该式，故 .
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列 满足： ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法求出 的通项公式.
【详解】（1）数列 中， ，
当 时，
，显然 满足上式，
所以数列 的通项公式是 .
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）（1）在数列 中，已知 ，且
，求
【答案】（1） ；
【分析】（1）利用累加法及等差数列等比数列的求和公式即可求解；
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ， ，…， ，
将以上各式相加得
.
因为 ，所以 ，
所以 .
4．（2024高三·全国·专题练习）在①当 时， ，②数列 与 均
为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知正项数列 满足 ，______．
(1)求数列 的通项公式；
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）选条件①，利用累加法求通项公式；选条件②，根据等差数列的通项公式求
通项公式；
【详解】（1）方案一：选条件①．
当 时，
，
又 ，符合上式，
因此数列 的通项公式为 ．
方案二：选条件②．
由数列 为等差数列，可设 ，
则 ，即 ，
因此 ．
学科网（北京）股份有限公司又数列 为等差数列，因此 ，从而 ．
又 ，所以 ，
因此数列 的通项公式为 ．
5．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列 满足 ， ， .
(1)求 ， ；
(2)证明：数列 是等差数列；
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）令 ， ，结合递推关系即可求解；
（2）利用等差数列的定义证明即可；
【详解】（1）令 ，得 ；
令 ，得 .
（2） ，
所以 是以 为首项，2为公差的等差数列.
6．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）利用累加法计算可得；
【详解】（1）因为 ，即 ，所以 ，
，
累加得 ，又 ，所以 ，
经检验 时符合，所以 .
7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）先利用 整理，然后利用累乘法求解通项公式；
（2）先求出 ，然后直接用等差等比的求和公式求解即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）令 ，得 .
当 时，因为 ，所以 ，
两式相减得 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以
又 ，符合上式，所以 ；
8．（2024高三·全国·专题练习）设 为数列 的前n项和，已知 ．求
的通项公式；
【答案】
【分析】
利用 的关系式推得 ，再利用累乘法即可得解.
【详解】因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
整理得 ，
当 时，易知 ，则 ，
所以 ，则 ，
当 时， ， 都满足上式，所以 ．
9．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，
有 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 得出数列 的递推关系，然后由连乘法求得通项
；
【详解】（1）由 ，则 ，两式相减得： ，
学科网（北京）股份有限公司整理得： ，即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式.
故 .
10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意，由累乘法即可求得数列的通项公式；
【详解】（1）由题意 ， ，所以 ，即 ，
所以
， ，
当 时，也满足 ，
所以数列 的通项公式为
11．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知数列 前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 作差得到 ，再利用累乘法计算可得；
【详解】（1）因为 ，当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ， ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司累乘得
所以 ，
当 时 也成立，所以 .
12．（2024·广东深圳·一模）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为
等差数列．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，设 为数列 的前 项和，集合
，求 （用列举法表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为d，由题意可得 、 ，解得
，结合 求得 ，即可证明；
（2）由（1）可得 ，根据累乘法可得 ，结合
裂项相消求和法计算即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，则 ，即 ，①
因为 ，所以由 ，得 ．②
由①、②解得 ，所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，上式也成立，所以 ，
所以数列 是等差数列．
（2）由（1）可知 ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司因为 满足上式，所以 ．
，
因为当 时， ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司
