文档内容
专题 02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：累加法.................................................................................................2
题型二：累乘法.................................................................................................4
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练......................................................6
一、必备秘籍
一、累加法（叠加法）
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列 的通项时，利
{a } n+1 n {a } {a }
n n n
用恒等式
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)求
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
二、累乘法（叠乘法）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的通项时，利用
{a } a {a } {a }
n n n na a a a
a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、典型题型
题型一：累加法
例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列{ }中， ，且
.其中 ，
(1)求数列{ }的通项公式；
【答案】(1) ， ；
【详解】（1）（法一）由題意知， ，则 ，
累加得： 且 ，又 ，故 ，而 符合上式，故 .
（法二）由题意知， 则 ，
所以 则 .
例题2．（2023·浙江·模拟预测）已知数列 满足
(1)若 ，求数列 的通项 ；
【答案】(1)
【详解】（1）当 , ①,
②,
① ②可得 ,左右同时乘以 可以得出:
,即得
当 时,
应用累加法可得:
,
当 时, ,
,且 ,
例题3．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以
，
所以 ．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 （ ），且 ，求数列
的通项公式．
【答案】 （ ）．
【详解】由题意得 （ ），
即 ， ， ， ，
所以 个式子累加得 ，
因为 ，
所以
（ ），
因为 ，所以 （ ），
又当 时， ，所以 （ ）．
题型二：累乘法
例题1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知数列 中， ，设 为前 项和， ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由数列 中， ，且
当 时， ，解得 ，
当 时，可得 ，
所以 ，即 ，
则当 时，可得 ，所以 ，
当 或 时， ， 适合上式，
所以数列 的通项公式为 .
例题2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列 中，
， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) （ ）
【详解】（1）因为 ，（ ），
所以 ，（ ），
所以 ， ， ，…， ， （ 且 ），
所以 （ 且 ），
整理得： （ 且 ），即 ，（ 且 ），
又因为 ，所以 ，（ 且 ），
当 时， 适合上式，
所以 ，（ ）.
例题3．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列 满足 ，
．
(1)求 的通项公式；【答案】(1)
【详解】（1）∵ ， ，则 ，
∴ ，两式相除得： ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
综上所述， 的通项公式为： ；
例题4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) （ ）
【详解】（1）因为 ，（ ），
所以 ，（ ），
所以 ， ， ，…， ， （ 且 ），
所以 （ 且 ），
整理得： （ 且 ），即 ，（ 且 ），
又因为 ，所以 ，（ 且 ），
当 时， 适合上式，
所以 ，（ ）.
例题5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)【详解】（1）由 可得 ，
当 时， ， ，
将以上各式相乘可得： ，当 时， 成立；
所以
三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）数列 、 满足： ， ，
，则数列 的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项
C．第11项 D．第12项
【答案】B
【详解】 时， ， ， ， ，将上式累加，得
，解得 （对于 同样成立），故
，
令 ，即 ，
解得 ， ，故 ，即第九项最大.
故选：B.
2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）等比数列 满足
， ，数列 满足 ， 时， ，则数列 的通项公式为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得， ，解得 ，故 ，
时， ，
故
．
故选：A
3．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列 满足
，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，∴ ，
∴
，
故选：C.
4．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列 的项满足 ，而 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
所以 ， ， ，……， ， ，（ ），
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 满足上式，所以 ，
故选：B
5．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列 中， ，其中d为常数，
则称数列 为“等比差”数列.已知“等比差”数列 中， ， ，则 （ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【答案】B
【详解】因为数列 是“等比差”数列，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以有 ，
累和，得 ，
因此有 ，
累积，得 ，
所以 ，
故选：B
6．（2023春·广东佛山·高二统考期中）数列 中， ， （ 为正整数），则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
二、填空题
7．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）已知数列 满足 ， ，若 表示不超
过x的最大整数，则 ．
【答案】1
【详解】由 得 时，
，
当 时， 也符合，所以
，故 ，
，
故答案为：1
8．（2023春·吉林白城·高二校考期末）已知数列 满足 ，且 ，若 ，则数列
的前n项和 ．
【答案】
【详解】由 ，得 ， ，…， （ ），
以上各式相乘，得 （ ），
又 ，所以 （ ），
当 时， ，满足上式，所以 ，，
所以 ．
故答案为： .
9．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）若 ，则通项公式 .
【答案】
【详解】由 ，得 ，
所以 ， ， ，……， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 满足上式，所以 ，
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则
【答案】
【详解】由已知可得， .
当 时， ，
所以 ；
当 时，
有 ， ，
两式相减得， ，所以 .
所以有 ，
，
，
，
，
两边同时相乘可得， ，
整理可得， .
当 时， ，满足该式，
，满足该式，
故 .
故答案为： .
三、解答题
11．（2023秋·高二课时练习）已知数列 满足 ，且 ，求 的最小值．
【答案】
【详解】由题意，
，
则 ，
当 时，上式成立，
由于 ，所以 ，
当且仅当 时，取得最小值，
但 ，由对勾函数的性质可知，所以 的最小值为 ，
则 的最小值为 .
12．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知数列 满足 且 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题设 ，即 ，而 ，
所以 ，且 ，
所以 ，显然 也满足上式，故 .
13．（2023·全国·高二专题练习）若数列{an}满足： ， ，求数列 的通项公式.
【答案】
【详解】由 ，得 ，
，
又当 时满足此式，
所以
14．（2023春·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知数列 满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 可得 ，
所以 ， ， ，…， ，以上各式左右两边分别相乘可得
，
即 ，所以 ，
公式对 也适合，所以 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ．
(1)写出数列 的前4项；
(2)求出数列 的通项公式．
【答案】(1) ， ， ，
(2) ．
【详解】（1）因为 ①，所以 ②，
②－①得 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ， ， ．
（2）当 ，由 ，得 ， ， ，…， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ．
当 时， 满足上式，故 ．
