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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题16.5二次根式的求值问题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•灵宝市月考）若a=√5+1，b=√5−1，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
2．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+√6，b＝2−√6．
（1）填空：a+b＝ ，ab＝ ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
3．（2022秋•宁德期中）已知：x=√3+√2，y=√3−√2．
（1）填空：|x﹣y|＝ ；
（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．
4．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）： ； ．
(3+√2) 2= (1−√5) 2=
（2）把4+2√3写成（a+b）2的形式为 ．
（3）已知a=√7−1，求代数式a2+2a+3的值．
1 1 1 1
5．（2022秋•重庆期中）（1）计算： + + +⋯+ ．
√8+√11 √11+√14 √14+√17 √29+√32
1 1
（2）已知：a= ，求a2+5a− 的值．
√5+2 a
2 2
6．（2022秋•济南期中）已知x= ，y= ．
√3+1 √3−1
（1）对x，y进行化简；
（2）求x2+xy+y2的值．
x−y x−2√xy+ y 1
7．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值 + ，其中x＝5，y= ．
√x+√y √x−√y 5
8．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−√3，y＝2+√3．
（1）求xy2﹣x2y的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
9．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知 x=√2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根
据x=√2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝
1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=√3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
√5−1
（2）已知x= ，求代数式x3+x2+1的值．
2
1 1
10．（2022秋•嘉定区月考）已知m= ，n= ，求m2﹣mn+n2的值．
√3+2 √3−2
√a √b
11．（2022秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：a +b 的值．
b a
1 1
12．（2022春•彭州市校级月考）已知x= ，y= ，求值：
√7−√5 √7+√5
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
13．（2022秋•海淀区校级期末）已知x=√3+√2，y=√3−√2，求x2+3xy+y2的值．
14．（2022秋•嘉定区校级月考）已知x 1 ，求代数式1 √x2−8x+16的值．
= −
2−√3 x x2−5x+4
√2−1 √2+1
15．（2022秋•武侯区校级月考）已知a= ，b= ，求下列代数式的值：
√2+1 √2−1
（1）a2﹣ab+b2；
b a
（2） + ．
a b
1 1
16．（2022秋•安溪县校级月考）已知x= ，y= ．
2+√3 2−√3
①化简x和y．
②求代数式x2y+xy2的值．
1
17．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a= ．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析
2+√3
与解的：
1 2−√3
∵a = = = 2−√3∴a﹣2=−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）化简 + + +⋯+ ；
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √50+√49
（2）比较√6−√5 √7−√6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=√2+1，则a2﹣2a+3＝ ．
1
B题：若a= ，则4a2﹣4√3a+7＝ ．
√3−1
18．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣2√3，b＝4+2√3．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
19．（2022秋•沈阳月考）已知：x=√3+√2，y=√3−√2
（1）填空：|x﹣y|＝ ；
（2）求代数式x2+y2﹣5xy的值．
3−√2 1+√2
20．（2021秋•苏州期中）已知x= ，y= ，求下列各式的值．
2 2
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
21．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+√2）2−√8（2﹣3√2）；
（2）化简求值：已知a 1，求
a2−a a2+8a+16的值．
=√5− −
√a2−2a+1 a+4
22．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=√2−1，
求√a2−2a+1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
a2−1
解：原式 √(a−1) 2 a−1 1 ．
= = =
(a+1)(a−1) (a+1)(a−1) a+1
1 √2
当a=√2−1时，原式= = ．
√2−1+1 2李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性
质，并写出正确的解题过程．
23．（2019春•番禺区月考）已知x=√3+1，y=√3−1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2，
y x
（2） −
x y
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=√7+2，y=√7−2，求下列各式的值：
1 1
① + ；
x y
②x2﹣xy+y2；
（2）若 8，则 ．
√39−a2+√5+a2= √39−a2−√5+a2=
25．（2020春•海陵区校级期中）当a √3时，化简求√a2−2a+1 1+a的值．
= +
2 a2−a a
26．（2019秋•张家港市期末）已知：√a−2+|b−3|=0
1 √6
（1）求 + 的值；
√4a √b
1 1
（2）设x=√b−√a，y=√b+√a，求 + 的值．
x y
27．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，求a2+ab+b2的值；
√y2−4 y+4
（2）已知：y＞√3x−2+√2−3x+2，求 +5﹣3x的值．
2−y
1 1
28．（2022秋•灞桥区校级月考）已知a= ，b= ，求代数式√a2−3ab+b2的值．
√3−√2 √3+√2
29．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a 的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳
+√1−2a+a2
的解答过程．（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2 的值，其中a＝﹣2022．
√a2−6a+9
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因
式，例如√a与√a，√2+1与√2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘
√2 √2×√3 √6
以 分 母 的 有 理 化 因 式 的 方 法 就 可 以 了 ， 例 如 ： = = ，
√3 √3×√3 3
2 2(3+√3) 2(3+√3) 2(3+√3) 3+√3．
= = = =
3−√3 (3−√3)(3+√3) 9−3 6 3
（1）请你写出3+√11的有理化因式： ；
1−b
（2）请仿照上面的方法化简 （b≥0且b≠1）；
1−√b
1 1
（3）已知a= ，b= ，求√a2+b2+2的值．
√3−2 √3+2
