文档内容
考点 31 平面向量基本定理及坐标表示（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
【知识点】
1．平面向量基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
1 2
一对实数λ，λ，使a＝ .
1 2
若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．
1 2 1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ，|AB|＝ .
1 1 2 2
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔ .
1 1 2 2
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x ，y)，B(x ，y)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点
1 1 2 2
A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
1 1 2 2 3 3
【核心题型】
.
题型一 平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的
加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形 中，点 在平面 内，且满足
，条件 ，条件 ，则 是 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形 中， ，
， 与 交于点 ，则 （ ）
A．1 B．0 C． D．
【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在 中，点 是 的中点，点 在 上，
且 ， ，则 .
【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在 中， ， ，M点为BC的中
点，N点在线段AC上且 ， .
(1)求AC；
(2)若点P为AM与BN的交点，求 的余弦值.题型二 平面向量的坐标运算
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向
量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解
答转化为我们熟知的数量运算．
【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知 的顶点 ， ， ，则
顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 内，已知点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列 ， 能表示向量 的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形 中，点 ， ， ．
若 与 的交点为 ，则 的中点 的坐标为 ,
题型三 向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是xy＝xy.
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
命题点1 利用向量共线求参数
【例题3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量 ， ，若 与 共线且反
向，则实数 的值为（ ）A．4 B．2 C． D． 或4
【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A．4或2 B． C．2 D．2或
【变式2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则实
数 .
【变式3】（2023·四川成都·一模）已知向量 ， ，函数
.
(1)若 ，求 的值；
(2) ， ， 为 的内角 ， ， 的对边， ，且 ，求 面积的最
大值.
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
【例题4】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·江苏南京·二模）已知向量 ， ．若 ，则
（ ）
A． B． C．3 D．6【变式2】（2023·山东青岛·一模）已知 ， ， ，若向量 ，且
与 的夹角为钝角，写出一个满足条件的 的坐标为 ．
【变式3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线 ： 的焦点为 ，直线 ， 过
分别交抛物线 于点 ， ， ， ，且直线 ， 交 轴于 ， ，其中 ，
则 点坐标为 ．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边 中，点 为中线BD的三等
分点（靠近点B），点F为BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北承德·二模）在 中， 为 中点，连接 ，设 为 中点，且
，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量 ， ，则“ ”是“与 共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2024·四川·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则向量 与向量 的夹角的余弦值为
D．若 ，则向量 在向量 上的投影向量为
6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）设 ， ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D． 在 上的投影向量为
三、填空题
7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点， ， ，点P在
线段AB上，且 ，则点P的坐标为 ．
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量 .若向量 与 共线，则实数 的值为 .
9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点 ， ，若向量 与 垂直，则
．
四、解答题
10．（2024·湖北·二模）如图， 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过 的直线交
抛物线于 两点，直线 交抛物线的准线于点 ，设抛物线在 点处的切线为 ．
(1)若直线 与 轴的交点为 ，求证： ；
(2)过点 作 的垂线与直线 交于点 ，求证： ．
11．（2022·北京·三模）如图四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角
形， ， ， ， ， 为 的中点.(1)求证：直线 平面
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
(3)设 是 的中点，判断点 是否在平面 内，并证明结论.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量 ， ，若当 时， ，
当 时， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·山西·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
3．（2024·重庆·三模）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
4．（2024·浙江温州·三模）平面向量 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在 的内部（不含边界），则下列选项中， 可能的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）在 中，点 满足 ．若 ， ，
，则 （ ）
A．4 B． C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）在 中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线
段CD上靠近D的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
二、多选题
9．（2024·江西景德镇·三模）等边 边长为2， ， ， 与 交于
点 ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影向量为
10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形 中， ， ，点
是以 为直径的半圆弧上的动点，若 ，则（ ）A．
B．
C． 最大值为
D． ， ， 三点共线时
11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量 ，则下列命题为真命
题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 的最大值为6
D．若 ，则
三、填空题
12．（2022·黑龙江·一模）已知向量 ， ，点 的坐标为 ，则点
的坐标为 ．
13．（2020高三上·全国·专题练习）已知向量 ， ，且 ，则
14．（2023·上海徐汇·三模）函数 沿着向量 平移后得到函数 ，
则向量 的坐标是 .
四、解答题15．（2023·吉林·一模）已知向量 ， ．
(1)若 且 ，求 ；
(2)若函数 ，求 的单调递增区间．
16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，向量
，且 .
(1)求角
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量 ， ， ．
(1)若 ，求m的值；(2)若 ，求m的值；
(3)若 与 夹角为锐角，求m的取值范围．
18．（2023·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 是 上的一点，且 ，求 的最小值．
19．（2023·福建福州·三模） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
△
， .
(1)求B；
(2)D为AC的中点， ,求 的面积.【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量 ， ，点 ，则点B的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济南·一模）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024·陕西榆林·二模）若向量 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．0
4．（2024·全国·模拟预测）已知 为平面直角坐标系的原点，向量
，设 是直线 上的动点，当 取得最小值时，
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知向量 .若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 ， ， 为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．已知向量 ， ，则C．若 ，则 和 在 上的投影向量相等
D．已知 ， ， ，则点A，B，D一定共线
三、填空题
7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量 ，若 ，则实
数
8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量 ， ，则
9．（2023·上海普陀·二模）设x、 ，若向量 ， ， 满足 ， ，
，且向量 与 互相平行，则 的最小值为 ．
四、解答题
10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数 ，在 中，
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A；
(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．11．（2023·江苏·三模）已知椭圆E： ，椭圆上有四个动点A，B，C，D，
，AD与BC相交于P点.如图所示.
(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否
为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点P的坐标为 ，求直线AB的斜率.
