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专题 19.5 二次根式的加减
1. 掌握能合并的二次根式的概念，并能够熟练地进行二次根式的合并。
教学目标 2. 掌握二次根式的加减法运算，并能够熟练对二次根式进行加减运算。
3. 掌握二次根式的混合运算法则并能够熟练进行混合运算。
1. 重点
（1）能合并的二次根式；
（2）二次根式的加减运算及混合运算。
教学重难点
2. 难点
（1）根据同类二次根式求值；
（2）二次根式的混合运算及其化简求值。知识点01 能合并的二次根式（同类二次根式）
1. 同类二次根式的概念：
一般地，把几个二次根式化为 最简二次根式 后，如果它们的被开方数 相同 ，就把这
几个二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：
只合并 根号外 的因式，即 系数 相加减， 被开方数 和 根指数 不变。
(a+b)❑√m
即 。
【即学即练1】
1．下列二次根式与❑√3是同类二次根式的是（ ）
A．❑√2 B．❑√6 C．❑√9 D．❑√12
【答案】D
【解答】解：❑√2与❑√3不是同类二次根式，则A不符合题意，
❑√6与❑√3不是同类二次根式，则B不符合题意，
❑√9=3，它与❑√3不是同类二次根式，则C不符合题意，
❑√12=2❑√3，它与❑√3是同类二次根式，则D符合题意，
故选：D．
【即学即练2】
2．最简二次根式❑√2b+1与❑√7−b是同类二次根式，则b＝（ ）
A．2 B．3 C．0 D．4
【答案】A
【解答】解：根据最简二次根式与同类二次根式的定义，
得2b+1＝7﹣b，
解得：b＝2．
故选：A．
【即学即练3】
3．若❑√18与最简二次根式❑√m+1能合并，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：❑√18=3❑√2，
∵❑√18与最简二次根式❑√m+1能合并，
∴m+1＝2，
∴m＝1．
故选：B．知识点02 二次根式的加减
1. 二次根式的加减运算法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成 最简二次根式 ，再把 被开方数 相同的二次根式进行
合并。
2. 具体步骤：
①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。
②对二次根式进行化简。
③合并同类二次根式。
【即学即练1】
1 √ 1 √ 1
4．计算：（1） ❑√45+5❑3 −3❑√20； （2）a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3．
3 5 8a
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式=❑√5+4❑√5−6❑√5
=−❑√5．
√ 1
（2）a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3
8a
❑√2a
＝2a❑√2a−2a2• +3a❑√2a
4a
1
＝2a❑√2a− a❑√2a+3a❑√2a
2
9
= a❑√2a．
2
知识点03 二次根式的混合运算
1. 二次根式的混合运算法则：
同有理数的混合运算法则相同，先去 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 。有括号的先算括号，
先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。
【即学即练1】
5．计算：
√1
（1）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24；
2
（2）(3❑√2+❑√3)(3❑√2−❑√3)−(1−❑√5) 2．
【答案】（1）4+❑√6；
（2）9+2❑√5．√1
【解答】解：（1）原式=❑√48÷3−❑ ×12+2❑√6
2
＝4−❑√6+2❑√6
＝4+❑√6；
（2）原式＝18﹣3﹣（1﹣2❑√5+5）
＝18﹣3﹣6+2❑√5
＝9+2❑√5．
【即学即练2】
6．求当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，下列代数式的值．
√ x √ y
①x2﹣y2； ②❑ +❑ ．
y x
【答案】①24❑√3；
4❑√33
② ．
11
【解答】解：当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，x+y＝12，x﹣y＝2❑√3，xy＝33，
①x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝12×2❑√3
＝24❑√3；
√ x √ y
②❑ +❑
y x
❑√xy ❑√xy
= +
y x
x❑√xy+ y❑√xy
=
xy
❑√xy(x+ y)
=
xy
❑√33×12
=
33
4❑√33
= ．
11
【即学即练3】
8．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：
√h
m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=❑ （不考虑风速
5
的影响）．（1）从270m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？
（2）从高空抛出的物体，经过3❑√2s落地，所抛物体下落的高度是多少？
【答案】（1）从抛出到落地所需时间是3❑√6s；
（2）所抛物体下落的高度是90m．
√270
【解答】解：（1）由条件可得t=❑ =3❑√6(s)；
5
答：从抛出到落地所需时间是3❑√6s；
√h
（2）由条件可得3❑√2=❑ ，
5
解得：h＝90；
答：所抛物体下落的高度是90m．
题型01 判断同类二次根式
【典例1】下列二次根式中与❑√2是同类二次根式的是（ ）
A．❑√50 B．❑√12 C．❑√10 D．❑√4
【答案】A
【解答】解：A、❑√50=5❑√2，与❑√2是同类二次根式，故此选项符合题意；
B、❑√12=2❑√3，与❑√2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、❑√10与❑√2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、❑√4=2，与❑√2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ）
A．❑√3和❑√9 B．❑√a和❑√2a
√1
C．❑√12和❑ D．❑√a2b和❑√ab2
3
【答案】C
【解答】解：A、❑√9=3，❑√3与3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、❑√a与❑√2a不是同类二次根式，故此选项不符合题意；√1 ❑√3 √1
C、❑√12=2❑√3，❑ = ，所以❑√12与❑ 是同类二次根式，故此选项符合题意；
3 3 3
D、❑√a2b=a❑√b，❑√ab2=b❑√a，所以❑√a2b和❑√ab2不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）
A．❑√0.7与❑√7
1
B．❑√a+b与 （其中a＞b＞0）
❑√a−b
√1
C．❑√24与❑
6
D．❑√x3y与❑√x y2（其中x＞0，y＞0）
【答案】C
❑√70
【解答】解：A、❑√0.7= 与❑√7被开方数不同，不是同类二次根式；
10
1 ❑√a−b
B、 = 与❑√a+b被开方数不同，不是同类二次根式；
❑√a−b a−b
√1 ❑√6
C、❑√24=2❑√6，❑ = 被开方数项同，是同类二次根式；
6 6
D、❑√x3y=x❑√xy，❑√x y2= y❑√x被开方数不同，不是同类二次根式，
故选：C．
题型02 根据同类二次根式求值
【典例1】若最简二次根式❑√8−3k与❑√8能合并，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：❑√8=2❑√2，
∵最简二次根式❑√8−3k与2❑√2能合并，
∴8﹣3k＝2，
∴﹣3k＝2﹣8，
∴﹣3k＝﹣6，
∴k＝2．
故选：C．
【变式1】若最简二次根式❑√1+a与❑√4−2a能进行合并，则a的值为（ ）
3 4
A．a=− B．a= C．a＝1 D．a＝﹣1
4 3
【答案】C【解答】解：∵最简二次根式❑√1+a与❑√4−2a能进行合并，
∴1+a＝4﹣2a，
解得：a＝1，
故选：C．
【变式2】若最简二次根式❑√2a−1与❑√3+a是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．4 B．1 C．﹣4 D．0
【答案】A
【解答】解：∵最简二次根式❑√2a−1与❑√3+a是同类二次根式，
∴2a﹣1＝3+a，
解得a＝4．
故选：A．
题型03 二次根式的加减运算
【典例1】计算：
√1
（1）2❑√12−6❑ +3❑√48；
3
（2）（❑√12+❑√20）+（❑√3−❑√5）．
【答案】见试题解答内容
❑√3
【解答】解：（1）原式＝2×2❑√3−6× +3×4❑√3
3
＝4❑√3−2❑√3+12❑√3
＝14❑√3；
（2）原式＝2❑√3+2❑√5+❑√3−❑√5
＝3❑√3+❑√5．
【变式1】计算：
（1）❑√80−❑√20+❑√5
（2）❑√18+(❑√98−❑√27)
√1
（3）(❑√24+❑√0.5)−(❑ −❑√6)
8
2 √x √1
（4） ❑√9x+6❑ −2x❑
3 4 x
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝4❑√5−2❑√5+❑√5=3❑√5；
（2）原式＝3❑√2+7❑√2−3❑√3=10❑√2−3❑√3；√1 √1 ❑√2 ❑√2 ❑√2
（3）原式=❑√24+❑ −❑ +❑√6=2❑√6+ − +❑√6=3❑√6+ ．
2 8 2 4 4
（4）原式＝2❑√x+3❑√x−2❑√x=3❑√x．
【变式2】计算下列各式：
√2 √9
（1）❑√5−❑√6−❑√20+❑ +❑
3 5
√1 √1
（2）❑√12−❑√0.5−2❑ −❑ +❑√18
3 8
√3 √a 1
（3）❑√27a−a❑ +3❑ + ❑√75a3
a 3 2a
2 √ y √ x √1
（4） x❑√9x+6x❑ + y❑ −x2❑ ．
3 x y x
【答案】见试题解答内容
❑√6 3❑√5
【解答】解：（1）原式=❑√5−❑√6−2❑√5+ +
3 5
2❑√5 2❑√6
=− − ；
5 3
❑√2 2❑√3 ❑√2
（2）原式＝2❑√3− − − +3❑√2
2 3 4
4❑√3 9❑√2
= + ；
3 4
5
（3）原式＝3❑√3a−❑√3a+❑√3a+ ❑√3a
2
11❑√3a
= ；
2
（4）原式＝2x❑√x+6❑√xy+❑√xy−x❑√x
＝x❑√x+7❑√xy．
题型04 二次根式的混合运算
【典例1】计算．
√1 √4
（1）（6❑√7−4❑ ）﹣（❑√28+4❑ ）；
7 7
2 ❑√8
（2）❑√18− − +（❑√5−1）0；
❑√2 2
√1
（3）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24；
2❑√20+❑√5 √1
（4） −❑ ×❑√12．
❑√5 3
【答案】见试题解答内容
4❑√7 8❑√7 16❑√7
【解答】解：（1）原式＝6❑√7− −2❑√7− = ；
7 7 7
（2）原式＝3❑√2−❑√2−❑√2+1=❑√2+1；
√1
（3）原式=❑√48÷3−❑ ×12+2❑√6=4−❑√6+2❑√6=4+❑√6；
2
2❑√5+❑√5 √1
（4）原式= −❑ ×12=3﹣2＝1．
❑√5 3
【变式1】计算：
√1 1 ❑√3
（1）❑√8+3❑ − + ；
3 ❑√2 2
1 ❑√2
（2）❑√50− +2❑√20−❑√45+
❑√5 2
（3）(2❑√5+3❑√2)(2❑√5−3❑√2)
（4）(2−❑√5) 2011 (2+❑√5) 2012．
【答案】见试题解答内容
❑√2 ❑√3
【解答】解：（1）原式＝2❑√2+❑√3− +
2 2
3 3
= ❑√2+ ❑√3，
2 2
1 1
（2）原式=5❑√5− ❑√5+4❑√5−3❑√5+ ❑√2
5 2
29 1
= ❑√5+ ❑√2，
5 2
（3）原式＝（2❑√5）2﹣（3❑√2）2
＝20﹣18
＝2，
（4）原式＝（2−❑√5）2011（2+❑√5）2011（2+❑√5）
＝[（2+❑√5）（2−❑√5）]2011（2+❑√5）
＝﹣（2+❑√5）
＝﹣2−❑√5．
【变式2】计算与化简
2 √1
（1）❑√50−（❑√8+ ❑ ）+❑√ (❑√2−3) 2；
5 2√ 1 √ 2
（2）❑2 ÷3❑√28×(−5❑2 )；
4 7
√x3 √ y2
（3）5x2❑√xy÷12❑ ⋅3❑ （x＞0，y＞0）；
y x
（4）(❑√5+❑√2) 2−(❑√5−❑√2) 2．
【答案】见试题解答内容
2 ❑√2 9❑√2
【解答】解：（1）原式＝5❑√2−2❑√2− × +3−❑√2= +3；
5 2 5
3 1 20❑√7 5
（2）原式= × ×（− ）=− ；
2 6❑√7 7 7
√ y y2 5x2 y2 5 y2❑√x
（3）原式＝5x2÷12×3❑ xy× × = • = ；
x3 x 4 x❑√x 4
（4）原式＝7+2❑√10−（7﹣2❑√10）＝4❑√10．
题型05 二次根式的化简求值
【典例1】已知：a=❑√3−2，b=❑√3+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+2ab+b2；
（2）a2b﹣ab2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当a=❑√3−2，b=❑√3+2时，
（1）a2+2ab+b2，
＝（a+b）2，
＝（❑√3−2+❑√3+2）2，
＝（2❑√3）2，
＝12；
（2）a2b﹣ab2，
＝ab（a﹣b），
＝（❑√3−2）（❑√3+2）（❑√3−2−❑√3−2），
＝[（❑√3）2﹣22]×（﹣4），
＝﹣1×（﹣4），
＝4．
【变式1】已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
1 1
（2） − ．
x y【答案】（1）12；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）∵x=❑√3+1，y=❑√3−1，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2=(❑√3+1+❑√3−1) 2=(2❑√3) 2=12；
1 1 y−x
（2） − =
x y xy
(❑√3−1)−(❑√3+1)
=
(❑√3+1)(❑√3−1)
−2
=
2
＝﹣1．
【变式2】已知a=2❑√3+3❑√2，b=2❑√3−3❑√2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
1 1
（2） − ．
a2 b2
【答案】（1）−24❑√3；
2
（2）− ❑√6．
3
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 可 得 ： a+b=(2❑√3+3❑√2)+(2❑√3−3❑√2)=4❑√3，
ab=(2❑√3+3❑√2)(2❑√3−3❑√2)=−6，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=−6×4❑√3=−24❑√3；
（2）∵a=2❑√3+3❑√2，b=2❑√3−3❑√2，
∴b−a=(2❑√3−3❑√2)−(2❑√3+3❑√2)=−6❑√2，
1 1
−
a2 b2
b2−a2
=
(ab) 2
(b−a)(b+a)
=
(ab) 2
4❑√3×(−6❑√2)
=
(−6) 2
2
=− ❑√6．
3
【变式3】先化简，再求值：(❑√a+❑√b) 2 −(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b)−2❑√a❑√b．其中a＝3，b＝4．
【答案】2b，8．
【解答】解：原式=a+2❑√ab+b−(a−b)−2❑√ab=a+2❑√ab+b−a+b−2❑√ab
＝2b，
当a＝3，b＝4时，
原式＝2×4＝8．
题型06 二次根式的实际应用
【典例1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高
√h
度h（单位：m）近似满足公式t=❑ （不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为
5
t
2
t ，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t ，则 的值为（ ）
1 2 t
1
❑√2 2❑√5
A．❑√2 B．❑√5 C． D．
2 5
【答案】A
√a
❑
t 5 ❑√2
【解答】解：由题意得： 1= = ，
t √2a 2
2 ❑
5
t
∴
2=❑√2，
t
1
故选：A．
【变式 1】有一块长方形木板 ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长 AD 增加2❑√3cm（即
DE=2❑√3cm），宽AB增加7❑√3cm（即BG=7❑√3cm）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
❑√6
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为 cm的长方形木料，请通过计算
2
说明木工乙的想法是否可行．
【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：❑√192=8❑√3cm，
∴AD=8❑√3−2❑√3=6❑√3cm，AB=8❑√3−7❑√3=❑√3cm．
∴矩形ABCD木板的面积为6❑√3×❑√3=18cm2．（2）木工乙的想法可行，理由如下：
❑√6
从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为 cm，
2
❑√6 2
∴裁出长为：12÷ =12× =4❑√6cm，
2 ❑√6
由（1）得长方形ABCD的长为6❑√3cm宽为❑√3cm，
❑√12
∵4❑√6=❑√96，6❑√3=❑√108，❑√3= ，
2
❑√6
∴4❑√6＜6❑√3， ＜❑√3，
2
∴可以裁出所求的长方形木料．
∴木工乙的想法可行．
1．下列运算正确的是（ ）
A．❑√3+❑√2=❑√5 B．3❑√2−❑√2=3 C．❑√2×❑√5=❑√10 D．❑√24÷❑√6=4
【答案】C
【解答】解：A.❑√3与❑√2不能合并，所以A选项不符合题意；
B．3❑√2−❑√2=2❑√2，所以B选项不符合题意；
C.❑√2×❑√5=❑√2×5=❑√10，所以C选项不符合题意；
D.❑√24÷❑√6=❑√24÷6=❑√4=2，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．❑√27a3b2和❑√12a B．5❑√2x和5❑√3x
√ 1
C．❑√x y2和❑√x2y D．❑√a和❑
a2
【答案】A
【 解 答 】 解 ： A 、 化 简 ❑√27a3b2=❑√9×3×a2×a×b2=3a|b|❑√3a， 化 简
❑√12a=❑√4×3×a=2❑√3a，两式最简形式被开方数均为3a，为同类二次根式．符合题意；
B、5❑√2x 和 5❑√3x，被开方数分别为 2x 和 3x，不是同类二次根式，不符合题意；
C、❑√x y2=|y|❑√x和 ❑√x2y=|x|❑√y，被开方数分别为x和y，不是同类二次根式，不符合题意；
√ 1 1 √ 1 1
D、❑√a 和 ❑ = ，❑ = 化简后不是二次根式，不是同类二次根式，不符合题意．
a2 |a| a2 |a|
故选：A．√1 √ a
3．某同学做了以下四道习题，①❑√16a4=4a2；②❑√5a⋅❑√10a=5❑√2a；③a❑ =a❑ =❑√a；④
a a2
❑√3a−❑√2a=❑√a．其中做错的题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下：
①❑√16a4=4a2，正确，不符合题意；
②❑√5a⋅❑√10a=❑√50a2=5❑√2a，正确，不符合题意；
√1 √ a √ 1
③a❑ =a❑ =❑a2 ⋅ =❑√a，正确，不符合题意；
a a2 a
④❑√3a−❑√2a=(❑√3−❑√2)❑√a≠❑√a，错误，符合题意；
故选：A．
4．若❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：❑√12=2❑√3，而❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，
所以2t﹣1＝3，
解得t＝2，
故选：C．
5．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．78cm2 B．(4❑√3+❑√30)cm2
C．12❑√10cm2 D．24❑√10cm2
【答案】D
【解答】解：由条件可知两个小正方形的边长为❑√48=4❑√3cm和❑√30cm，
∴大正方形的边长为(4❑√3+❑√30)cm，
∴余下部分的面积为：
（4❑√3+❑√30）2﹣30﹣48＝2×4❑√3×❑√30=24❑√10（cm2）．
故选：D．
6．若x是整数，且❑√x−1+❑√3−x有意义，则❑√x−1+❑√3−x的值是（ ）
A．1或3 B．0或1 C．2或❑√2 D．0或❑√2【答案】C
【解答】解：由条件可知x﹣1≥0 且 3﹣x≥0，即 1≤x≤3．
又∵x是整数，
∴x可取1，2，3．
当x＝1时，❑√1−1+❑√3−1=0+❑√2=❑√2；
当x＝2时，❑√2−1+❑√3−2=1+1=2；
当x＝3时，❑√3−1+❑√3−3=❑√2+0=❑√2．
∴❑√x−1+❑√3−x 的值为❑√2或2，
故选：C．
1 1
7．已知❑√a− =2，则❑√a+ 值为（ ）
❑√a ❑√a
A．2❑√2 B．±2❑√2 C．2❑√3 D．±2❑√3
【答案】A
【解答】解：由条件可知a≥0且a≠0，
∴a＞0，
∴❑√a＞0，
1
∴❑√a+ ＞0，
❑√a
1 √ 1 2 √ 1 2
∴❑√a+ =❑(❑√a+ ) =❑(❑√a− ) +4=❑√22+4=2❑√2，
❑√a ❑√a ❑√a
1
∴❑√a+ 值为2❑√2．
❑√a
故选：A．
8．若5−❑√11的整数部分为x，小数部分为y，则(x+❑√11)(y−3)的值是（ ）
A．−13−3❑√11 B．13+3❑√11 C．10 D．﹣10
【答案】D
【解答】解：∵3＜❑√11＜4，
∴1＜5−❑√11＜2，
∴x＝1，y=5−❑√11−1=4−❑√11，
∴(x+❑√11)(y−3)=(1+❑√11)(4−❑√11−3)=(1+❑√11)(1−❑√11)=−10，
故选：D．
√ y √ x
9．已知x+y＝﹣9，xy＝9，则x❑ + y❑ 值是（ ）
x y
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9，∴x＜0，y＜0，
∴❑√x2=−x，❑√y2=−y，
√ y √ x
∴原式=−❑√x2 ⋅❑ −❑√y2 ⋅❑
x y
=−❑√xy−❑√xy
=−2❑√xy
=−2❑√9
＝﹣6，
故选：B．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积 为 S
√1 a2+b2−c2 2
=❑ [a2b2−( ) ]．现已知△ABC的三边长分别为1，2，❑√5，则△ABC的面积为（ ）
4 2
A．1 B．2 C．1.5 D．0.5
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，❑√5，则△ABC的面积为：
√1 12+22−(❑√5) 2
∴S=❑ [12×22−( ) 2 ]=1，
4 2
故选：A．
11．若最简二次根式❑√2x−7与3❑√x−2是同类二次根式，则x＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵最简二次根式❑√2x−7与3❑√x−2是同类二次根式，
∴2x﹣7＝x﹣2，
∴x＝5．
故答案为：5．
12．已知实数m，n满足❑√m−2+(n−18) 2=0，则❑√m−❑√n= −2❑√2 ．
【答案】−2❑√2．
{m−2=0)
【解答】解：根据绝对值和平方的非负性可得： ，
n−18=0
{m=2)
解得 ，
n=18
∴❑√m−❑√n=❑√2−❑√18=❑√2−3❑√2=−2❑√2，
故答案为：−2❑√2．
13．定义运算“*”的运算法则为a*b＝2❑√a+❑√b，则18*32＝ 10❑√2 ．
【答案】10❑√2．【解答】解：由题意得，18∗32=2❑√18+❑√32=6❑√2+4❑√2=10❑√2，
故答案为：10❑√2．
14．设a=❑√7+❑√6，b=❑√7−❑√6，则a2025b2026的值是 ❑√7−❑√6 ．
【答案】❑√7−❑√6．
【解答】解：设a=❑√7+❑√6，b=❑√7−❑√6，
∴ab＝（❑√7+❑√6）（❑√7−❑√6）＝7﹣6＝1，
∴a2025b2026＝（ab）2025•b
＝12025×（❑√7−❑√6）
＝1×（❑√7−❑√6）
=❑√7−❑√6，
故答案为：❑√7−❑√6．
2025
15．若m= ，则m3﹣m2﹣2027m+2025＝ 405 0 ．
❑√2026−1
【答案】4050．
【 解 答 】 解 ： 有 理 化 分 母 化 简 得 ：
2025 2025(❑√2026+1) 2025(❑√2026+1)
m= = = =❑√2026+1，
❑√2026−1 (❑√2026−1)(❑√2026+1) 2026−1
∴m−1=❑√2026，
∴（m﹣1）2＝2026，
整理得m2＝2025+2m，
∴原式＝m（2025+2m）﹣（2025+2m）﹣2027m+2025
＝2m2+2025m﹣2025﹣2m﹣2027m+2025
＝2m2﹣4m
＝2（2025+2m）﹣4m
＝4050，
故答案为：4050．
16．计算：
1 √1
（1）❑√75− +10❑ ；
❑√3−❑√2 2
√1
（2）(3❑√12−2❑ +❑√48)÷2❑√3．
3
【答案】（1）4❑√3+4❑√2；
14
（2） ．
3❑√3+❑√2 ❑√2
【解答】解：（1）原式=5❑√3− +10×
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) 2
=5❑√3−(❑√3+❑√2)+5❑√2
=5❑√3−❑√3−❑√2+5❑√2
=4❑√3+4❑√2．
2
（2）原式=(6❑√3− ❑√3+4❑√3)÷2❑√3
3
28
= ❑√3÷2❑√3
3
14
= ．
3
17．如图，小华家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为❑√72m，宽BC为❑√32m，小华准备在空地中
划出一块长为(❑√10+1)m，宽为(❑√10−1)m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种
植青菜．
（1）求出长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【答案】（1）20❑√2m；
（2）39m2．
【解答】解：（1）2×(❑√72+❑√32)=2×(6❑√2+4❑√2)=20❑√2(m)；
（2）将大矩形面积减去阴影面积可得：
❑√72×❑√32−(❑√10+1)×(❑√10−1)
＝48﹣（10﹣1）
＝39（m2）．
答：种植青菜部分的面积是39m2．
3 √2 2
18．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到 ，❑ ， 这样的式子，还需做进一步的化简，化去
❑√5 3 ❑√3+1
分母中的根号．
3 3×❑√5 3❑√5
= =
①
❑√5 ❑√5×❑√5 5
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ②
3 3×3 32 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
③
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
1 1
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知x= ，y=
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
（1）求x+y，xy的值；
（2）求x2+y2﹣xy的值．
【答案】（1）x+ y=2❑√3；xy＝1；
（2）9．
【解答】解：（1）先对x、y分别进行分母有理化，分母有理化可得：
1 1 ❑√3−❑√2
x= = × =❑√3−❑√2，
❑√3+❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
1 1 ❑√3+❑√2
y= = × =❑√3+❑√2，
❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
∴x+ y=❑√3−❑√2+❑√3+❑√2=2❑√3，
∴x×y=(❑√3−❑√2)×(❑√3+❑√2)=1，
（2）原式＝（x+y）2﹣3xy
=(2❑√3) 2 −3×1
＝12﹣3
＝9．
19．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间 t（s）和高度h（m）
√h
近似满足公式t=❑ （不考虑阻力的影响）．
5
（1）求物体从80m的高空落到地面的时间；
（2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明
理由；
（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg
的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无
防护人体只需要65J的能量）
【答案】（1）物体从80m的高空落到地面的时间为4s；
（2）她的说法不正确，
√160
理由：当h＝160时，t=❑ =❑√32=4❑√2，
5
∵4×2≠4❑√2，
∴小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍的说法是错误的；
（3）这个小球在下落过程中所带能量为90J，启示是高空抛物存在很大危险，很可能一个小物体就会
杀伤行人（启示合理即可，答案不唯一）．【解答】解：（1）当h＝80时．
√80
t=❑ =❑√16=4，
5
即物体从80m的高空落到地面的时间为4s；
（2）她的说法不正确，
√160
理由：当h＝160时，t=❑ =❑√32=4❑√2，
5
∵4×2≠4❑√2，
∴小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍的说法是错误的；
√h
（3）当t＝3时，3=❑ ，得h＝45，
5
质量为0.2kg的小球所带能量为：10×0.2×45＝90（J），
90＞75，
由上可得，这个小球在下落过程中所带能量为90J，启示是高空抛物存在很大危险，很可能一个小物体
就会杀伤行人．
1
20．小星在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小星的分析过程，解决如下问题：
1 1
（1）填空： = ❑√11−❑√10 ； = ❑√n+❑√n−1 ；
❑√11+❑√10 ❑√n−❑√n−1
1 1 1 1
（2）计算：( + + +⋯+ )⋅(❑√2025+1)；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
1
（3）若a= ，求2a2﹣12a﹣5的值．
❑√10−3
【答案】（1）❑√11−❑√10；❑√n+❑√n−1；
（2）2024；
（3）﹣3．
1 ❑√11−❑√10 ❑√11−❑√10
【解答】解：（1） = = =❑√11−❑√10；
❑√11+❑√10 (❑√11+❑√10)(❑√11−❑√10) 11−10
1 ❑√n+❑√n−1 ❑√n+❑√n−1
= = =❑√n+❑√n−1．
❑√n−❑√n−1 (❑√n−❑√n−1)(❑√n+❑√n−1) n−(n−1)故答案为：❑√11−❑√10；❑√n+❑√n−1；
（2）
1 1 1 1
由题意得，( + + +⋯+ )⋅(❑√2025+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
=(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√2025−❑√2024)×(❑√2025+1)
=(−1+❑√2025)×(❑√2025+1)
＝2025﹣1
＝2024；
1 ❑√10+3 ❑√10+3
（3）∵a= = = =❑√10+3，
❑√10−3 (❑√10−3)×(❑√10+3) 10−9
∴a−3=❑√10，
∴（a﹣3）2＝10，即a2﹣6a+9＝10，
∴a2﹣6a＝1，
∴2a2﹣12a﹣5＝2（a2﹣6a）﹣5＝2×1﹣5＝﹣3．
