文档内容
专题 16 平面向量及其应用（六大题型+模拟精练）
目录：
01 平面向量的有关概念
02 平面向量的线性运算
03 平面向量的数量积
04 平面向量的基本定理与坐标表示
05 平面向量的综合应用
06 三角形的“心”的向量表示
01 平面向量的有关概念
1．下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量 与 的长度相等
【答案】A
【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义
判断.
【解析】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误；
B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确；
C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确；
D.向量 与 是相反向量，大小相同，方向相反，故正确；
故选：A2．若向量 与 为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若非零向量 ，则 与 的方向相同
D．若 ，则
【答案】C
【分析】利用平面向量不能比大小可判断选项A；利用平面向量的加法与减法法则可判断选项B；由平面
向量的数量积和模的性质可判断选项C；根据向量相等的定义判断D选项.
【解析】对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误；
对于B选项， ，B错误；
对于C选项， 因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，设向量
又向量 与 是非零向量，所以 ，又 ，
所以 ，故 与 的方向相同；C正确；
若 ， 方向不一定相同，则 不一定相等，D错误；
故选：C.
3．与向量 平行的所有单位向量为（ ）
A． B．C． D． 或
【答案】D
【分析】首先求出 ，则与向量 平行的单位向量为 或 ，即可判断.
【解析】因为 ，所以 ，
所以与向量 平行的单位向量为 或 .
故选：D
4．已知两个单位向量 ， 的夹角是 ，则 .
【答案】
【分析】利用单位向量模长以及夹角，将 平方即可求得结果.
【解析】由单位向量可知 ，且 ；
所以可得 ，
即 .
故答案为：
02 平面向量的线性运算
5．在 中， 是 的中点， 在 上，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.【解析】因为 是 的中点，所以 .
因为 ，所以 ，
则 .
故选：D
6．如图所示，在 中， 为BC边上的三等分点，若 ， ， 为AD中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【解析】
故选：A
7．如图，在平行四边形 中，E、F分别是 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
【解析】对A：由题意知，E、F分别是 边上的两个三等分点，且 与 方向相同，
则 ，故A正确；
对B：由图可知， ， ，所以 ，
故B正确；
对C： ，故C正确；
对D： ，故D错误.
故选：D.
8．在 中， 为 中点，连接 ，设 为 中点，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理将 用 表示出来，再用向量的线性运算把 用 表示即可.
【解析】由于 ，所以 ，
故选：D
9．如图所示， （ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，由平面向量正交分解和向量的线性运算即可得到结果.
【解析】由题意得， ， ，
故 .
故选：A．
10．已知向量 不共线，则向量 与 共线时，实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得.
【解析】由向量 不共线，得向量 ，
由向量 与 共线，得 ，
于是 ，所以 .
故选：B
11．已知 是边长为1的正 的边 上靠近C的四等分点， 为 的中点，则 的值是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算可得 ， ，结合数量积的运算律计算即可
求解.
【解析】如图，， ，
所以
.
故选：A
12．在 中， 且 ，则错误的选项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由条件推得 为等腰直角三角形，不妨作正方形 ，取边长为1，结合图形依次化简
等式的左右向量式，计算即可判断正误.
【解析】由 可知 ,又由 可得 ，
故得 为等腰直角三角形.
如图，作正方形 ，设边长为1，连接 .
对于A项， ，故A项正确；
对于B项， ，而 ，故B项正确；对于C项， ，而 ，故C项错误；
对于D项， ，而 ，故D项正确.
故选：C.
03 平面向量的数量积
13．在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点， ，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合正弦定理边化角即可得解.
【解析】在 中， 是 的中点， ，
则 ，即 ，因此 ，
所以 .
故答案为：
14．在 中， ，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设 ，则 的
最小值是 .
【答案】
【分析】由 ，得到 ，从而有 ，再根据 三点共线，得到
，然后利用基本不等式求解.
【解析】解：因为在 中， ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
因为 三点共线，则 ，结合题意知 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：
15．已知向量 满足 ， ，则 （ ）
A．－2 B． C． D．6
【答案】A
【分析】由条件 ，两边平方可得 ，结合数量积的运算律化简可求结论.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
故选：A.
16．已知平面向量 ， 均为单位向量，若 ，则向量 ， 的夹角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 两边平方，求出 ，利用向量夹角余弦公式求出答案.【解析】 ,
因为 ， 均为单位向量， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ，故 .
故选：C .
17．若向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由 与 的夹角为锐角，则 ，列出不等式解出 ，要去掉使 与 同向（ 与 的夹角为
0）的 的取值.
【解析】∵ 与 的夹角为锐角，∴ ，即 ，解得 ，
当 与 共线时，可得 ，解得 ，
所以当 时， 与 同向，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： .
18．已知 是单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，推理得到 ，再由投影向量求得 ，联立得到 ，利
用两向量的夹角公式计算即得.【解析】因为 是单位向量，且 ，
两边平方得， ，即 （*），
由 在 上的投影向量为 ，可得 ，
所以 ，即 ，代入（*）可得， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：B．
19．已知向量 ， ， ，若 与 的夹角为 ，且 ⊥
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算得到 ，再由向量垂直得到方程，求出 .
【解析】 ，
即 ，
所以 ，
因为 ⊥ ，所以，
解得
故选：A
20．在矩形 中， ， ，E为 的中点，F为 的中点，Q为边 上的动点（包括端
点），则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数 ，结合向量数量积的坐标公式将 表示成 的函数，
由此即可得解.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意 ，设 ，
从而 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
21．已知 是圆O： 的直径，M，N是圆O上两点，且 ，则 的最
小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．【答案】C
【分析】取 的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出 后，借助三角函数值域即
可得解.
【解析】设 的中点为C，∵ ， ，
则 ，
∵C为 的中点，∴ ，
设向量 与 的夹角为 ，
∴ ，
又 ，∴ 的最小值为 .
故选：C.
22．在平行四边形 中， ，点 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则
的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】设 与 的交点为 ，由 ，两边平方可表示出 ，同理可表示
，四个式子相加化简可求得结果.【解析】设 与 的交点为 ，由 ，
得 ，
同理可得 ，
，
，
所以
，当点 与点 重合时，等号成立.
故选：C
04 平面向量的基本定理与坐标表示
23．设 、 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A． 和 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可.
【解析】 、 是不共线的两个非零向量，
对于A， 和 中， ， 和 不共线，可作基底，A不是；
对于B， 与 中， ， 与 不共线，可作基底，B不是；对于C， 与 中， ， 与 共线，不能作基底，C是；
对于D， 与 中， ， 与 不共线，可作基底，D不是.
故选：C
24．在 中，内角A，B，C所对的边分别为 ， ， .向量 ，若 ，
则角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由 得到 ，再利用余弦定理即可得解.
【解析】因为 ， ，
所以 ，即 ，
由余弦定理可得 .
因为 ，所以 ，
故选：D.
25．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，在 中， ， ， ，
则 （ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】A
【分析】首先由数量积的定义求出 ，再由平面向量线性运算法则得到 ，最后根据
及数量积的运算律计算可得.
【解析】因为向量 ， 的夹角为 ， ， ，所以 ，
又因为
，
所以
.
故选：A
26．已知向量 ，若 不超过 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 的坐标，再由 不超过 求解.
【解析】解：因为 ，且 不超过 ，
所以 ，解得 ，
故选：D．
27．如图，在等腰梯形 中， ，则 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，坐标法求向量数量积.
【解析】在等腰梯形 中， ，
过 作 的垂线，垂足为 ， ， ，以 的中点 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
依题意可得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
得
故答案为： .
28．如图，点 是 的重心，点 是边 上一点，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 交 于 ，根据题意，得到 且 ，再由 ，可得
是 的四等分点，根据向量的运算法则，求得 ，求得 的值，即可求解.
【解析】如图所示，延长 交 于 ，
由已知 为 的重心，则点 为 的中点，可得 ，且 ，又由 ，可得 是 的四等分点，
则 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ．
故选：C.
29．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 ，根据题意，求得
且 ，得到 ，结合三角函数的性质，即可
求解.
【解析】以 为坐标原点，过点 平行于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，可得 ，
因为 是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为 ，因为点 在 的外接圆上，设 ，其中 ，
则 ，且 ，
又因为 ，可得 且 ，
所以 ，
当 时，即 时， 取得最大值为 ，
所以 取得最大值为 .
故选：C.
30．如图，四边形 是边长为1的正方形，延长CD至E，使得 ．动点P从点A出发，沿正
方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论 四种情况，即可求出 的取
值范围.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：则 ，所以 ，
当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为 ，
当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为 ，
当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为
，
当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为 ，
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： .
31．已知菱形 边长为1，且 为线段 的中点，若 在线段 上，且
，则 ，点 为线段 上的动点，过点 作 的平行线交边 于点 ，
过点 做 的垂线交边 于点 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】建立适当平面直角坐标系，由题意可得各点坐标，从而可得所需向量的坐标表示，结合向量共线
的坐标表示可得 ，借助向量的数量积公式计算即可得 的最小值.【解析】如图所示，以 为原点建立平面直角坐标系，则有 、 ，
由 ，则 ，
则 ，则 ， ，
则 ， ，由 ，
即 ，则 ，
则 ， ，
又 在线段 上，故有 ，
解得 ，即 ， ；
设 ， ，
则 ，由 ，则 ，
由 ， ，则 ，则 ，
则 ，故 ，则 ， ， ，
则
，
则当 时， 有最小值 .
故答案为： ； .
05 平面向量的综合应用
32．在 中， ， ，则 的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
【答案】A
【分析】由数量积的运算律得到 ，即可得到 ，再由数量积的定义求出 ，
即可判断.
【解析】因为 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，又 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 是等腰直角三角形．
故选：A
33．已知圆锥 的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任
意一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可.
【解析】
如图所示，延长 交底面圆周于B，过Q作 底面圆于G点，
显然 ，
由题意可知 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A34．已知圆 的半径为1，过圆 外一点 作一条切线与圆 相切于点 ， ， 为圆 上一个动点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：建立合适的坐标系，设 ，根据余弦函数的范围即可得到数量积范围；方法
二：根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可.
【解析】方法一：不妨设圆心 ， ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
方法二：如图，过圆心 作 ，且与圆 交于点M，N，连接 ， ，
过M，N分别作 ， ，垂足分别为G，H，过 作 ，垂足为 ，
则 在 方向上的投影向量为 ，
则 ， ，
又 ，所以 .
故选：B.
35．如图所示，O点在 内部， 分别是 边的中点，且有 ，则 的
面积与 的面积的比为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知 三点共线，且 ，再由三角形面积公式即可求解.
【解析】由 可得 ，
又因为 分别是 边的中点，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 三点共线，且 ，
所以 到 的距离与 到 的距离之比也为 ，
又 的面积与 的面积都以 为底，
所以 的面积与 的面积的比为 ．
故选：A
06 三角形的“心”的向量表示
36．已知在 中， 为 的垂心， 是 所在平面内一点，且 ，则以下正确的
是 （ ）
A．点 为 的内心 B．点 为 的外心
C． D． 为等边三角形
【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.
【解析】在 中，由 为 的垂心，得 ，
由 ，得 ，
则 ，即 ，又 ，
显然 ，同理得 ，因此点 为 的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B
37．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足 ，
其中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【分析】取线段 的中点 ，则 ，依题可得 ，即可得答案.
【解析】取线段 的中点 ，则 .
动点 满足： ， ，
则 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 三点共线，即点 的轨迹是直线 ，
一定通过 的重心.
故选：A.
38．在 中，角 所对的边分别为 ，点 分别为 所在平面内一点，且有
， ，， ，则点 分别为 的
（ ）
A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推
导即可.
【解析】由 ，得 ，
即 ，
则 ，
所以 ，则 ，同理可得 ， ，
即 是 三边上高的交点，则 为 的垂心；
由 ，得 ，
设 的中点为 ，则 ，即 ， ， 三点共线，
所以 在 的中线 上，同理可得 在 的其余两边的中线上，
即 是 三边中线的交点，故 为 的重心；
由 ，得 ，即 ，
又 是 的中点，所以 在 的垂直平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 三边垂直平分线的交点，故 是 的外心；
延长 交 于点 ，因为 ， ， 三点共线，则设 （ ），且 ， ，
代入 ，得 ，
即 ①，
又因为 与 共线， 与 、 不共线，
则只能当 且 时，①成立，
即 ，则 ,
由正弦定理得： ，
又 ，则 ，
即 ，又 ，所以 ，
则 是 的角平分线，即点 在 的角平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 内角平分线的交点，故 是 的内心；
故选：A.
39．点O是平面 上一定点，A，B，C是平面 上 的三个顶点， ， 分别是边AC，AB的对
角.有以下四个命题：
①动点P满足 ，则 的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 ，则 的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足 ，则 的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足 ，则 的垂心一定在满足条件的P点集合中.
其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【分析】根据 的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、
高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.
【解析】①当动点P满足 时，
则点P是 的重心，所以①不正确；
②显然 在 的角平分线上，而 与 的平分线所在向量共线，
所以 的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③ 变形为 ，
而 ， 表示点A到 边的距离，设为 ，
所以 ，而 表示 边的中线向量，
所以 表示 边的中线向量，
因此 的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；
④当 时， 的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
一、单选题
1．（2024·海南·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （ ）A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用向量垂直关系可得向量积为0，然后用向量的坐标运算即可求得结果.
【解析】 , ,
由 得： ，
则 ，所以 ，
故选：B.
2．（2024·重庆·三模）已知 ，向量 为单位向量， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量 坐标求出模，将 ，运用向量数量积运算律展开求得 ，最后利用向量夹角
公式计算即得.
【解析】因为 ，由 ，则 ，
所以 .
故选：B
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
， ， ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果即可.【解析】因为 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
所以 ，
所以
故选：B.
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是 上一点且
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意得 ，由 三点共线求得 ，利用向量数量积运算求解.
【解析】 ， ，且 ，
而 三点共线， ，即 ，
，
所以 .
故选：A.
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 中 ，若则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出 的表达式，利用二次函数的最值即得.
【解析】由 可得
，
因 ，故 时， ，即 的最小值为 .
故选：B．
6．（2024·四川成都·三模）已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与
端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及基本不等式求解即可.
【解析】设 ，
则 ， ，
由平面向量数量积的运算可得：
，
，又 ，
所以 ，即 ，
即 ，当且仅当 时取等，
又 ，即 ，即 ，
则
.
故选：D.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边
上有10个不同的点 ， ，…， ，记 ，则 （ ）
A．18 B．180 C． D．
【答案】B
【分析】建立坐标系，求出直线 的方程，利用坐标法表示数量积即可求解.
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴建系，如图所示：则 ， ， ， ，直线 的方程为： ，
设 ， ，则有 ， ， ，
则 ，
所以 .
故选：B
8．（2024·广东广州·三模）设向量 ， ，当 ，且 时，则记作 ；当
，且 时，则记作 ，有下面四个结论：
①若 ， ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
④若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
【答案】C
【分析】根据题意结合向量的坐标运算逐项分析①③，举反例判断②④.
【解析】对于①：若 ， ，则 ，所以 ，故①正确；
对于②：取 ，满足 ，则 ，满足 ，但 ，故②错误；
对于③：若 ，则 ，且 ，
设 ，则 ，
可知 ，所以 ，故③正确；
对于④：取 ，可知 ，
但 ，即 ，故④错误；
故选：C.
二、多选题
9．（2020·山东泰安·模拟预测）已知向量 ，其中 均为正数，且
，下列说法正确的是（ ）
A． 与 的夹角为钝角
B．向量 在 方向上的投影为
C．
D． 的最大值为2
【答案】CD
【分析】通过求出 ，向量 在 方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.
【解析】由题意， 均为正数，
，
A项，
∵ ，∴ 与 的夹角不为钝角，A错误；
B项，
∵ ，
∴向量 在 方向上的投影为 ，B错误；
C项，
∵ ， ，
∴ ，即 ，C正确；
D项，
∵ ，即 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值为2，D正确；
故选：CD.
10．（2024·辽宁·二模） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满足
，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【解析】
，
因为点 为 的重心，
所以 ，所以 ，所以 三点共线，故A正确，B错误；
，
因为 ，
所以 ，即 ，故C正确；
因为 ，
所以点 的位置随着点 位置的变化而变化，故点 不一定在 的内部，故D错误；
故选：AC．
11．（2023·福建·模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与 轴、 轴相切于 、 两点.设量角器直
径 ，圆心为 ，点 为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
A． 点坐标为 B．
C． D．若 最小，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合平面向量的运算以及坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【解析】由题意得，量角器与 轴、 轴相切于 、 两点，且 ，则 ，故A正确；
由A可知， ，则 ，则
，故B错误；记 ，则C选项
，故C正确；
设 ，则
，
当 时， ，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
12．（2024·江西·二模）在 中，已知 ， 为线段 的中点，若 ，则
．
【答案】
【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得 ，由平面向量基本定理可得 、 的值，
进而计算可得答案．
【解析】根据题意，在 中，已知 ，则 ，
由于 为线段 的中点，则 ，
又 ， 、 不共线，故 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
13．（2024·湖南长沙·三模）在 ，已知 ， .则 .
【答案】
【分析】先由 可得角 ，由 可得 ，结合角 的
关系，解方程即可得答案.
【解析】设 ， ， ，
由 得 ，所以 .
又 ，因此 ， .
由 ，得 ；
于是 ，
所以 ，
∴ ，即 .∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 或 ，∴ 或 .
又∵ ，∴ ， ， ，则 .
故答案为：
14．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知 中，角 所对的边分别为 ， ， ，
，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】取 和 ，转化为 ，得到 三点共线，得到
的最小值，即为 中边 上的高，在 中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求
解.
【解析】在 中，因为 ，
如图所示，取 的中点 ，可得 ，
再延长 到点 ，使得 ，可得 ，
因为 ，
因为 ，所以 三点共线，
所以 的最小值，即为 中边 上的高 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以，
又由 ，
可得 ，即 ，解得 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称 为向量 和
的内积，当 ，称向量 和 正交．设 为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜测 的值，
并给出一个实例．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明见解析
(3) ，答案见解析.
【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；
（2）根据 ，结合定义，求出 ，即可得证；
（3）利用反证法求证.
【解析】（1）由定义，只需满足 ，不妨取 （答案不唯一）．
（2）对于 ， ，2， ， ，存在 ， ， ， ，使得 ．
当 时， ；当 时， ．令 ， ．
所以 ．
所以 为偶数．
（3）当 时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即 ．
不妨取 ， ， ， ，则有 ， ， ， ， ， ．
若存在 ，使 ，则 或 或 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．
【点睛】关键点点睛：新定义问题，理解定义内容、会运用新定义运算，是解决问题的关键.
