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第 6 章概率初步（压轴 30 题专练）
一．选择题（共2小题）
1．（2021•普陀区模拟）定义：一个自然数，右边的数字总比左边的数字小，我们称它为“下滑
数”（如：32，641，8531等）．现从两位数中任取一个，恰好是“下滑数”的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数：根据题意得知这样的两位数共有
90个；
②符合条件的情况数目：从总数中找出符合条件的数共有45个；二者的比值就是其发生的概
率．
【解答】解：两位数共有90个，下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、
53、52、51、50、65、64、63、62、61、60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、
84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、90共有45个，
概率为 ＝ ．
故选：A．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
2．（2017•江汉区校级自主招生）一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这
n次抛掷所出现的点数之和大于 ，则算过关；否则，不算过关，现有下列说法：
①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是 ；③可以过第四关；④过第五关的概率大
于零．
其中，正确说法的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用列举法列举出每一关所有情况，根据概率公式，对四种情况逐一进行分析即可．
【解答】解：①过第一关时，即掷一次骰子，得到一个数，这个数一定大于或等于1，因而
一定大于 ，则过第一关是必然事件，正确；
②过第二关即掷二次骰子，就得到6×6＝36个结果，每个结果出现的机会相同，这36个结果
中和大于 的有35个，则过第二关的概率是 ；③过第四关结果中和为 ，因而，可以过第四关；
④过第五关结果中和为 ，因而，一定不能过第五关，即过第五关的概率等于0；
正确说法的个数有3个．
故选：B．
【点评】本题考查的是概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
二．填空题（共7小题）
3．（2017春•大邑县期末）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字
不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使
关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率 ．
【分析】将原方程整理可得ax＝4，从而得出当a＝1、4时，方程的解为正整数，再根据概率
公示拟求解可得．
【解答】解：将原方程整理可得ax＝4，
∴当a＝1、4时，方程的解为正整数，
∴使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式的应用和一元一次方程的解，解题的关键是根据方程得出能
使方程的解为正整数的a的值．
4．（2017•成都）已知 O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向
外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的
⊙
概率为P ，针尖落在 O内的概率为P ，则 ＝ ．
1 2
⊙
【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P ，P 的值即可得出答案．
1 2
【解答】解：设 O的半径为1，则AD＝ ，
故S圆O ＝ ，
⊙
π阴影部分面积为： ×2+ × ﹣ ＝2，
π π
则P ＝ ，P ＝ ，
1 2
故 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．
5．四张扑克牌的牌面如图①，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上．若随机抽取
一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是 ．
【分析】共四张扑克，其中有两张为5，利用概率公式直接求得结果即可．
【解答】解：四张牌中，有二张“5”，故其概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
6．从两副抽去大王小王的牌中各抽取一张，两张都是方片的概率 ．
【分析】让第一张是方片的概率乘以第二张是方片的概率即为所求的概率．
【解答】解：第一张是方片的概率为 ，第二张是方片的概率为 ，所以所求的概率是 ．
【点评】用到的知识点为：两步完成的事件的概率＝第一步事件的概率与第二步事件的概率
的积．
7．袋里有除了颜色不同外其他都相同的8个球，其中红色和黄色的球各有2个，其余的球都是
蓝色的，根据以上信息，请写一个概率为1的事件为： 一次从袋里摸出 7 个球，其中红色，
黄色和蓝色三种颜色的球都有． （答案不唯一）
【分析】找到一定发生的事件即可．
【解答】解：袋里有除了颜色不同外其他都相同的8个球，其中红色和黄色的球各有2个，其
余的球都是蓝色的，根据以上信息，写一个概率为1的事件为只要写一个必然事件即可．例
如：一次从袋里摸出7个球，其中红色，黄色和蓝色三种颜色的球都有．【点评】必然事件发生的概率为1．
8．地球上海洋的面积约占地球总面积的70%，一块陨石落向地球，则它落到陆地上的概率约是
．
【分析】首先确定陆地的面积在整个地球中占的比例，根据这个比例即可求出它落到陆地上
的概率．
【解答】解：地球上海洋的面积约占地球总面积的70%，则地球上陆地的面积约占地球总面
积的30%，故则它落到陆地上的概率约是 ．
【点评】本题将概率的求解设置于地球上海洋和陆地中，考查学生对简单几何概型的掌握情
况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的
运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
9．设a是从集合{1，2，3，…，99，100}中任意抽取的一个数，则3a的末位数字是7的概率是
．
【分析】由于3a的末位数字是：31＝3，32＝9，33＝7，34＝1，…4个一循环，可知集合{1，2，
3，…，99，100}，使3a的末位数字是7的有25个，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝7，34＝1，…4个一循环，
100÷4＝25，
∴3a的末位数字是7的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．解题
的关键是找到3a的末位数字是7的情况数．
三．解答题（共21小题）
10．（2017•西城区校级自主招生）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体
分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：
（1）两面涂有红色的小正方体的个数；
（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．
【分析】（1）根据题意画出图形，计算出各小正方形的个数即可；
（2）无色的小正方体的个数为83＝512；除以所有正方体的个数即可；
（3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可．
【解答】解：（1）8×12＝96块；
（2）P＝ ＝ ＝0.512；
（3）每个面有（n﹣2）2个（n＞1），6个面有N＝6（n﹣2）2．【点评】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又
体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2013•成都校级自主招生）2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了不准酒后
驾车的禁令．某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：
①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来不喝酒；③喝酒后不开车或请专业司机代驾；④平
时喝酒，但开车当天不喝酒．将这次调查情况整理并绘制了如图尚不完整的统计图．请根据
相关信息，解答下列问题．
（1）该记者本次一共调查了 20 0 名司机．
（2）求图甲④所在扇形的圆心角，并补全图乙．
（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，求他属于第②种情况的概率．
（4）请估计开车的10万名司机中，不违反“酒驾”禁令的人数．
【分析】（1）①组所占的比例是1%，有2人，据此即可求得总人数；
（2）根据比例以及总人数即可求得②③两组的人数，即可作出统计图；
（3）求得②所占的比例即可得到；
（4）10万人数减去第①种情况的人数就是不违反“酒驾“禁令的人数．
【解答】解：（1）该记者本次一共调查了 ＝200名司机，
故答案为：200；
（2）图甲④所在扇形的圆心角为： ×360°＝126°，
④所占的比例是： ×100%＝35%，
则②所占的比例是：1﹣1%﹣9%﹣35%＝55%，
则②的人数是：200×55%＝110（人），
③的人数是：200×9%＝18（人），（3）他属第②种情况的概率为 ＝ ．
答：在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机．求他属第②种情况的概率 ．
（4）100000﹣100000×1%＝99000（人）．
答：大约有99000人不违反“酒驾“禁令的人数．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
12．（2009•鄂州自主招生）甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏．他们在不透明的袋
子中放入形状、大小均相同的19张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”
的卡片张数分别为3、4、5、7，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约
定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜
“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．
（1）若甲先摸，他摸出“石头”的概率是多少？
（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
【分析】（1）共有19张牌，石头的有4张，让4÷19即可；
（2）甲先摸出“石头”后，还有18张牌，而布有7种情况，让7÷18即可；
（3）分别算出各种卡片获胜占总情况的多少，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）P（甲摸石头）＝ ；
（2）P（乙胜）＝ ；
（3）P（甲摸锤子胜）＝ ，P（甲摸石头胜）＝ ，P（甲摸剪子胜）＝
，P（甲摸布胜）＝ ， ，
∴甲摸锤子获胜的可能性最大．【点评】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ，难度适中．
13．（2019•市中区校级自主招生）两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆
汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人
采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车．而乙则是先观察后上车，当第
一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，
他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度
分为上、中、下三等，请尝试解决下面的问题：请用树状图或列表法分析，甲、乙两人采用
的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大．
【分析】根据题意得出三辆车开来的先后顺序有6种可能，由于不知道任何信息，所以只能
假定6种顺序出现的可能性相同，然后画出图表得出甲和乙乘上等车的概率，从而得出乙采
取的方案乘坐上等车的可能性大．
【解答】解：三辆车开来的先后顺序有6种可能：
（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、
（下、上、中）；
由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同．我们来研究在各种可能性
的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：
顺序 甲 乙
上、中、下 上 下
上、下、中 上 中
中、上、下 中 上
中、下、上 中 上
下、上、中 下 上
下、中、上 下 中
于是不难得出，甲乘上等车的概率是 ；而乙乘上等车的概率是 ．
则乙采取的方案乘坐上等车的可能性大．
【点评】考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况
数与总情况数之比．
14．（2021春•金坛区期中）一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除
颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球．
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）能够确定摸到的一定是红球吗？
（3）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？哪种颜色的球可能性最小？
（4）怎样改变袋子中红球、绿球和白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？
【分析】（1）由一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，即可求得答案；（2）由随机事件的意义可求得答案；
（3）由一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，即可知摸到哪种颜色的球可
能性最大？哪种颜色的球可能性最小？
（4）将袋子中的红球、绿球与白球的个数设计一样多，则摸到这三种颜色的球的概率相同．
【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，
∴会出现可能的结果有：红球、绿球、白球；
（2）不能；
（3）摸到白球可能性最大，红球可能性最小；
（4）将袋子中的红球、绿球与白球的个数设计一样多，则摸到这三种颜色的球的概率相同．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（2021秋•湖州月考）袋子中装有红、绿各1个小球，随机摸出一个小球后放回，再随机摸
出一个，求下列事件的概率．
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①、符合条件的情况数目；
②、全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：所有等可能的结果为：红红、红绿、绿红、绿绿．
（1）根据题意可得：袋子中装有红、绿个1个小球，连摸两次，共4种情况，其中有1种是
“红，绿”；故其概率为 ，
（2）根据题意可得：袋子中装有红、绿个1个小球，连摸两次，共4种情况，其中有2种是
颜色相同；故其概率为 ；
（3）根据题意可得：袋子中装有红、绿个1个小球，连摸两次，共4种情况，其中有2种是
“一红一绿”故其概率为 ．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
16．（2020春•肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概
率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于6．
【分析】根据概率的求法，找准两点：1、全部情况的总数；
2、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）P（点数为2）＝ ；
（2）点数为奇数的有3种可能，即点数为1，3，5，则P（点数为奇数）＝ ＝ ；
（3）点数大于2且小于6的有3种可能，即点数为3，4，5，
则P（点数大于2且小于6）＝ ＝ ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
17．（2020春•台儿庄区期末）如图，芳芳自己设计的自由转动的转盘，上面写有10个有理数．
求：
（1）转得正数的概率．
（2）转得正整数的概率．
（3）转得绝对值小于6的数的概率．
（4）转得绝对值大于等于8的数的概率．
【分析】根据题意找出符合条件的数，再利用概率公式分别计算其概率即可．
【解答】解：（1）10个数中正数有1， ，6，8，9，共5个，故转得正数的概率为 ＝ ；
（2）10个数中正整数有1，6，8，9，共四个，故转得正整数的概率为 ＝ ；
（3）10个数中绝对值小于6的数有0，1，﹣2， ，﹣1，﹣ 共6个，故转得绝对值小于6
的数的概率为 ＝ ；
（4）10个数中绝对值大于等于8的数有﹣10，8，9共3个，故转得绝对值大于等于8的数的
概率为 ．
【点评】本题考查的是概率的公式：P（A）＝ ，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数．
18．（2015•衡南县自主招生）在中央电视台第2套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏
﹣﹣幸运大转盘，其规则如下：
①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等分，并在其
边缘标记5、10、15、…、100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止
时，指针所指的数即为本次游戏的得分；
②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以
该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分；
③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分
不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”；
④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢．
现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题：
（1）甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概
率．
（2）若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗？
赢的概率是多少？
（3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应
选择旋转第二次？说明你的理由．
【分析】（1）首先根据选手两次游戏得分超过100分时被“爆掉”，求出甲第二次可取的数
有多少；然后根据概率公式，求出甲本轮游戏不被“爆掉”的概率是多少即可．
（2）乙有可能赢．首先根据选手两次游戏得分超过100分时被“爆掉”，求出乙第二次可取
的数有多少；然后根据概率公式，求出乙赢的概率是多少即可．
（3）甲选择不转第二次．理由是：甲选择不转第二次，乙必须选择旋转第二次，根据概率公
式，求出乙获胜的可能性是多少，可得乙获胜的可能性较小．
【解答】解：（1）∵选手两次游戏得分超过100分时被“爆掉”，
∴甲第二次可取5、10、15、20、25、30、35，
∴P（甲不被爆掉）＝ ．
（2）乙有可能赢．
∵选手两次游戏得分超过100分时被“爆掉”，
∴乙第二次可取10、15，
∴P（乙赢）＝ ＝ ．
（3）甲选择不转第二次．
理由是：甲选择不转第二次，乙必须选择旋转第二次，
∵选手两次游戏得分超过100分时被“爆掉”，
∴乙获胜的话，第二次可取25、30、35，此时P（乙赢）＝ ，
∴乙获胜的可能性较小．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事
件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
19．（2017•南岗区模拟）某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的
随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．
（1）把折线统计图补充完整；
（2）求出扇形统计图中，公务员部分对应的圆心角的度数；
（3）若从被调查的学生中任意抽取一名，求取出的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率．
【分析】（1）根据军人的人数与所占的百分比求解，再分别求出教师、医生的人数，补全统
计图即可；
（2）根据公务员的人数占总人数的比例即可得出结论；
（3）根据教师的人数占总人数的比例即可得出结论．
【解答】解：（1）∵军人的人数为20，百分比为10%，
∴学生总人数为20÷10%＝200（人）；
∵医生的人数占15%，
∴医生的人数为：200×15%＝30（人），
∴教师的人数为：200﹣30﹣40﹣20﹣70＝40（人），
∴折线统计图如图所示；
（2）∵由扇形统计图可知，公务员占20%，
∴20%×360°＝72°；
（3）∵最喜欢的职业是“教师”的人数是40人，
∴从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率＝
＝ ．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于
该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
20．（2017春•文山市校级期末）转动如图所示的转盘，当转盘停止转动时，求转得下列各数的
概率．
（1）转得的数为负整数；
（2）转得的数不是负数；
（3）转得的数的绝对值小于2．
【分析】（1）先找出负整数的个数，根据概率公式即可得出答案；
（2）根据转盘给出的数据，得出不是负数的数有0，1，2，4，5， ，共6个数，再根据概
率公式即可得出答案；
（3）先找出绝对值小于2的数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵负整数有﹣1，﹣2，﹣3，共3个数，
∴转得的数为负整数的概率是： ；
（2）∵不是负数的数有0，1，2，4，5， ，共6个数，
∴转得的数不是负数的概率是： ＝ ；
（3）绝对值小于2的数有：﹣1，0，1， ，﹣ ，共5个数，
∴转得的数的绝对值小于2的概率是： ＝ ．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（2017•深圳模拟）2016年中考前，张老师为了解全市初三男生体育考试项目的选择情况
（每人限选一项），在全市范围内随机调查了部分初三男生，将调查结果分成五类：A．推实
心球（2kg）；B．立定跳远；C．半场运球；D．跳绳；E．其他，并将调查结果绘制成以下
两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有32000名男生，试估计全市初三男生中选半场运球的人数有
多少人；
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B．立定跳远；C．半场运球；D．
跳绳中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方
法加以说明并列出所有等可能的结果．
【分析】（1）用选择A的人数除以所占的百分比求出总人数，再用总人数减去A、C、D、E
人数之和求出B的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）用32000乘以选C所占的百分比，计算即可得解；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式即可得解．
【解答】解：（1）被调查的学生总人数为150÷15%＝1000（人），
则选择B的人数为1000﹣（150+400+200+50）＝200（人），
补全图形如下：
（2）32000×40%＝12800（人）
答：估计全市初三男生中选半场运球的人数有12800人；
（3）根据题意画出树状图如下：所有等可能结果有9种：
BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，
同时选择B和D的有2种可能，即BD和DB，
P（同时选择B和D） ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（2016秋•莲湖区校级月考）小明有3双黑袜子和1双白袜子，假设袜子不分左右，那么从
中随机抽取2只恰好配成一双的概率是多少？如果袜子分左右呢？
【分析】利用树状图可得到共有7×8种等可能的结果数，若袜子不分左右，从中随机抽取2
只恰好配成一双的结果数为32，若袜子分左右，从中随机抽取2只恰好配成一双的结果数为
20，然后根据概率公式分别计算两种情况下的概率．
【解答】解：画树状图为：
共有7×8＝56种等可能的结果数，若袜子不分左右，从中随机抽取2只恰好配成一双的结果
数为32，所以袜子不分左右，那么从中随机抽取2只恰好配成一双的概率＝ ＝ ；
若袜子分左右，从中随机抽取2只恰好配成一双的结果数为20，所以袜子分左右，那么从中
随机抽取2只恰好配成一双的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23．（2016•龙岩）某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市
中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：（1）参加复选的学生总人数为 2 5 人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为 7 2
°；
（2）补全条形统计图，并标明数据；
（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．
【分析】（1）利用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例，即可得出参
加复选的学生总人数；用短跑项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比，再乘以360°
即可求出短跑项目所对应圆心角的度数；
（2）先求出长跑项目的人数，减去女生人数，得出长跑项目的男生人数，根据总人数为25
求出跳高项目的女生人数，进而补全条形统计图；
（3）用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可．
【解答】解：（1）由扇形统计图和条形统计图可得：
参加复选的学生总人数为：（5+3）÷32%＝25（人）；
扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为： ×360°＝72°．
故答案为：25，72；
（2）长跑项目的男生人数为：25×12%﹣2＝1，
跳高项目的女生人数为：25﹣3﹣2﹣1﹣2﹣5﹣3﹣4＝5．
如下图：
（3）∵复选中的跳高总人数为9人，
跳高项目中的男生共有4人，
∴跳高项目中男生被选中的概率＝ ．
【点评】此题主要考查了概率公式，扇形统计图以及条形统计图，利用已知图形得出正确信息是解题关键．
24．（2016春•句容市期中）一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，它们除颜色外都
相同，其中红球有22个，且经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近0.125．
（1）求袋中有多少个黑球；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是
黄球的概率达到 ，问至少取出了多少个黑球？
【分析】（1）由一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共40个，经过试验发现摸出一个
球为黄球的频率接近0.125，求出黄球的个数，再用总数40减去黄球、黑球的个数，即为黑
球的个数；
（2）首先设取出x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到 ，列出
方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）黄球有40×0.125＝5个，
黑球有40﹣22﹣5＝13个．
答：袋中有13个黑球；
（2）设取出x个黑球，根据题意得
＝ ，
解得x＝5．
答：至少取出5个黑球．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（2015秋•庐江县期末）某信息兴趣小组利用电脑成功设计了一个运算程序，这个程序可用
如图所示的框图表示．小明同学任取一个自然数x输入求值．
（1）试写出与输出的数有关的一个必然事件；
（2）若输入的数是2至9这八个连续正整数中的一个，求输出的数是3的倍数的概率．
【分析】（1）首先由题意可得图示的计算过程为：y＝ ＝ x（x﹣1），即可得输出的
数是整数是一个必然事件；
（2）由当输入的数是2至9这八个连续正整数中的一个时，可能的结果有：1，3，6，10，15，
21，28，36，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵图示的计算过程为：y＝ ＝ x（x﹣1），
∵x为自然数，
∴ x（x﹣1）是整数，∴输出的数是整数是一个必然事件；
（2）∵当输入的数是2至9这八个连续正整数中的一个时，可能的结果有：1，3，6，10，15，
21，28，36，
∴输出的数是3的倍数的概率为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
26．（2015春•锦州期末）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1到12这12个整数
（每个面只有一个整数且互不相同），投掷这个正12面体一次，记事件A为“向上一面的数
字是3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数字是4的整数倍”请你判断事件A与事件B，
哪个发生的概率大，并说明理由．
【分析】分别求出事件A包含的整数，事件B包含的整数，再求出概率作比较即可．
【解答】解：事件A发生的概率大于事件B发生的概率．
理由如下：任意投掷一枚均匀的正12面体，所以共有12种等可能的结果，
即1到12这12个整数，
其中事件A包含整数3，6，9，12，事件B包含整数4，8，12，
所以P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，
所以P（A）＞P（B），即事件A发生的概率大于事件B发生的概率．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
27．（2015春•商河县期末）我县城区某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯67s、绿灯30s、
黄灯3s．小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口，问：
（1）他遇到红灯的概率大还是绿灯的概率大？
（2）他遇到黄灯的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率的意义得出遇到红灯的概率大；
（2）利用黄色灯亮的时间÷三种颜色灯的设置时间，进而得出遇到黄灯的概率．
【解答】解：（1）小明的爸爸随机地经过该路口，他每一时刻经过的可能性 都相同•因为该
路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯67s、绿灯30s、黄灯3s．
红灯时间比绿灯时间长，所以他遇到红灯的概率大；
（2）他遇到黄灯的概率为：3÷（67+30+3）＝0.03．
【点评】此题主要考查了概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．
28．（2014春•金坛市校级月考）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每
个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球：
（1）该球是白球；
（2）该球是黄球；
（3）该球是红球．
估计上述事件发生的可能性的大小，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
【解答】解：∵不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，
∴摸到白球的概率为 ，
摸到黄球的概率为 ＝ ，
摸到红球的概率为 ＝ ，
∵ ，
∴（1）＜（2）＜（3）．
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的
知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
29．（2011•浙江校级自主招生）在一个不透明的箱子中装有大小相同、材质相同的三个小球，
一个小球上标着数字1，一个小球上标着数字2，一个小球上标着数字3，从中随机地摸出一
个小球，并记下该球上所标注的数字x后，放回原箱子；再从箱子中又随机地摸出一个小球，
也记下该球上所标注的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标．
（1）求点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率；
（2）在平面直角坐标系中，求点M落在以坐标原点为圆心、以 为半径的圆的内部的概
率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：（1）以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标有如下9种形式：
（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、
（3，3），
其中，x+y＝4有3种形式：（1，3）、（2，2）、（3，1），
由于每一种形式都等可能出现，（4分）
所以点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率 ；（5分）
（2）因为点M在以坐标原点为圆心，以 为半径的圆的内部，
所以x2+y2＜10，这样的点M有4种形式：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），（9
分）
所以点M在以坐标原点为圆心，以 为半径的圆的内部的概率 ．（10分）
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．关键是得到所求的情况数．
30．（2006•淮安校级自主招生）一只袋子里装有红球和绿球，第一次从中摸出是红球和绿球的
概率均为 ，如果上一次摸出是红球，则下一次摸出是红球的概率为 ，绿球的概率为 ；如果上一次摸出的是绿球，则下一次摸出的是红球的概率为 ，绿球的概率为 ，记P 表示第
n
n次摸出的是红球的概率，
（1）P ＝ ；P ＝ ；
1 2
（2）试写出P n 与P n﹣1 之间的关系式； P n﹣1 + （ 1 ﹣ P n﹣1 ） ．
【分析】（1）由一只袋子里装有红球和绿球，第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为 ，
即可求得P 的值，又由如果上一次摸出是红球，则下一次摸出是红球的概率为 ，绿球的概
1
率为 ；如果上一次摸出的是绿球，则下一次摸出的是红球的概率为 ，绿球的概率为 ，即
可得P ＝ P + （1﹣P ），继而求得P 的值；
2 1 1 2
（2）根据题意可得规律为：P n ＝ P n﹣1 + （1﹣P n﹣1 ）．
【解答】解：（1）∵第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为 ，
∴P ＝ ；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
1
∵若第一次摸出是红球，则此时摸出是红球的概率为 ，这种情况下的概率为： ×P ＝ × ，
1
若第一次摸出是绿球，则此时摸出是红球的概率为 ，这种情况下的概率为： ×（1﹣P ），
1
∴P ＝ P + （1﹣P ）＝ × + × ＝ ；﹣﹣﹣﹣（3分）
2 1 1
（2）根据题意得：P n ＝ P n﹣1 + （1﹣P n﹣1 ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
故答案为：（1） ， ；（2） P n﹣1 + （1﹣P n﹣1 ）．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题属于规律性题目，难度比较大，解题的关键是根
据题意得到规律：P n ＝ P n﹣1 + （1﹣P n﹣1 ）．
